事件条件概率和三个基本公式

1、关于事件的条件概率和三个基本公式第一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月1一、条件概率 对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3. 第二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月2 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,

2、男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3. 我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。若记B为至少有一男孩，则上述概率为第三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月3条件概率的计算公式规定如下： 例 设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为还原摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则 非还原:还原:第四张，PPT共二十九页，创作于2022年6

3、月4不难验证条件概率具有以下三个基本性质： (1) 非负性(2) 规范性(3) 可列可加性并由此推出条件概率的其它性质： 第五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月5二、乘法公式由条件概率的定义：即若P(B) 0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).若P(A) 0, 则 P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件： P (A1A2An )=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)一般,与次序无关。乘法公式第六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月6例1 解第七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月7例2

4、 某厂产品的废品率为4%,而合格品在中有75%是一等品,求一等品率. 解记A：合格品；B：一等品， 即一等品率为72%. 第八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月8 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片, 只有一张上写有“入场券”, 其余的什么也没写. 将它们放在一起, 洗匀, 让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确吃亏吗？ 第九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月9 到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争

5、先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”第十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月10用Ai表示“第i个人抽到入场券” ，i1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5 .则 表示“第i个人未抽到入场券” .因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.由于由乘法公式 = (4/5)(1/4) 同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此= 1/5 .第十一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月11这就是有关抽签顺序问题的正确解答. (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 . 继续做下去就会发现,

6、每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，第十二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月12三、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0第十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月13A(即每次至多发生其中一个) (即每次至少发生其中一个) B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分第十四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月14AB1B2B3B4B6B7B5B8第十

7、五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月15由概率的可加性及乘法公式, 有 这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式. 第十六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月16全概率公式 利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和 第十七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月17例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、 50,且三家工厂的次品率分别为 3、3、1，试求市场上该品牌产品的次品率.B1、B2 、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；

8、第十八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月18例2 袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式, 练习 求第三次摸出白球的概率.第十九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月19解分别记A,B ,C为第一、二、三次摸到白球，由全概率公式, 练习 求第三次摸出白球的概率.第二十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月20 在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式. 在全概率公式的假定下，有 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下

9、，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.第二十一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月21所以这件商品最有可能是甲厂生产的. 例3 已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50, 次品率分别为3、3、1.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少? 0.3, 0.2, 0.50.45, 0.3, 0.25解第二十二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月22 全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？ 第二十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6

10、月23 在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.P(B1 | A)知道A发生后P(B2 | A)P(B3 | A)偏小最大第二十四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月24 贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中均有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.第二十五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月25 下面再举一个例子，说明贝叶斯公式在实际问题中的作用. 解第二十六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月26 因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是