第6章--西姆松定理及应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）证明如图6-1，设为的外接圆上任一点，从向三边，所在直线作垂线，垂足分别为，连，由，四点共圆，有又，四点共圆，有故，即，三点共线注 此定理有许多证法例如，如下证法：如图6-1，连，令，则，且，对，有故由梅涅劳斯定理之逆定理，知，三点共线西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边

2、所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上证明如图6-1，设点在的三边，所在直线上的射影分别为，且此三点共线由于，于，于，知，及，分别四点共圆，而与相交于，则，从而，四点共圆，即点在的外接圆上【典型例题与基本方法】1找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键例1如图6-2，过正外接圆的上点作直线于，作于，作于求证：证明由直线于，于，于，知，及，分别四点共圆，则，由西姆松定理，知，三点共线，从而以为视点，对应用张角定理，有，即，故例2如图6-3，设，为的三条高线，自点作于，于，于，于，连求证：，在直线上证明由于的外接圆为，而为该圆上一点，且在三边所在直线上的射影分别

3、为，于是，由西姆松定理知，三点共线同理，可证，是的西姆线上三点由于直线与直线有两个公共点，所以这两直线重合，故，在直线上例3如图，设为外接圆上一点，作交圆周于，作直线交圆周于，作交圆周于求证：证明设于，上直线于，于，则由西姆松定理知，三点共线注意到，及，分别四点共圆，连，则，于是同样，注意到，及，分别四点共圆，连，则，于是由，四点共圆，知注意到，则，于是，故 例4如图6-5，设为外接圆上内一点，过作于，作直线于，设为的垂心延长至，使求证：（1979年山西省竞赛题改编）证明连并延长交于，交圆于，则由，知又由已知，且，连，则知与关于对称，从而由于从点已向的两边所在直线，引了垂线，再过点向边所在直线

4、作垂线，垂足为，则由西姆松定理，知，三点共线，设西姆松线与交于此时，又由，四点共圆，有在中，与互余；在中，与互余故，由此即知，故例5如图，设为外接圆上一点，过点分别作于，作直线于，直线交边上的高线于，设为的垂心求证：证明由于从点引了的边，所在直线的垂线，再过点作于，则由西姆松定理，知，三点共直线，即，四点共线设边上的高线为，延长交圆于，连交于，交西姆松线于，连交西姆松线于由，四点共圆及，共圆，连，则，从而，即为的斜边的中点连，由，知，有，从而，即是的中位线，亦即又，有及，于是，即有，亦即四边形为平行四边形，故注由此例可得，三角形外接圆周上一点与垂心的连线段，被关于点的西姆松线所平分，这是西姆松

5、线的一条重要性质2注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理例6如图，延长凸四边形的边，交于，延长，交于试证：，的四个外接圆共点证明设与的两个外接圆除交于点外，另一交点为设点在直线，上的射影分别为，则由西姆松定理，知，三点共线同样，点在直线，上的射影，也三点共线，故，四点共线在中，在上，在上，在边所在直线上，且，三点共线，则由西姆松定理的逆定理，知点在的外接圆上在中，在直线上，在上，在上，且，三点共线，由西姆松定理的逆定理，知点在的外接圆上故，的四个外接圆共点注此例题的结论实际为宪全四边形的四个三角形、的外接圆共点，此点称为密克尔()点，直线称为完全四边形的西姆松线【解题思

6、维策略分析】1证明点共线的又一工具例7如图，设为四边形外接圆上任一点，点在直线，上的射影分别为，又点在直线，上的射影分别为，求证：，共线证明连，过作的垂线，垂足为从而，点关于的西姆松线为同样，点关于的西姆松线为由，知点在的外接圆上，由西姆松定理，知点在三边上的垂足，共线同理，三点也共线故，四点共线（此直线称为点圆内接四边形关于的西姆松线）2注意西姆松线在转化问题中的媒介作用例8如图，设为外接圆周上任一点，点关于边，所在直线的对称点分别为，求证：直线经过的垂心证明由于，分别为点关于直线，的对称点，设交直线于，变直线于，则，分别为点在的边，所在直线上的射影，且，分别为线段，的中点由西姆松定理，知为

7、西姆松线，此时又由前面例5知，当为的垂心时，直线平分线段于是，可知点在直线上，即直线经过点例9如图，一条直线与圆心为的圆不相交，是上一点，是上任意异于的点，从作的两条切线分别切圆于和，是上的点，使得，是上的点，使得，直线交于求证：点的位置不依赖于的位置（预选题）证明令，的半径为，连结，设交于，交于，则，由射影定理，得，又由，四点共圆，有，从而知，由，有，既有，即由此得，故，四点共圆作交的延长线于，由西姆松定理，知，四点共线注意到，与，均四点共圆，有又由，有，故在中，由上推知为的中点，因此，故的位置不依赖于的位置例10已知锐角，是过点的高线，是边的中点，过的直线分别与、交于点、，且若的外心为，证

