赵腾飞老师结构力学4.2静定平面桁架

1、4.2静定平面桁架 计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法和截面法。 一、结点法结点法是截取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件X=0、 Y=0 ，求解各杆未知轴力的方法。结点法最适合用于计算简单桁架。利用结点法，与节点相连的各截断杆，均假设为拉力，若求解结果为正则杆件受拉，若为负值则受压。 1、利用力三角形与长度三角形对应边的比例关系简化计算 为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力FN，而是将其分解为两个分力（如水平分力Fx和竖向分力Fy ），先计算出其中一个分力，再计算斜杆轴力。利用上图下方这个比例关系，就可以很简便地由

2、其中一个力推算其它两个力，而不需要使用三角函数进行计算。 FNFNFxFylxlyloxyBAa(长度三角形)(力三角形)用图示桁架为例，来说明结点法的应用。首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标注于上图中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。 15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy1315kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN1515252012021520201531525152030405060 46060051520

3、5030400456075120660604575451207120454512015kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN-20-20-120201515255040300604575-456060-+2、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 (1)关于零杆的判断 在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为零杆。 2）T型结点：成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。1）L型结点：成L型汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。 L型结点T型

4、结点T型结点（推广）FN1=0FN2=0FN3=0(单杆)FN2= FN1FN1FN1 =FPFN2=0FP (荷载)=1）X型结点：成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线的杆件的内力两两相等。 2）K型结点：成K型汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。3）Y型结点：成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。 X型结点FN1FN3FN2= FN1FN4= FN3(2)关于等力杆的判断K型结点Y型结点FN1FN1FN

5、3FN3FN2= FN1FN2= -FN1FN4 FN3aaaa第三杆【例4-1】试求图示桁架各杆的轴力。 ABCDEFP1.5aaaaa1.5a12345678 910法一：直接用节点法，一个个节点求解，可求但较繁。解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力。(2)判断零杆 (3)计算其余杆件的轴力 AABBCCDDEEEFPFPFPFP1.5aaaaa1.5a4FP /34FP /312345678910FNE1FNE2FxE2FyE2-4 FP /3-4 FP /3-4 FP /3-4 FP /35FP /35FP /35FP /35FP /3法二：先据特殊节点判断零杆，可简

6、化计算请问：图中零杆可以去掉不要吗？【例4-2】试求图示桁架杆件 a 的轴力。 ll l lFP1 23 4 a本题直接用结点法：不可行。“可求解节点”概念：一个节点上两个未知力杆件对应两个平衡方程可求解；一个节点上未知力杆的个数多于两个时，只要能找出其中一些杆间存在某种关系（相当于补充方程，每多一个杆件则需补充一个方程），则节点也可求解。解: 首先，假设FN14=FN，取结点1 为隔离体，由 可得 FN12 = FN14 = FNllllFP1234a14设FN14= FNFN12= FNFN aFNFNFP依次由结点2（属K型结点推广情况）和结点3（属K型结点情况），可判定 FN23 =

7、-FN12 = -FNFN34 = -FN23 = FN llllFP1234a14设FN14= FNFN12= FNFN aFNFNFP再取结点4为隔离体，由 ，得 （拉力） llllFP1234a14设FN14= FNFN12= FNFN aFNFNFP最后，再回到结点1，由 ，得（压力） llllFP1234a14设FN14= FNFN12= FNFNaFNFNFP上述这种解题方法，习称通路法（或初参数法）。通路法实际上是结点法（或下面将介绍的截面法）再加上一“通路边界的平衡条件”。 通路法的具体作法是：1）选择一适当的通路（如本例从1234再回到1）， 要求回路要通畅，且愈短愈好。先设

8、通路上一杆的 轴力为FN 。2）由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴力， 并表示为初参数FN的函数。3）最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路边界 的平衡条件，求出FN，于是整个桁架的计算即可完成。 另提几点：）某一杆件的内力不好求出时，转化成先求相邻近的与其有关系的杆件，看其能否求出。（转移杆法）；）当一个节点上未知杆件个数多于两个时，是否可利用前述特殊节点找到其中一些杆之间的关系，从而补充方程（或减少未知量个数），转化成可求解节点。）通路法、等效杆法（或称代替杆法，本处未涉及），属了解内容，考研同学请自学。3、求解一个结点同时包含两个未知斜杆内力的简便方法FPFPABCDEF

