复变函数重要知识点总结

1、第一章 复数及复平面一、基本概念和主要结果:1.且数域及复平面：规定i =寸二工复数集C 上|?=H十9,1,底1,则实数集及UC在C上规定加、减,乘、除运算，给豆数集一个代数结构，则且数集成为且领域(可看成是实数域 映扩张而来)设 N = % + “ i =% + i， 胺定义1.1 6 土不一( a2j + (bl b., ji.得马=(a+ 外)(% + 厚)一(%/ - 6也)+ i(a也十 %，),4 %+6J %,十句均 用工一七匕三二门7=可前厂+|可干 )复数域上引进一种拓扑结构:任爸W已名=% +增向=L +电,苞与&的距离zx - %| = /(Qi 1)2 + (“ 一为

2、产,从问发数域成为夏欧氏空间，在这个空间可以比义邻域棣念，为在复平面此 引进极限作好了准备.发数集、二维平面的点集及平面上的向量集构成了一个一一对应关系.复数的二角表示：之二 |z|(cosArgz+i sinArgz), 一 |苞|cosArg+i sinArgN,之？ 一 |2|cosArg2 + i sin Arg221.乐爸=1爸1 设2 1kos(ArgW I Arg,J + i sin(Ar% + Argxa)j,z 设J三=黄hMArgA - Args,) + i sin(Arg% - Arg22)-义if 称为第数zl I iy/的共扰数，记为三(，和彳也称为互为共扼数)，z和

3、三关于第 平而实轴对称,z =同Arge = Args.2 + K还可以令以下表示：Z = %+iy,则Z = _Q二.”=豕(2 一句，用于化简，证明一姓代数式: 复数z = |z|cos Arg + i sin Args的乘辕和开方运算:短” =z,n-os(7z?Argc) + i si【GArg2), C 2.(整数集)z = ： /z cos Argz) + i sin ( : Args j , n 为大于等于 2 的正整数.兔球而和犷充第数集。8在三维空间中,作球而S:产+犷+ 2=,把X0Y平面石竹z = / + i 平面,取球.而上V(O.O,D 称为球极,可建立起笑平面C。S

4、 一 N的一个一一对应：作连接N J X0Y平面上任一点工，英0)z +zZ _ NIrl2 1的直线，直线与球面的交点是工,(/./. /),就有，=e4、/ = 7T.朱:一.弁规卜卜 + 1)(kl2 +1) IW + 1定复平而上的 个理想点LN对应，称此理想点为复平面I：的无穷远点OO,记。8 = CUx，从而 Cqq与S建立了一个对瓯.复平面的拓扑：定义1.3宏燃悉以卜概念(定义) 邻域：U(ar0.r) = zz - z0| r,5 6 C).(2)去心邻域：)(/) = c|0 上 一 0J (),。(“口少至。，称是E的聚点.(5)内点：集E, F.3 U (x0.r),使U

5、(4.)C ，称为是E的内点.X*(6)边界点：集E, eC, Vt0.U(%、力。壬仇5/)声/ 称与为E的边界点.(7)边界：山集E的全部边界点所组成的集称为R的边界，记为(8)/包：7? = a，；u?. 孤立点：。EE3r0,使得U(n.r)nE = S,称。为E的邠立点.(10)开集：集E的点全部是内点，称E为开集.(11)闭集：集E的补集是开集，称E为切集.(12)有界集:3r0,使得月UU(0,r),称E为有界集.(13)无界集：不是仃界集，称为无界集.(14)紧集：有界闭集称为紧集.(15)集D的连通件：集D中任两个仃限点u以用仃限个首尾相接的折税连接.(16)区域：连通的开集

6、称为区域.(17)曲线：设2=e=1加Xt) + ilniN,a WtWb的点n之轨迹，称为曲线.(18)连续曲线：若曲线？ = 2(。/W卜向也这/皿连续.(19)简单连续曲线:连续曲线乞= z().，W 。,411Y/怎 (4b),4rz2.rz(J(20)简单闭曲线:简单连续曲线z = %(), / E “旦2(a) = z(b).(21)单连通区域D：区域D内任何简单闭曲线的内|x域中符一点都属于D.(22)多连通区域:不是单连通区域,称为多连通区域.二、例题与练习:1.1求i的四次方根.解：因 i = cos + 2人兀)+i sin+ 2力r),所以a=cos ( J .) 4-i

7、 sin0.1.2,3则cW+isin/cos +*而口.cos +，)藉吗 +4cos6 + 9) +/ 7F 3、w仁十刃.注：第.章定义了指数函数/(句=，产和欧拉公式 =cose+ i Sih仇此题可利用复数2的指数表 达式2 = zel Argz计算囚为i =/(号+2V),所以i的四次方根(四个)是：d吉,/住十年),/(之十)5年一州)即一台ic哈.L2已知/斗之+ 1 =(),求2 +式斗七3之值.解：23 1 = (z 1)(22 I 2 + 1),由已知z1 I 5 4 1 =(),故z3 1 =。即Z是i个三次单位根 从而 Z” =产,，=%,炉=i,因此 z +算 +

