最新高中数学导数专题讲义答案版

1、导数专题讲座内容汇总目录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 导数专题一、单调性问题 2导数专题二、极值问题 38导数专题三、最值问题 52导数专题四、零点问题 76导数专题五、恒成立问题和存在性问题 118导数专题六、渐近线和间断点问题 168导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 187导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 198导数专题九、公切线解决导数中零点问题 211导数专题十、极值点偏移问题 216导数专题十一、构造函数解决导数问题 224导数专题一、单调性问题【知识结构】单调性问题一、分类讨论求

2、函数单调性二、已知函三、已知函数单调求参数不单调求数范围参数范围四、已知函 数存在单调 区间求参数 范围五、两个函 数在具有相 同的单调性 求参数范围【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨 论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关 系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图

3、、标正负、截定 义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出/6），f金）随x变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点 函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：.最高次项系数是否为0；.导函数是否有极值点；.两根的大小关系；.根与定义域端点讨论等。五、求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f（x） 0或f（x） 0 (或 g (x)()0 (或h(x )0)恒成立；(3)由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。【考点分类】考点一、

4、分类讨论求解函数单调性；【例1-1】(2015-2016朝阳一模理18)已知函数f (x) = x + alnx,a e R .(I)求函数f (x)的单调区间；(II)当x el1,2 时，都有f (x) 0成立，求a的取值范围；(III)试问过点P(1,3)可作多少条直线与曲线y = f (x)相切？并说明理由.【答案】(I)函数f (x)的定义域为ixx 。. f f( x) = 1 + a =.x x(1)当a 0时，f(x) 0恒成立，函数f (x)在(0,+8)上单调递增；(2)当 a 0 时，令 f( x) = 0，得 x = -a .当0 x -a时，f( x) -a时，f f

5、(x) 0，函数f (x)为增函数.综上所述，当a 0时，函数f (x)的单调递增区间为(0，+8).当a -1时，函数f (x)在区间L2】上为增函数，所以在区间。,2上，f (x) m = f (1)= 1，显然函数 f (x)在区间 11,2上恒大于零；(2)当1 -a 2时，即-2a 0，解得 a -e，所以-2 a 2时，即a -2时，f (x)在区间限2上为减函数，所以 f (x)mn = f (2) = 2+a 1n2 .22依题意有f(x). = 2+a 1n20，解得a -，所以-方a 一 122时,函数于(x)在区间U上恒大于零(III)设切点为(凡,凡+a片x )，则切线

6、斜率k = 1 + ,000 x0切线方程为y_(x + a 1nx ) =(1+)(xx ).00 x 00因为切线过点1,3),则 3 (x + a In x ) = (1+ )(1x ).00 x 00即 a (In x +1) 2 = 0 .0 x0令 g (x) = a (In x + 1) 2 (x 0)，贝 g f( x) = a ( ) = ( xx x 2x 2(1)当a 0 , g(x)单调递增；在区间(1,+s)上，g(x) 0 , g(x)单调递减，所以函数g(x)的最大值为g(1) =2 0 .故方程g (x) = 0无解，即不存在x 0满足式.因此当a 0时，在区间

7、(0,1)上，g(x) 0 , g(x)单调递增，所以函数g(x)的最小值为g(1) =2 0故g(x)在(1,+功上存在唯一零点.-1-2 j 1取x = e a 1), u(t) = et 2t，则 ur(t) = et 2 . a当 t 1 时，u(t) = et 2 e - 2 0 恒成立.所以u(t)在(1,+s)单调递增，u(t) u(1) = e 2 0恒成立.所以g(尢2) 0 .故g(尢)在(0,1)上存在唯一零点.因此当a 0时，过点P(1,3)存在两条切线.(3)当a = 0时，f(x) = x，显然不存在过点P(1,3)的切线.综上所述，当a 0时，过点P (1,3)存