9、GH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP3FP例4-3: 试用结点法求杆1、2的轴力FP1.5FPFPFPFP A B C D EFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP3FP1）求支反力, 2）判定零杆,3）对A取脱离体，即可求NAC，对C点取脱离体，可求出N1、N2。法一、用常规结点法求解:1.5FP1.5FP3FP03FPACXYN1N20FP-FP1.5FP3FPN1xN1yN2yN2xN2N10可由比例关系求得 1.5FPFPFPFP A B C D EFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP3FP1）求支反力

10、, 2）判定零杆,3）求出AC杆内力并在A点分解。取结点C 为脱离体，并将1、2杆内力在D、G分解，建立力矩平衡方程 ：MG=0 即： 得： FP1.5FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2法二、解: 可由比例关系求得水平方向建立平衡方程得：即： 得： 1.5FPFPFPFP A B C D EFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP3FPFP1.5FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2另提几点：）杆件轴力可在杆轴线所在的直线上任意点分解，可沿任意方向分解（不一定分解为正交分力，只要满足平行四边形法则即可，）；在适当位置

11、分解可使计算简化。）结点法不一定只能建立X、Y 方向力的方程，也可建立力矩方程（实质为“节点连同截断的杆端”一起为脱离体，而非节点这一个“点”作为脱离体）。二、截面法截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。截面法最适用于联合桁架的计算；也适用于简单桁架中少数指定杆件的内力计算。 在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化。截面选择原则：1)尽量切开被求杆件或尽量靠近被求杆件；2)

12、截断杆件尽量少，最好只有三个（可建三个方程直接求解）【例4-4】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa1、选择适当的截面，以便于计算要求的内力 方法一：求图示桁架指定杆件a、b的轴力。 12345678 910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa提示: 截面尽量剖开所求杆件。当此时所求杆件的内力不好求出时，剖开相临杆件，转化成先求相邻近的与其有关系的杆件，看其能否求出（转移杆法）；解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方程解出一个未知力。 由 ，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FP

13、abaaaaaaaa 方法二：FN2,9FN9,10127102FPFPabFPFNaFNbFN8,10F7,9F7,9XF7,9Y8在7节点分解FN79得：F79对节点2的力矩如何求？法1、12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 节点3为X形节点，所以N39=FP。对于节点9：将FN79在4,9方向分解各力；27 10934O代入上页式子可得FNa85再由 ，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10提示: 当很多杆件在同一直线上时，若剖开这些杆件，

14、因此些杆的未知轴力都在同一条直线上，对其直线上一点求矩时，则方程中不含这些杆的未知力。解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方程解出一个未知力。 由 ，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10F7,9F79对节点2的力矩如何求？法2：12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 节点3为X形节点，所以N39=FP。对于节点9：将N79在3,9方向分解各力；2710934N79YN79XFPFPFPFP2FP对节点2求矩，F79Y力臂为a, F

15、79x力臂为0,进而可求FNa。对节点8求矩，F79Y力臂为2a, F79x力臂为0,进而可求FNb。85提示: 当求一个斜杆对某一点的力矩时，将此力在合适的位置分解并考虑在合适的方向上分解。a3d3dAEBCPP例4-5：求桁架中a杆件的轴力。a3d3dAEBCPP法一:节点法（如何求？）a3d3dAEBCPP法二:截面法（1、转移杆法）aB3d3dAEBCYaXaP35-=YNaa25=32PYa-=dYdPMaA032=+=ACEPNaPP法二:截面法（2、同一直线上干较多时）2、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力FPFPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFAyFAyF

16、ByFByaaABCCCABACxyFNaFNa00(矩心)截面单杆1截面单杆2【例4-6】试求图示桁架指定杆件1、2、3的轴力。解：截取截面-左边部分为隔离体，只需注意选择适当矩心，分别列写出相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。 FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPACF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一) FPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二) FPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2F(1)求FN3 在上图b中，由 ，得 1.5FP4 - FP2 + Fx32=0 FPFPFP