8、* = /+2+ 1=().1.3设二是任意一个不等于1的n次单位|礼求1卜2 +/+ + 丁-L的值1 _ /解：因 Z” = i,z/1,则 1+z + / + + n 1 = - = (). Z证明：若z是实系数方程a网*+ 网1 + a加+6=0的根，则三也是其根.证：因为对任意自然数】I,有三=(可3又因为明为实数当且仅当 = %山已知z为方程/严+%严一】+。&+*=0的根，所以有%泮+%济一1+*4+(=。对上式两端同时取共挽运第，得田=0)Q/口 +Q12T + + Qn_1N + Q” = 0于是 a0(5)n + at(z)n 1 41-an tz + an = 0 即司也

9、是 aown + awu 1 + + aw _xw + an = 0 的根.用 cosl J j Hin 0 表示 cos5.解：cos 沛=Re(cos5+i sin 50) = Re(co$(9 + i sin(9)5 = Re(eos5/7 + 5i cos4 sin 0 -10cos3 0sin2 9- lOi cos? 0sii】O + BcosOsiiJ。+ i sin5 0)二 cos30 - 10cos30sin2/? + 5cos0sin4 theta.同时也得到:sin56 5cos4 OsinO - 10cos2sin3+ sin同L6若8于0,试证明sin 5 + si

10、n (+ 1) 01 + cos 0 + cos 2。+ + cos2=.sin 今八 八八 8sg - cos (n + I)sin 0 + sin 2。+ 一卜 sin n6 =.2sinf证：令 z = cos + I sin 8. zn cos “6 + i sin nff又因为1+z +/+.- zlltl za、1 - lcos(?i +1)0 + i sin(/i +1)8即 1 + (cos 0 + i sin 0) + (cos 2 + i sin 2。)HF (cos nO + i sin nO)= ：1 (cos 0 + i sin 0)从而(1 + cos 0 + co

11、s 20 HF cos nO)+ i (sin 0 + sin 2。+ + sin nO)1 (cos(n + 1)0 + i sin(n + 1)(1 cos0 4- i sin。) /8)f0)一(一 cos-2 -Si/J- 2(1-cos (9) - 4 sH其中 f0 |1 cos(n+l)l9(l cos)4 sin(n I 1)。sin6 +“sin8(1 cos(n-+ 1)6 (1 cos0) sin(n 卜 1)6 整埋后印可得a( f(3) sin 4- sin (n + 5) TOC o 1-5 h z 1 + cos 0 + cos 20 HF s nO = Re -

12、 =7l4sir/打2sinf cosg cos( + J)sin 0 + sin 2。+ + sin nO = Im =.4sin2f J2 sin 3集月上二i.J中,i是E的聚点,其余各点均为孤立点.集= ；+1i,| +；一，一中旬一点都是E的孤立点,是它的聚点但不用于E.满足条件0 arg(z - 1) 2 V R，z 0和中=1z 137110满足条件 - 7TT 1整理后，得 (/2)2所求的点集是(6+ 1)2 + /2 2的外部U件为半平血的所仃点组成的集合，是单连通无界区域.第二章 复变函数本章用微分方法研究攵变函数.一、基本概念和主要结果：定义2.1设E是夏平面C上的点菜

13、，如果有个法则上 使得V看= i +3w= t/ + ivC叮11对应，则称/是E上确定的灯变函数.注:w = (N.y) + iu(i.y)即一个且变函数等价十两个二元实变困数.记A = /(E) = /(a:)|z E 为函数/)的象集，如果/是E到A的一个双射，则E和A是一彳对应.定义2.2设义旬在集E上确定，得是E的一个聚点，o是一个均常数，如果Y50.m8 = 打 0，使得当a: U n0(2o)时，12)-八I V ，则称。是函数/当,趋近于7时的极限.记为 lirn /=a.注:令八=& +必2 E J(z) = (.“)+皿I,2 =+ i?/,% = / + i%，于是有下列

14、结论:hrn J z = a /1，则称函数/G)是e趋近于7时的无穷大，记为也？ /6) = oo.a%ZEE定义2.4设函数w = / 在无界区域E上确定, c是 个有限复常数，如果Ve 0.三=仁) 0，使得当z 6 E. 时，|/(z) -a| 0,三0=夕(4)0,当/,设|。 时9 1f| 4 则称函数fM是z趋近于od时的无穷大，记为Jim f(z = oc.G OC江E定义2.6设函数w f(z) u(x.y) + i v(x.y)在集E上确定且E的聚点% E ,如果lim /(z) 一 f/(茶)，则称函数w = /(z)在入点(对于集E)连续.、注1： f(z)在% = %

15、 + i以连续当且仅当两个二元实函数lim ux,y = u(xa.y6). lim v(x,y)= 7司 0M 一t? ( 2；,?/ ),7若/在区域E上每一点连续，则称/在E上连续.定义2.7设函数/在集E上确定，如果。，存在只Im仃关。无关的正数不；蛇)0, 使得李”，之? 11上一工|3时，I/G) /0)|八 则称函数/在E上 致连续.定理2.1函数/仁)是简单曲线或方界闭区域E上的连续函数则有：/在E上致连续z)在E上有界,f(z)在.E上可以达到它的最大模和最小模.定义2.X设函数/(2)设区域I)内确定的单值函数,%W，如果魄XE、上)二,存在H等于复数 则称2)在点可导或可