8、在两条切线;当a =x不是曲线y = g(x)的切线.【答案】(1)函数f (x)的定义域为(0，+8),f (x)x1x2x2x(0,1)1(1,+8 )f(x )0+f (x)递减极小值递增当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况如下表:函数f (x)在(0, +8)上的极小值为f (a) = ln1 +1 1 = 0 ,所以f (x)的最小值为0(II)解：函数g(x)的定义域为(0,1)U(1,+8),ln x (x 1)In x + 1g (x)= ln2 x x =二f(x)ln2 x由(I)得，f(x) 2 0,所以 g (x) 2 0所以g ( X)的单调增区间是(0,

9、1),(1,+8 )，无单调减区间.(ni)证明：假设直线y=X是曲线g( x )的切线.1ln x + - -10X设切点为(X , y)，则 g(x，= 1，即 一-一0 二 1000ln2 X0X 1X 1又 y = t0-, y = X，则 t0 二 X0 ln X 00 ln X 000, X 一1 一 1所以lnX =1 -,得g(XP = 0，与 g(XP =1 矛盾0XX0000所以假设不成立，直线y二X不是曲线g (X)的切线【练1-1】(2015-2016西城一模理18)已知函数f ( x ) = xex-aex-1，且(1) = e.(I)求a的值及f ( x )的单调区

10、间;(II)若关于X的方程f (X) = kx2 -2(k 2)存在两个不相等的正实数根X,X2，证明:x-x ln412【答案】(I)对 f (X)求导，得 f( X) = (1+ x )e X - a e x -1,所以f，(1)= 2e-a = e，解得a = e.故 f (x) = xex - ex , f f(x) = xex .令 f(x) = 0，得 x = 0.当X变化时，f(X)与f (X)的变化情况如下表所示:X(-8,0)0(0, +8)f( X )0+f ( X)/所以函数f (X)的单调减区间为(-8,0),单调增区间为(0,+8).(II)解：方程 f (X) =

11、kx 2 - 2，即为(X-1)e - kx 2 + 2 = 0 ,设函数 g(x) = (x-1函-kx2 + 2.求导，得 g(x) = xex - 2kx = x(ex - 2k).由 g(x) = 0，解得x = 0，或x = ln(2k).所以当x e (0, +8)变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表所示:%(0,ln(2 k)ln(2 k)(ln(2 k), +8)g(%)0+g (%)/所以函数g(%)在(0,ln(2 k)单调递减，在(ln(2k), +s)上单调递增.由 k 2，得 ln(2k )ln41.又因为 g (1)=一 k + 2 0,所以 g (ln(2k

12、) 0.不妨设l1 0，g(1)=-k + 2 0，所以 0 %1 1.同理根据函数g(%)在(ln 2k, +划上单调递增，且g(ln(2k) ln(2k) ln4，4所以 I % % 1= % % ln 4 1 = ln ，1221e4即 I % % I ln-. 12 e【练1-2】(2011-2012石景山一模文18)已知函数f (%) = %2 + 2aln%.(I)若函数f (%)的图象在(2, f (2)处的切线斜率为1 ,求实数a的值；(II)求函数f(%)的单调区间；2%2 a 2 % 2 + 2 a 【答案】(I) f(%) = 2% + = 1分%由已知f(2)=，解得a

13、 = -3.3分(II)函数f(%)的定义域为(0,+s).(1)当a 0时，(%) 0 , f (%)的单调递增区间为(0,十；5分2( % +、Ja)(% a)(2)当 a 0 时 f(% )=-.%当%变化时，f(%),f(%)的变化情况如下：(III)若函数g(%) = - + f (%)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围.x(0,4-a)J-a(J- a, +8)f(x)0+f (x)极小值X由上表可知，函数f( x)的单调递减区间是(0, j二a)；单调递增区间是q=a, +8).8分222a(ii)由g (x)=+x2+2 a1n x 得g (x)=+2 x+，x29分由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x) 0在1,2上恒成立，即+2 x+ 0在1，2上恒成立. x2x1 即a -x2在1,2上恒成立.11分x111令h(x)= -x2，在1,2上h (x) = -2x = ( + 2x)0，xx 2x 27所以 h(x)在1,2为减函数.h(x)= h(2)=-,min2所以a 0.min 22 122所以函数f (%)不存在零点.小/、(% + k)(2%