17、ABCD E FGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FP FPACF1.5FPGFN1FN2FN3 Fx3Fy3D(矩心一)图b(2)求FN2：在上图c中，由 ，得 FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二)图c(3)求FN1：在上图d中，由 ，得 FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPAC1.5FP(矩心三)FN1FN3FN2F图d3、截面法求解联合桁架截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。一般取其中的一个简单桁架作为一

18、个刚片取脱离体。例题4-7： 作-截面并取左边（或右边）为隔离体，由 求出FNa。 FPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFByAABCCDEDaFNa(联系杆)本题仍为联合桁架.取一个简单桁架作为脱离体如右图.(可作一封闭截面-，截取隔离体如图所示)，由可求出FNb；由 ，可求出FNa；由 ，可求出FNc（由FN1、FN2均成对出现，计算中有关项相互抵消；另：由于斜杆互不相交，1,2杆轴力对脱离体BHCF不影响）。 例题4-8：（注意本题是桁架结构，中间各斜杆不相交）FPFPFAyFByABCDabc12FPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN2EFHG三、结点法与截面法

19、的联合运用 【例4-9】试求图示桁架指定杆件a、b、c的轴力。 解：(1)求FNa：取截面-上边部分为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-(2)求FNb：取结点1为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-(3)求FNc：取结点2为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-【例4-10】试求示桁架指定杆件a、b、c的轴力。 1234567891011121314acF1yF12yFPb解：(1)求FNa：取截面-左边为隔离体 由 求得Na 1234567891011121314abc F1yF12yFP123F1y46FNa(矩心一)也可取截面红色虚线为截面，利用

20、“多杆共线”。(2)求FNb：取截面-左边为隔离体 求出Fxb，从而按比例求得Nb。 1234567891011121314abc F1yF12yFPF1y1234567FNaFNb(矩心二)FxbFyb法2：5节点K节点：求出Fb=- Fc ，取左脱离体竖向求平衡，从而求得Nb。 法1：由(3)求FNc：取结点5为隔离体,该结点属于K型结点 Nc = -Nb 1234567891011121314abc F1yF12yFP5FNc= -FNbFNb【例4-11】试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。 解：(1)取结点6为隔离体，由 ，得由 ，得 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m6

21、0kN60kN80kN80kN660kN-60kN-60kNFN76=60kNkN26046N-=F(2)取截面-左边为隔离体，由 再由 ，得 573960kN80kNFN76=60kNFNbFN13FN83(矩心一)(矩心二)1234568ab2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN7(3)取结点8为隔离体（图5-19d），属于X型结点，可知 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN8FNaFN38FN18FN84ABCDEFGaaaaaaP例 4-12 求图示桁架中AD、BE 杆的轴力（双截面法） 取-截面以上取-截面以上取-截面

22、以上YB另： F节点反K型节点，F FG=P(2) G节点Y型节点，F GC=F FG=P四、对称桁架的计算（上章刚架也可利用对称性） 对于静定桁架，若几何形状、支承形式和内部联结都关于某一轴线对称，则称此桁架为对称桁架。 FPFP对称结构: 对于静定结构，几何形状、支承条件和内部联结均对某轴对称的结构.FPFP对称荷载反对称荷载所谓对称荷载，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；而反对称荷载，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。 1、对称桁架的基本特性(1)在对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，

23、即大小相等，且拉压一致。(2)在反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的， 即大小相等，但拉压相反。(3)在任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对 称荷载两组，分别计算出内力后再叠加。【例4-13】试用比较简捷的方法计算图4-13所示桁架各杆的轴力。123452FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FP解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图示。然后将各对应杆的轴力叠加 。计算过程从略。 123452FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP-123451FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345=+【例4-14】用对称性计算例4-2中图示桁架杆件a的轴力。 =FPFPFP/2FP/2allll1234567+=解： (1)将荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对称 荷载，如图所示。 (2)求在对称荷载作用下杆件a的轴力FNa1： FNa1 = -FP。 FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP/2FP/2FP/2FP/200FP/2FP/2FP/2FP/2-FP+FP/2FP/