16、微或行导数C,记为(%) = ”.定义2.9如果函数f(z)在区域D内每一点可导(可微)，则称函数/仁)在区域D内解析.如果 f(z)在4的一个邻域内解析,则称f(z)在z。点解析.如果/在I又域G内解析而闭区域方C G,则 称/(z)在闭区域万上解析.注：实变函数美卜和、差、积、商以及复合函数等导致的运算可以推广到更变函数.定理2.2设函数f(z) = (,”) + i v(x. /)在区域I)内确定，那么/(z)在点z = x + i!/D可微的 充分必要条件是：在z =q+ i ，膻(6. y)及近工、/)可做口满足=.=-.定理2.3设函数/=u(x,y) + ivx.y)在区域D内确

17、定，那么f(z)在区域1)内解析的充分必要 条件是：y)与u(x, y)在D内可微且在D内满足=,=.注：在函数/(z)仃导数的情况卜：/=a + ib =寡+ ii定义2.10指数函数肝的定义:-=t + iy w C, f(z)=工+=e，(cosy + i sing)有以下性 质：fr R. fx) = c.d，/在C上解析日.卞=d.C-l/Wv,z2ec,九外十芍)=/(爸)人祀).WzWC,/(之)至 0./()= e2 仃周期 27ri ,f(z + 2力)=/.映照性质：f(z) = rr把任何带形区域(Z平面)B = zz G C” e R.C huz + 2tt双射成 平面

18、上除去0及射线arg= o的整个平面.注：指数函数/(z)=Q是一个无穷多叶函数.定义2.I I对致函数Lnz的定义：z W C z R 0,作为指数函数w =小的反函数w = Lnz = In z + i Argc.|l| b Argc = arg z + 2kKt 因此 ；=az = In z + i argz + 2kna = n z + 2kM (k G Z),这里的 hi之 称为Ln:的主值，其中一六 argc ii2l - Ln%.(2)关于对数函数w = Lru多值函数单侑化问题.由w - Luc = ln|?| I i Args,使Lni成为多俏函数是因为Argc = arg2

19、 I 2k天,A Z引起，将支 点0和8用一条无界简单连续曲线a连接,在C 。上可将Liu分斛成单值连续分支，并将 各单值连续分支犷充到割线的上沿和卜沿，0和8是Ln:的无穷阶支点.(3)在每个Ln?的单值化的区域内的每一点处仃半二=1 ,从而每个单值连续分支也是解析分支.dz 2(4)对数函数w = Lru的映照性质：它的一个分支w = 1nBl + i argz + 2km (一万 arg z 六)把z平 面上的区域双射成w平面上山(2k - l)r Imw (2k + l)7r所确定的带形区域.定义2.12后函数的定义：当之r0时，记=产=。口旧 当n =。时，z。=0(是正实数).(1

20、)当。为整数时，产是单值函数：当。=一(既约分数，几三1)，则之。是几值函数：当Q是无理 H数或虚数时，之。是无穷多值的函数.(/Mz 1 山N。= enLnc = ealnz,尸2而i，对于Lnz相应的单值连续分支内,-=-=一：=。- eansk dz zdL(3)讨论飨=之！= &历根式函数在复平面上以负、实轴(包拈0)为割线而得的区域D内仃儿个不同的 解析分支：M= 诈|/5kz+2-)(开打)=诈1-i 。牛,( = 0 ,2, 平一 1).(4) w -寸，的映照性质：设产中c为正实数，9为正实数11. () 3、aw 2订，若在z平而上取正实轴 作割线(包含0)得区域DZ 1仅产

21、在D”内的-个解析分支，考虑。，内角形A： Ovargzvw, 则.把夹角为露的角形A双射成夹角为S3的角形月.定义2.13三角函数的定义：正弦函数Hin2 = -/.氽弦函数cosz =-在全平面C 有定义,cos?为偶函数，siriz为奇函数.cosz, sinz均为周期函数,周期为27r.cos(Z + z2) = cost】 cosz2 - sin%】 sinz2.siu(zx + z2) = sinzt cos+ coszx sinz2.cos21 + sin2 z - 上岸=-sin n,黑町=cosz (cosh, sin z在全平面C解析). d/az(6)不再满足 cos?

22、? 0, sin2 z0, Icoszl 1. |sinz| 1.可进一步定义：lan:=.cot z =COS 5COSN11, sec a = esc z =.sin zcoszsin 2定义2.14 关于反一角函数 w Aretans(是山 z - tan确定)Arctanz -|Ln(2 - i) Ln(2 + i) + ;ri,若检定Ln(z 一 i)及Ln(z + i)在某一点z0 土i)的值是hi(z - i)及n(z +i),相应的切的值为 w = arctan z =濡ln(2 - i) - ln(2 + i) + ;ri |.则 w 在点 2 的其他他为：w =，|ln(z

23、 - i) + 2自成In仁 + i) - 2灼万i + 打“ =arctan+ kn (k Z).可;检证在过平面Cl仅线段，H + iylz =().也| j =z+-.2 I zzl 2i I zx) 2 z zz zj z复变函数/仁)=3力+皿.)，其中N.y还可表示为 =tcos仇= rsin仇 故/也可表 示为 /(二)= (r.，) + i 试用 r,表示 f(z)=示解：/卜)=z? - (r cos 0 + ir sin f)2 - r2 cos 20 4- i r2 sin 2().函数w = / + y + i +广、在z平面上上任何点均1极限.解：因为二元实函数似,)

