§61 数列的概念及简单表示法知识点及题型和变式练习

1、5.已知Sn，则anS1（n=DSS（nN2）6.1数列的概念及简单表示法【考试会这样考】1.以数列前几项为背景写数列 的通项；2.考查由数列的通项公式或递推关系， 求数列的某一项;3.考查已知数列的递推关系或 前n项和Sn求通项an.【复习要这样做】1.在通项公式的求解中，要注 意归纳、推理思想的应用，寻求数列的项的规 律；2.通过Sn求。，要对n=1和nN2两种情 况进行讨论;3.灵活掌握由递推关系求通项公式 的基本方法.基础知识,自主学习I要点梳理I数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分 类有穷数列项数有限无

2、穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an+1 an其中nEN*递减数列an+1 an常数列a+1 =Qn按其他标准分类有界数列存在正数M，使 laJWM摆动数列从第二项起，有些项 大于它的前一项，有 些项小于它的前一 项的数列数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、 图象法和解析法.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系 可以用一个公式a=f(n)来表示，那么这个 公式叫做这个数列的通项公式.难点正本疑点清源对数列概念的理解数列是按一定“次序”排列的一列数， 一个数列不仅与构成它的“数有关，而 且还与这些“数”的排列顺序有关.数列的项与项数：数列的项与项数是两个

3、不同的概念，数列的项是指数列中某一 确定的数，而项数是指数列的项对应的位 置序号.数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的 有限子集1,2,3,，n)的特殊函数，数列 的通项公式也就是相应的函数解析式，即 f(n)=an (nEN*).I基础自测I已知数列an的前4项为1,3,7,15，写出数 列an的一个通项公式为.数列。满足。=0，an+1=an+2n，则an 的通项公式a =.n若数列an的前n项和Sn=n210n (n = 1,2,3，)，则此数列的通项公式为an =;数列nan中数值最小的项是 第 项.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值 为()A. 15B. 1

4、6 C. 49D. 645. (2011-江西)已知数列an的前n项和Sn满 足：Sn+Sm=Sn+m，且 a1 = 1，那么 a10 等于(A. 1B. 9 C. 10 D. 55所以 a =3(10n1). n 3探究提高（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几题型分类-深度剖析方面的特征：登 Pt HYPERLINK http:/www.zxstkw www.zxstkw. co m分式中分子、分母的特征;一:站卫相邻项的变化特征;题型一 由数列的前几项求数列的通项拆项后的特征;【例1】写出下面各数列的一个通项公式:各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.3,5,

5、7,9，;1!31 16,32,;13133,4，5,6,-1，2,3 7，4，8,（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项 公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊 到一般”的思想，由不完全归纳得出的结(4)3,33,333,3 333,-.果是不可靠的，要注意代值检验，对于正思维启迪：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关负符号变化，可用（一1）或（一1）+1来调整.变式训蝶1根据数列的前几项，写出数列系，项与前后项之间的关系.的一个通项公式:解（1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n +1.1316_29 61-32，64,710，17,（2）每一项的分子比分母少1

6、,而分母组成2n 1 数列21,22,23,24,，所以气=.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（一1）；各项绝对值的分母组成数0,1,0,1，-.列1,2,3,4,；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2 1,偶数项为2+1,所以a =( n八 2 + (1)n5 n - an.求实数k的取值范围.审题视角(1)求使an0的n值；从二次函 数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数， 通项公式可以看作相应的解析式f(n) = n2 +kn+4f(n)在N*上单调递增，但自变量不 连续.从二次函数的对称轴研究单调性.规范解答解(1)由 n25n+40

7、,解得 1nan知该数列是一个递增数列，又 因为通项公式a =n2+kn+4，可以看作是 n关于n的二次函数，考虑到nEN*，所以一k 3 2 3.12 分温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可 以看做是一个定义在正整数集N*上的二次 函数，因此可以利用二次函数的对称轴来 研究其单调性，得到实数k的取值范围， 使问题得到解决.在利用二次函数的观点解决该题时，一 定要注意二次函数对称轴位置的选取.易错分析：本题易错答案为k2.原因 是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变 量是正整数.思想方法,感悟提高交错数列一般用(一1)n或(一1)n+1来区分奇 偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一 般只要求

8、写出数列的前几项，若求通项可 用归纳、猜想和转化的方法.2 . 强调an与Sn的关系：an =S1(n=Dlaj (n= 1,2,)” 是“an为递增数列”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.必要条件 D.既不充分也不必要条件3如果数列an的刖n项和Sn=2a一3,那么这个数列的通项公式是()A. a =2(n2+n+1)B. a =32nnC. a =3n+1D. a =23nn二、填空题(每小题5分，共15分)5.已知数列an对于任意p, qEN*，有ap+1-= ap+q，若 % = 9, 36 =已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有 S =2a -1，且 1S9 (

9、kEN*)，则 a,n 3 n 3k1的值为，k的值为. 已知。=2，a”+ a=2n+1 (nEN*)，则an =三、解答题(共22分)8. (10分)数列an的通项公式是an = n27n +6.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)(3)该数列从第几项开始各项都是正数?1.已知数列an满足 a1 = 2， an+1 = ；% n TOC o 1-5 h z (nEN*)，则 a1-a2-a2013 的值为()A3 B1C2 D3a2=2，2.数列an满足 an+an+1 = 2 (nEN*)，Sn是数列an的前n项和，则S21为(A. 5 B. f C. 9D. 13乙乙乙3.在数列an中，an= 2n2+29n + 3，则此 数列最大项的值是（）D. 108865825A. 103 B.C.T88二、填空题（每小题5分，共15分）4.已知数列a*中，a】=2,a+i = 1 (nN2)，n则 a16 =5.a+b，24 ，中