8、明：(2003年波兰奥林匹克题)证明如图6-11，作的外接圆，延长交于点，联结，作于点，于点注意到为的外心，且，所以为的平分线于是为弧的中点又为的中点，则由西姆松定理，知、三点共线又是的角平分线，且、三点共线，则即直线是过与垂直的直线，又直线也是过与垂直的直线，从而与重合，与重合即，亦即知、四点共圆故为四边形的外接圆圆心，即有，于是为的中点又，则故3注意西姆松线性质的应用三角形外接圆上一点的西姆松线平分该点与三角形垂心的连线此性质已在例5给出一种证法，现另证如下：如图6-12，设为的垂心，为其外接圆上一点，作的外接圆，则该圆与关于对称(参见垂心性质7)设点的垂足线（即西姆松线）为，由、四点共圆

9、，有设与直线交于点、，则为的中点，连，由的度数的度数，知由此即知被直线平分例11如图，由的顶点引另两顶点、的内、外角平分线的垂线，垂足分别为、，则、四点共线，且此线与的中位线重合证明延长、相交于点，设与相交于点，则为的内心由，知、四点共圆对及点应用西姆松定理，知、三点共线图6-13同理，对及点应用西姆松定理，知、三点共线故、四点共线由于为的垂心，则由西姆松线的性质知直线平分同理，直线平分，故直线与的中位线重合注由例11再回过来看例2，在例2中，是由点引另两个顶点的内、外角平分线的垂线，垂足分别为、4注意西姆松定理与托勒密定理的等价性可用西姆松定理证明托勒密定理：如图，为任意圆内接凸四边形，连，

10、过向各边作垂线，所在直线上的垂足分别为，连，由西姆松定理，知由，四点共圆，且为该圆直径及正弦定理，有，设为半径，则,故 同理，于是，由式有此即为托勒密定理也可用托勒密定理证明西姆松定理：设是的内接四边形，则由托勒密定理，有作直线于，作直线于，则由，四点共圆，且为该圆直径及正弦定理，有，即（为半径），亦即同理，把上述三式代入式，有，故，三点在一条直线上，此即为西姆松定理，因此，在应用中，我们应当注意灵活处置，若应用哪个定理方便，就应用哪个定理【模拟实战】习题A1设为外接圆周劣孤上一点，在边，上的射影分别为，令，求证：2设，为的三条弦，分别以它们为直径作圆两两相交于，求证：，三点共线3自的顶点作的

11、内、外角平分线，的垂线，垂足为，再作的内、外角平分线，的垂线，垂足为，求证：，四点共线4求证：正三角形外接圆周上任一点到三边距离的平方和为定值5若三圆均经过其三圆心所成的外接圆上任何一点，则此三圆两两相交于三个共线点习题B1点，是的外接圆上的两点(异于，)，点关于直线，的对称点分别是，连线，分别与直线，交于点，求证：()，三点共线；()，三点共线2设是一个圆内接四边形，点，和分别是到直线，和的射影证明：的充要条件是的角平分线的交点在上（44试题）3（卡诺定理）过外接圆上一点，向三边所在直线引斜线分别交，于点，且求证：，共线4过的三顶点引互相平行的三直线，它们和的外接圆的交点分别为，在的外接圆上

12、任取一点，设，与，或其延长线分别交于，求证：，共线5（清宫定理）设，为外接圆上异于，的任意两点，点关于，的对称点分别为，而，和，分别交于，求证：，共线设，为外接圆半径或延长线上两点，其中为外接圆半径，点关于、的对称点分别为，而，分别交，于点，求证：，共线第六章西姆松定理及应用答案习题A1由西姆松定理，知，三点共线，注意到，及，分别四点共圆，知，又由张角定理，有，即再应用正弦定理，得2根据直径所对的圆周角是直角，知，即知，；，；，分别三点共线又于，于，于，是外接圆周上一点，由西姆松定理，知，三点共线3延长，相交于点，延长，相交于点设与相交于点，则为的内心由，而，从而，四点共圆又于，于，于，是外接

13、圆上任一点，由西姆松定理，知，三点共线同理，四点共圆，于，于，于，由西姆松定理，知，三点共线故，四点共线4设正外接圆弧上任一点到边，的距离分别为，其垂足分别为，正三角形边长为由面积等式可得此式两边平方，得由，有同理，故又，及，分别四点共圆，有，得，故，同理，,，即由西姆松定理，知，共线，即于是，故5设以的三个顶点为圆心的三圆，皆经过同一点，而在的外接圆上，与另交于，与另交于，与另交于注意到与中，公共弦连心线；与中，公共弦连心线；与中，公共弦连心线对及其外接圆周上一点，应用西姆松定理，知，三点共线习题B1()设从点向，作垂线，垂足分别为，由对称性，知为的中位线，故同理，由西姆松定理，知，三点共线，故，三点共线()由，四点共圆，有亦有又，则即，从而同理，于是，由梅勒劳斯定理的逆定理，知，三点共线2由西姆松定理知，三点共线而，则，四点共圆于是，同理，由，共圆，有故类似地，从而,故,而和的角平分线分的比分别为和即可证3设在，由，知，四点共圆，四点共圆，从而，故，共线（当时，即为西姆松定理）