24、二N十加以心切一 I + F在任何点都仃极限.函数 w = / + + i 在(0.0)无极限./ + /解：u(x, ) = x2 + 4, r(z.!/)=声 一因为一元函数而加=治在。)无极限.5讨论)_三+ ?在2 = 0点的极限.解：记2 = rd,则宅=rc+ (t2 = 2cos26.这里 9 =，irgz HP f(z) = 2cos(2arg2), z 的辐角可取各种数,当2一0 时，取 argN = 0,则 liin f(z) = 1；取 arg2=；,arg z=0不存在.2.7在z的主轴角-it argz W不时，讨论argxr的连续性.则 lim f(z) = 0,因

25、此 lim 二 十2-0 _2-0 z Z解：我们有argz=0.9：0时:h = 0,诧0时 当工0.y0时 当1 0)时，呵agz-*-0lim arctan 空 手f，工2liin (arctan +开)=一5+开=, x()lim亨=苧n=0 22II%则 liin arg 2 = arg当 20 是负虚轴 I 的门: % = ii/0 (/ ()时, lini 8rg 2 上.liin arctan 号=一今x1?一%lim_ (arctan J = f 7r = f%一0-L%(-?) = -5则 liin arg z = arg %力当无为负实轴上的点：而=/(孙01arctan

26、 - + ttxIy=开，lirn arg2 =lim juctan二一开J7o一%z=-7T.y，o=，|2i训 H|l u(x.y) =，2/|,以工,公二=0.du而=lim &r 0.(,() “(0,0) llim,r 00 而=&i)ulirn2Mo.go) _limA = o.Oy羽f)g” (所以lim arg;:不存在在原点处，mg，不确定.综匕除原力及负实轴上的点外，arg;在嵬平面内处处连续.2.8证明/()一 巫尹的实部、虚部件(0.0)满足C-R条件,但f(z)在工=0不可微. 证：因 f(z) = y/ lmz2同埋可得在（0,（）.= =（），故 心.“）隹t =

27、 0点满足C-R条件、但在zA/ g) - *0)=(I ,=、二 ? Ar + idy，因而,0段黑=忌刖。=。、即/在Z = 0不可微.=02.9证明若函数/生.平平而解析，那么在卜T平面解析.证：设函数Fz 而 在下半平面任取%, 2为下半平面异于力的点.小。）=Hm 尸口一小。）=iim一与 N 一 41%可一 JG j三一当lim空匕与 之一为因/在上半面解析，则UZ）存在（Z。是下半平面的点）即而在卜半平面解析.2.10设f（z）在区域I）内解析，如果|/（之）|在D内为常数，则/仁）在D内为帝数. 证：设z） = M + im山已知，得小+22=。若。=0,显然 =。=0,故/仁

28、）= 0, 若C R 0,由u2 I v2 = C分别乘关于x.y偏导，得2u2udu五du瓦dv+ 2v = 0dv+25因/在D内解析，则du _ dv du _ dvdr dy dy Ox将代入置换和募du0瓦石=,(3),(3),(4),（du dvu + v = 0盅窥，航狗=囚；:=（/十”）ro,则解此方程组，得意=慧=0、(91/山c-r条件,得 而一而二o,则u = G.V-山常数即/&) Ci + g 为常数.1 d” eta ()v241 证明在极坐标卜.的 Canchy-Riernann 条件:-= - . =-r.证： 设 /0 =?/) + i r(.r, y).

29、x = r cos 8. y = r sin /du du &r dx()u Ou&u-=-(-rsin) + -rcx),&v dv ,、 Ov . Z1 =丁 cos+ sm uv (Jr ()yih Ov .、 dv+ 瓦 9SS在直角坐标系卜的C.R条件：黑?与 ux uy ()y ux比较和，得如冷比较（2）和（3），得意=*, du 1 dv du dv反乙山而=而及而=7而，利用上述（1）、（3）、（4）,得：Oududvi）vcos 0 +sin。=cos6sin 仇dxoydyOxdu dvdx dycos 8 +du c)vdy * dxsind = 0.a，、因cos仇s

30、ing不可能同时为零，则- （jt （）y珈auX ，,一 ( 仇一力a sin+ + ，针加一彻。一一即得CR条fldu dv 加. dvdx dy dy Ox2.12设是区域I）内的解析函数，证明（）iL ciu a%fl） /（-）的实部和虚部在I）内仃任意阶导数L满足1叫山记。方程 +左=o,初 + = （）.（2）在D内，有d2 a2 不十而I小)|2 = 4|U匕证: 因/（二）在D内解析，则/在D内有任意阶导数，从而/仁）的实部和虚部在D内就有任意阶导设f（z） = （吗?/） + （3. ?/）在D内解析，则（与彼）,”（工,）在I）内偏导存在M.()u,=石+i比较上式两边之

31、实部和虚部，得=J/nrl o2ua2 tza2 t92 0即赤+丽=。芯+而= /3)=uh- it |/(-)|2 = y2 + v2,dv dv .du . d (du 石=汨f&J 3 =瓦电)后十I/U)!2=2I 2Or2+ ：4| 广 r)|=4du2荻i) 而d2c+ 2 +2dudv2仇大一+ 2v 的（叫d2u+ W2 oy2 d2v 十同f / 22 讲 22后()+唠(+马=而ff2u2.13 试求 Ln(l + i).(-l)-2，+i.|sin2|2 的位.解：Lri(l +i) = In |1 -fi 14-/Arg(l +i) = g In 2+ i ar 以(

