为随机变量分布函数

1、关于为随机变量的分布函数第一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2.3 连续型随机变量 定义 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度.二、性质下页几何意义： f(x)下方x轴上方所围面积为1一、定义第二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月(4) 在f(x)的连续点处有(5) 连续型随机变量取任何实数值 a 的概率等于0 .即 PX=a=0由性质(5)可得下页f(x)第三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 例1.设随机变量X的密度函数为求 (1)常数a;(

2、2)分布函数F(x). 解: (1)由解得 A=1/2.下页三、分布函数求法从而得第四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月求(2)分布函数F(x).当0 x2时，当x2时,由定义有下页当x0时, 例1.设随机变量X的密度函数为第五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月下页从而得分布函数为另：第六张，PPT共二十二页，创作于2022年6月例2.设连续型随机变量的分布函数为 求常数A.解：下页因为F(x)为连续型随机变量的分布函数，所以F(x)为连续函数，由连续函数的性质可得即 A=1 .第七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 如果随机变量X的概率密度为分布函数为则称X在区间a,

3、b上服从均匀分布, 记为XUa,b.得X 落在a,b内任一小区间c,d内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关四、常见连续型随机变量的分布下页1.均匀分布第八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 例3. 设随机变量X在2, 8上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.解：由于X在2, 8上服从均匀分布，故X的概率密度为 从而，Py2+2Xy+9=0 有实根=PX3+PX - 3=1-PX0为常数.分布函数为 指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布若随机变量X的密度函数为下页第十张，

4、PPT共二十二页，创作于2022年6月 例4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X (单位:分钟)服从参数l=1/5的指数分布. 等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去. 若该顾客一个月到银行5次, 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY1.该顾客未得到服务事件为X10，其概率为所以Y的分布律为 下页解：X的分布函数第十一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月若X的概率密度为分布函数F(x)x其中m , s(s 0)为常数，则称X服从参数为m ,s 2的正态分布或高斯(Gauss) 分布, 记作 XN(m , s 2) .f(x)0 x下页3.正态分布

5、 正态分布定义第十二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 曲线关于x =m对称. 当 x =m时，函数f(x)达到最大值，最大值为下页f(x)mm +hm -h 概率密度的特点 拐点 (m s ，f(m s);水平渐近线为 ox 轴.第十三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 固定s ，改变m值，曲线 f(x)形状不变，仅沿 x 轴平移. 可见m确定曲线 f(x)的位置. 固定m，改变s值，则s愈小时，f(x)图形的形状愈陡峭，X 落在m附近的概率越大.m1m2f(x)xf(x)xs =2s =0.5s =1下页第十四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月当m = 0, s =

6、 1时，称为标准正态分布. 记作 XN(0 , 1) .下页 标准正态分布标准正态分布的密度函数标准正态分布的分布函数第十五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 标准正态分布的特点下页第十六张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 例5. 设XN(0,1), 计算： PX2.35 ； P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54 .解： PX2.35 = (2.35) = 0.9906 . P-1.64 X0 .82 = (0.82)-(-1.64) = (0.82) -1- (1.64) = 0.7434 . P|X| 1.54= (1.54) (-1.54) =2(1.54)

7、 1 = 0.8764 .下页 标准正态分布查表计算查 页表第十七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月即下页 一般正态分布查表计算方法：转换为标准正态分布情形后，再查表.转换：于是有显然，第十八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月解： PX-2 = 1 - PX-2 = 1-F(-2) =1(-1.5)= (1.5)=0.9932 .=0.9938 - 0.9332= 0.0606 .=1 (1.5) - (- 2.5) = (2.5) - (1.5) P|X|4 = 1-P |X|4 = 1 - P - 4X4=0.97720.6915=0.2857 .下页 例6. 设X N (1,4)，求： PX-2； P2X5； P|X|4.第十九张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 例7 （“三”原则）设X N (,2)， 求P|X|，P|X|2， P|X|3解 P|X|= PX+ = =第二十张，PPT共二十二页，创作于2022年6月 例9.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h (cm), 则碰头事件可表示为X h，依题意有 PX h0.01 .因为XN(170,62),