32、1 十 i)+ 2卜雷=；ln2十 i (:十 2k?r) , A e 第, ()i =6 iLn( D = 2AM l)ri = I l)x 名21，=/ I I i)Lu2 = 11 I i )i In 2 i 2krri = f】12 2 i i (In 2 I 2E) = 2c *工 IqSHjL 2) -|- sill (In 2)|. k R 2,=sin2 jr(cosh2 y sinh2 y) + sinh2 y = sin2 x + sinh2 y个一%+i4_ c-i二 2i=：sinz cosliy + i cosh sinhcosh2 g 十(1 sin2 x) cos

33、h2 y(1)八2)=靖，则/c+ ,取 2因 liin 屋=4-OC. lim c； =0,则 lim e* 不存在, I0卜z0-n0故屋在方=0不解析，即C，在N = 8不解析.|sin(i + iy/)/二-(c y - c) cosx + i (e y + e)sin j：2isin2 tcosh2 y 十 cos2 x sinh2 y = sin2 t2.14若2 = sin3,则a为z的反正弦函数,记为加= Arcsig 写出它的解析表达式(利用对数函 数).巴一“一.解：由 n = sins 即2=，整理得(/产 一 2i z/* 1 = 0.乙1解得 cu, = i-I- /

34、1 z2 (这里 y/1以己含正、仇两值)，则 w = Arcsine = J Ln(ie -I /1 乒).2.15设函数/在z = ”解析，那么我们说/在z = 8解析讨论函数*Ln言.禹在z = co的解析性. 解：(2) /()= Ln * :,则 / - | = Ln ?= LiJ +2=m(dhnnLn( + z) 一 Ln(l z)是 个多伯:s - 1Z/二 一函数，N = 0不是支点，乂 f (I)的每个单色分支在z = 0处解析，则/(z) = LnU 的每个单值分支在E = X是解析 的.八/=1+7 则,二厂不,它的两个单值分支在2 = 0不解析,乂 f (2)在z平面

35、上是双值函数，工-0为支点,则 /(N)=2.16在复平面上取正实轴作割线,试在所得的区域内取定z (-1 a 0)在正实轴上沿取正实值的一个解析分支,并求这一分支中在2 = -I处的：在iE实轴下沿的色。、 取定函数Ln?在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这一分支在z=-1处的值;在正实轴下 沿的值.解:(一)0和8是居Ln,的支点(二)作以正实轴为割线可将一，Lnz分解的单值分支(.0 丁 eaLnz =刈加4”424初，卜e 在正实轴上沿取实仇的 个分支为d =*即o argz “| 2,11 _ ea,nx(cos2;ra 4 i sin 2ka).Lnw = In |z| + i

36、 arg z + 2km （k & Z）在iE实轴上沿取实值的解析分支为Lju = In |:| + i arg2 (0 W argw 2tt),在这一支 Lll（-1） = 111 | - l| + 1 7T = 17T在正实轴下沿 z = z 处，Ln；r = In |.r| + 2ni Inx + 2zri.2.1求函数,（1 一 z）2（l _依/2）（0 小v 1）的支点，证明它在线段一;-W -1, 1 W 1 W ；的外 部能分解成解析分支，并求在z = 0取正值的1个分支.解：W = /（z） = /（1 - 22）（1 - k2Z2）=%（2 - 1）（2 + 1） （z -

37、 G + ；） （0 A, ）在.的起始值叫为叫=&厅厅储小叼山+么）,让2从z起沿曲线C逆时针绕一周回 到西，10值为“，-kc7H*（%+2汗+%+%+% 1 = -1，贝lj Z =是支点同埋可证Z = -1yZ = ；,?=一；均为支点讨论Z = OC是否是/（2）的支点：作简单连续闭曲线C使名=1,土:均含在曲线C的内区域，取C上任一点苴，在此点叫二 A.g贷E洪也见凡）,当之沿着C逆时针f；绕一周回到时，a.%,%.心均不变，仇.外4。 各斩角均增加2*此时1 =七百寸/7的+2MM 21r+4+2尸卜+2R =皿，因此z = 8不是支点作简单连续闭曲线C伙2 = 1和2 = :在

38、C的内区域,Z = -1,2=一1在C的外区域，取C |： 任点G，在此点叫=/（4）=4学用/储（小勺卜%）,当Z沿岩曲线C从4逆时针环绕一周回 到 Z1时，吟.3了3,乙均不变，4 = arg（2, - 1）4 = arg （% -；）均增加 2n, % = arg（% + 1）,公= arg （7 + J 没有变化，此时 ，=/（3,） = y 孱（久 5+%+%+2-。）=%同理，件简单连续闭曲线C使之=一1和2 = -3在C的内区域，2 = 1,3 =；在C的外区域，也会 出现上述情况，电不变，综上，在笈平而上作如卜割线- -1.?/ = 0:1.r W 1 = 0,在所得的区域内

39、/=，（1一）（1 一炉力（0 Z: )(，+1一 Z*)= (&，%)(%卜1 一队)一 E 似Q)(队 r 一块)k=0丸=0太二 0n-1m-1n-1+i (金,“i 一队)+ 入)十1 一 小斗 MQ,%)(%+1 %)LA=0k=lk=Q记A =nax|您+1a.i =4产I (公+i%户,k = 0,1, 2,，九一 1,若不论对的分法和每个或的选取如何，当八一 0时，&)(%-】一工)的极限存在，则称这一极限为小)沿曲线)的积 A:=O分，记为/仁)心即I f Q = li! /()(与十i 一 弓.)=/ udx - vd.v + i / vch + tidy, yA 0fc=

40、oJy八招女积分化为了二元实由数的第二类曲线枳分.定理3.1若函数/=y)十i,北)沿？连续，则/沿7可枳.若曲线)：2 =二(/), 3T,则复积分/心=/ /以也(小13把完积分化为实积分.定理3.2复变函数枳分的基本性质.若/。在简单曲线)上连续，则/(xfz) dz - a / /(z)dz, q 是一复常数/(z)+ 认2)卜物=J /(2)2 /(?)d2，其中是由连接而成/ /(z)dz /仁)&, 7表示沿7的反方向I f(z)cz W / |/(z)|dz7A 若在)上有A3 L为曲线)的长度,M和L都是力限正数,那么定义3,2若在区域D内恒有/ /,则称放 为z)在D内的

41、个原函数或不定积分 除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的.定理3.3 Caiidiy定理 设Jz)是单连通区域I)内的解析函数.(1)设C是D内任一条简单闭曲线,那么 /皿=0,(2)设C是D内连接7及z两点的丹一条简单曲线，则沿曲线C从%到z的枳分竹山先和z所决 定，而不依赖于曲线C,记为/(C)dC (积分。道路无关).定理3.4设f(z)是在单连通区域D内的解析函数，那么(Z)在D内有原函数.定理3.5亚连通区域D上的Qmchy定理：设D是攵连通区域，其边界是山n+1条简单闭曲线 c，G，c八周成，cq,.C中何一条都在其余曲线的外区域内，血.且所有这些曲线都在C”的 内区域内，/

42、0)在方上解析，。表示D的全部边界，则，/(z)d? = O.这里.枳分是沿7按关于区域D的正向取的.一注：复江通区域内的解析函数的原函数*=，/则产生多伯问题.柯西公式定理3.6 Cumhy枳分公式：设M域I)的边界C是由布亚条互不相交的简单曲线 (1 W，) 所组成，其中C包含其他的0,(2 W Y 2, /修)在区域在上解析，那么在D内任一点z, f(z)= 2与4一 J *注：定理中/在区域。上解析，可减弱为了在D内解析，在。= UC上连续.定理3.7解析函数的平均值公式:设函数/在区域|2一%| V向内解析，在闭区域|之一个| W斤上连续，则/(%) = /+/。)岫(0 r R).

43、定理3.8在Cauchy积分公式的假设卜，f (二)在D内仃任怠阶导数1”)二 L，).n!/7Tdem =1定理3.9 Cauchy不等式:设f在以C ： | % = & (0 p。V +cc)为边界的闭圆盘上解析，则 ，叫浦| , A“p)Wh = T2 )其中 M(p)是 M(p) = max (0 p 0).Of |=。定义3.3如果/仁)左C上.解析，则称/(?)为整函数.定理3.10刘维尔定理：有界整函数必为常数.定理3.11莫勒拉定理：如果函数八n)在区域D内连续1.对D内任一条简单闭曲线C,，dz =0,则义z)在D内解析.C儿个更要定理、公式的小结(相U关系)：二、例题与练习

44、：设C是连接飞和z两点的他单曲浅，则(2)/,dz=g(22_2；)证:山亚枳分计兑 / (u + i v) dz = I udx - vdy + i / vdx + udy/()= 1 即 nx. y) = 0、z = X： 4 i= % + /，则 / 22 表示为：尸：z = , W 0. 1|; V : z = J + i t, |0. 1|,在?上，Rec = t,(1(U：在产上,Rez = 1. dz = i d,Rez de = / tdt + O Jo故 / Rec de = / Reck +2求/苫，n为整数，r : k| = p.解：令N =0 w J S 2万，故 dz

45、 = i3叫的02泊当几/ 1时当n= 1时此例可推广为计兑z a)yj02力当北丰1时当7, = 1时证明/+ i“2)d二w “，r为连接i到i的右平顶周. 证：在 r 上，x2 + y2 = 1 而 |j/2 + i z/2| = Jr1 + / W 夕，+ y2，乂的长山为7T，则开=7T.|z - |dz|.3.5解:设z于是，原式e,则 |1| = dd. |c 1| = 1 - J yj( cos/9)2 户* . 0=/ 2sin - d? = 8.- . B+ siir 0 2v? l cos 2 sin 厂.4求 L 4 。 ：=2.方在?| = 2内仃二个不解析点，Z =

46、 l,以7 = 1为心,( 1)为半径作圆周G和Q，山复连通Cauchy定埋/ = / + /于是Jc Jc J 5/一 1从而1 rdz1 rdz=2 JC2 口1212dzCt 斤+i(62+ 1r dz=；(0 2i) = -Tri.=；(2“i 0) = Tri.7= / r + / 一r = 一涓 + 福=0 1 JC1 2- 1 JC2 炉-1解法二：分别以之=l,x = 1为心，p（ 1）为半径作圆周C和。2,利用Cauchy积分公式，得d之 I - ； dz = 27ri - Jr; z-z -+ 2方z + 1 吟1=Tri I zri = 0.3.7求%(9一/)(N +

47、i)dc,G ： |w| = 2.解：函数/=的不解析点为z = 士3, Wilt 在w 2上解析.由柯西积分公式，得 y - zy 一 产原式=/ 、二dz = 2朽3.8计算积分/ 那一支.丁!)27F二 51其中C表示单位圆C依反对针方向从1到1的枳分，被枳函数联= -1解：因在vzl = -1那一分支内积分即fz y/ze*21r 0 W arg 2tt,在单位圆上 = 0 W。V 2tt, ck = i/d/则I3.9 设 /(z)=ea(3rg+2jr)3d + 7( + 1=/ = / ie- dO = 4.Jo -泊 Jo1k 求/(l + i).解：所求的 E = l+i.|

48、l+i| =，3.3.1。证明则/2汨(6 + 6i +7)3G + 7 + 1- + 131).=2泊(3+ 7? += 2?ri ()z + 7),于是 /(I + i)=/c,，（/*的千其中C是围绕。的一条简单闭曲线.证：右边=京病（C_0），用zn 汨 r诵说,/ca 0严】左边.(川)23.11设/在原点的邻域内连续,证：W f（z）在灰点连续：Ve 那么lim r Q(Cr = re.z = |reitf| = r 0,当 z 6 时,有 |/(?) - 7(0)1 V J 取/(r/)皿 2不/(0)/（，/卜场一I /（o）de/（廿）一/（0小附& /|/（再）一0）|（步

49、2咯Jof2srill e的任意性，得lin】/ /（re1 ）1。 2开/.d ./O3.12 （代数学基本定理）代数力程。/n+a,+ %z + 4 =O4I）必有根.证:设/（2）= AZ-+ azT 如果/（z）在voo无零点,则分大的阳0），当|z|/f时，就才. +（ixz + a0 （反证法，在 OO是解析的L1 t 30时，/不t 0, I片此如取充/iz1 I/ 1,另一方面，在w8上连续，故在W K上可取到最大值V,那么在V+oo就有 J1心，/ f(z)(k = 2行】/k,必有根.3.13如果z)在|z-nJ %内解析且lim z/(z) = 4 JT8A9 Kr是圆|

50、n 一 %| = r,积分依反时针方向.注：本题是关于无穷远点的区域的Cauchy定理.证：作圆闭=R,使得z k z0| & ru C z|眨- zj丹U 矶恸 %解析，在.明和小围成的闭区域上f(Z)解析，用复连通的Cauchy定理I /(z)dz= /(z)dz,Ji 0,3R(s) 0,当 H R 时,有 |4 一川=zZQCZ对中的R选择满足(2)中的R，于是由/(z) -2V e,得/一:=京5 (/也一力,L，a 亲 3卜1 L (/司也1 r I 4 1c万4/3一1即()，使得点2及曲线C均含住圆盘K% :W治之内部，隹山曲线C和圆KRt)围成的夏连通区域C；内及边界上，/解

51、析，lllCiurhy积分公式：由此得等式(/)“ 1！匚=-/十而12m设F(0 =黑是一个在KI R。上解析的函数,一 N因 lim f(z) = CYf 则 lirn C,F(C) = lint 、)= a, S-*0C(TOCTOC 1 - -其中 Kr ： KI = R,由13遨的结果,对任何H岛,有工 (C)dC = a, 2tf】JKn再ihaiuchy 定理：/ NG(K= / R(),K, Jkr。Jkr由”集盥女乂若二在C的内M域G内，山夏连通的Cauchy定理，得=-/ + ”.则在力上解析, L 1 / G / 1 /“04一如2方K j&第四章 级数本章用级数方法研究

52、解析函数一、基本概念和主要结果：定义4.1.发函数序列爸,之1（a-+G ） 叮实数序列%里卜作黑1相对由。设.。0 +厮； O.mv = .V（c） 0,当八 N时，|z 一川 0.3V = N（e） .V.p =1. 2 .时, |&V1 +汴+2卜十加+序列2收敛的充分必要条件是：物 0.3V = N（6 。使得 当m.n N时区 zu 0,3N = .V（c） 0 （与比夫），使得当/I N、z W E时，| 九一| 0TN = N 0 L尢美）使得当z E. n C = L2.时/叶1 + ju+2（z）+.+ ；+p（z）| 0.三VN 0（无关使得”仇N,z W 7?时|/n（Z

53、）p（Z）| U,=N0（与z无关），使得当匕，=12.时|九十小）一;；（2）|尸=ao+aC-soH+an（z-co户十为嘉级数,二为品变数，（12）是任给熨常数“H定理4.10 （Abel第 定理）.如果科级数a（z 在21（r 6）收敛，那么对满足|z z（）| 一 2|的任何2, 即（2 - 2。）”都收敛. n定理4.1L如果下列条件之成立（1） / lini| （l/Alembert,） ，i a” I = lini晨（C&uchy法）n/ lini|（Cauchy-Hadaniard法）.那么当0“（三 对的收敛半径为当，=0时, = +8.邙= +oc时.A = 0. n定理

54、4.12.设/在圆盘U : |之一的| A内解析，那么在U内/=fM +铲已一比）+ 崎&n一*o）2+- +（2-、产+定理4.13.函数 N）在却解析的必要。充分条件是；它在打的某一部城内仃幕级数展式。“仁 如广= n/其中为=/（%）E =小押（笈=L2,）,解析函数的事级数展式是唯一的.定义4/0,设函数/仁）在4的邻域U内解析，UJ仁o） = O，那么称力为了的零点。设/在。内的T;gor展 式是/（z） =（n no）+2e 劭产+ ”（z 药产+，若行正整数#0,而对于nV m,a” = 0, 则称初是/的 i阶零点.定理4.14.设函数/仁）在列解析，旦是它的个冬点，那么或者/

55、（封在为的一个邻域内恒笠于零，或者 存在那的一个邻域。在其中如是八n）的唯一零点。零点的孤立性）定理4.15.设函数z）在区域。内解析,如果z）在0内的一个圆盘内恒等于零,那么/（2）在。内恒等于 零.定理4.16.如果函数/（切在区域。内解析，井口不恒一于零,那么/（z）的每个零点比/个邻域,在其 中小是/（N）的唯一零点。定埋4.17,设函数/及。在区域/）内解析，方是内内彼此不同的点心=L2,），井旦点列益在。内 有极限点。如果/（NQ=g（zQ（A=1,2,）,那么在。内/=g（解析函数的啡一性定理）定义4.1L称级数 qz-为Laurent级数，11?即为且常数.当a_.二0(几=1

56、.2,)小|Laurent级 n= 00 48-oc4-00数就是Taylor级数。当级数心仁 却尸及士 的仁 加广播收敛时，则称Laurent级数 %(z n=0n= -1九=-oc力产收敛。当E an(z 一4产在设-引 n=0w=-J夫1内绝对收敛目.内闭一致收敛，则 Q/N-4广在圆环必 此一功|况2内一致收敛目.内闭一致收 n=oc然定理48.设函数/在圆环。：1 |z Nol 2(0 电 定3这甲.Q表f(杀十1公，=0, 土L 土2是圆上-zq = p,p是满足用 p rt= OC 他的任何数。定理4.19.设Laurent级数 即(z -4产在。:凡 忆一劭| 也(0 Ii R

57、2 +8)中内闭 ,致收 九二一 oc敛于函数g(k)，那么 an(z -%广就是g(z)在/)内的Laurent展式。 n=-oc；I-：在圆环内解析的函数/(二)的Laurent展式 寸an(z -产是唯一的. n=c定义4.12.设函数在去心圆盘。：0 |z-%| (0 R +oc)内解析，那么称而是/仁)的 孤立奇点，在。内，/仃Laurent展式/= 即(二一 11.中即=六几，港= 0, 土1, 2 )/是圆 |n = p(0 p A)。In = -L2 .时.a” =0,称 No 是/(?)的川去奇点； 当Q rn+0, ifijn = 0,称h是/仁)的血阶极点；加果仃无限个整

58、数几 0,使得心丰0,称如是 z)的本性奇点.定理4.20.设函数/(N)在内0 %一衬 及(0 R%推论：在定理4.20的假设卜，却是/(z)的可去奇点的必如与充分条件是：存在若某一正数的 R，使 得/(Z)在0 |z 2ol 0内有界。定埋4.2L设函数/仁)在0 上一次I (0 +OO)内解析，那么、是JC)的极点的必怏方充分条件 是 lim /(Z)= OC.z-ND推论:在定理4.21的假设下，为是/的m阶极点的必要。充分条件是】iin(z 制片/=a m，这 甲W是一正整数，是一个不等于零的句数，定理4.22.设函数/(力住0 |2 - 20| (0 kW 40C)内解析，那么、是

59、/(2)的本性奇点的必要Lj充分 条件是：不存在有限或无穷的极限lim /(切.定理4.23.设函数/(z)在0 |而| R(0 R +oo)内解析，那么药是/(z)的本性奇点的必要与 充分条件是：对于任何力.限或无穷的发数, 在0 V上-4| 内 定仃收敛于zo的序歹Mi，使 得 liin /(5) = 7(Weiestrass定理). n *oc定理4.24.设函数f(z在0 |z(i| R(QR +oc)内解析，那么/是的本性奇点的必要与充 分条件是：对任何发数7壬乂，至多可能仃一个例外，在0设-为|R内，一定有一个收敛于知的点 列，使得/%) = (= 1,2，).(Picard定理)

60、定理4.24表明：解析函数在本性奇点的邻域内无穷多次的取到每个仃穷复位，至多可能去掉一个位 (称为Picard例外值).定义4.13.设/但)在H 同几 令n = i，按照A 0或A = 0,得在0 |必 =或() 131V +oo内解析的函数夕(=八力，其Laurent展式为胃（3）= 翳k=一。0如果3 =。是9）的可去奇点,3阶）极点或本性奇点,那么分别称z = OO是/（2）的可去奇点, 3阶）极点成本性有点.（1）如果 = L2,忖，,=0、则称z= x是/的可去奇点, 如果只看仃限个（至少一个）整数 至0,则称之=8是/（到的极点,.如果行无穷个整数0,使得的,卢0,则称z = 8