离散型随机变量及其分概率布律

1、2.2 离散型随机变量及其分概率布律一.离散型随机变量及其概率分布二.几个常用的离散型分布三.小结 思考题1离散型随机变量的定义 一.离散型随机变量及其概率分布 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X 的所有可能取值为为离散型随机变量 X 的分布律也称概率函数2离散型随机变量定义设离散随机变量的所有可能的取值为称为的概率分布或分布律，也称概率函数.常用表格形式来表示的概率分布：由概率的定义，必然满足：(1)(2)完3例1某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9,求他两次独立投篮投中次数的概率分布.解可取 0, 1, 2 为

2、值,且于是,的概率分布可表示为完4【例4】盒中有5个乒乓球，其中2个白球，3个黄球，从中任取3个，记X=“取到白球的个数”，X是一个随机变量，且X的可能取值是0，1，2，X0 1 2p0.1 0.6 0.3p2=PX=2=0.3概率分布为p0=PX=0=0.1p1=PX=1=0.6X的概率分布表：5 【例1】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p可爱的家园6解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X

3、的分布律为：pkp或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,301234(1-p) p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 X PX= 4 = (1-p)4 7以 p = 1/2 代入得X 的分布律：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.062581.两点分布定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分布,即参数为的两则称服从处的两点分布.参数为若服从处则称服从参数为的分布.完二.几个常用的离散型分布9【例2】抛掷一枚质地均匀的硬币,有两种可能的结果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量X，令 pk=PX=k=0

4、.5 (k=0,1).X 0 1p0.5 0.5X的概率分布表：概率分布为10例2200 件产品中,有 196 件是正品,则服从参数为 0.98 的两点分布.于是,4 件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定完112. 二项分布 将试验E重复进行n次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，称这n次试验是相互独立的。贝努利试验：12PX=k= (k= 0,1,2,n)=？X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数,则X是一个随机变量，所有可能取值为0,1,2,n.事件A在k(0kn)次试验中发生，其它n-k次试验中不发生的方式有13 (1) PX=k0, k=0

5、,1,2,n.二项分布中满足说明n=1时，注意即PX=0=1-p, PX=1=pPX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，(0-1)分布定义若一个随机变量的概率分布由 (1) 式给出,则称服从参数为记为的二项分布,14二项分布的图形特点:完对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.15在图1和图2中，分别给出了当和时二项分布的图形.从图易看出：对于固定及当增加时，概率先是随之增加直至达到最大值，随后16当为整数时，二项概率在和处达到最大值.注：为不超过的最大整数.完单调减少.可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一性质，二项概率在达到最大值；不为整数时，且当先是随

6、之增加直至达到最大值，随后17【例2】一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？则答5道题相当于做5重Bernoulli试验,解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，18【例3】按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽取20只,问20只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只为一级品的概率为多少？记X为20只元件中一级品的只数,解19解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,则Xb(400,0.02),某人进行射击，设每次射击的命中率为0.0

7、2，独立射击400次，求至少击中两次的概率。所求概率为20【例4】解第一种方法：X:第1人维护的20台中同一时间发生故障的台数Ai :第i人维护的20台中发生故障不能及时维修,(i=1,2,3,4)80台发生故障不能及时维修的概率为21第二种方法则80台发生故障不能及时维修的概率为224.泊松(Poisson)分布随机变量X所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为X().(1) PX=k0.有23【例5】因为解所以244.二项分布的泊松近似对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算n=5000故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的泊松近似，在本

8、章第四节中还将介绍二项分布的的正态近似.25泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时，为常数),则有注：(i)：定理的条件意味着当很大时，必定很小.因此，泊松定理表明，当很大，很小时有下列近似公式：26二项分布的泊松近似很小时有下列近似公式：实际计算中，时近似效果变很好.(ii)把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件，此类事件如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等，则由泊松定理知，重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.完27例8一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数的泊松分布来描述,为了以 95%以上的把握保证不脱销,问

9、商店在月底至少应进该种商品多少件?解设该商品每月的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即可以用参数28解设该商品每月的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.完29例 9自 1875年至 1955年中的某 63年间,上海市夏季( 5-9月)共发生大暴雨 180次,试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.解每年夏季共有天,每次暴雨发生以 1 天计算,则夏季每天发生暴雨的概率将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布海市一个夏季暴雨发生次分布模型.来建立上的概率30解将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分

10、布来建立海市一个夏季暴雨发生次分布模型.上的概率设表示夏季发生暴雨的次数,由于故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为31解故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为并将它与资料记载的实际年数作对照,这些值及的值均列入下表.由上述的概率分布次暴雨的理论年数计算 63 年中上海市夏季发生3201234560.0553.540.16010.180.23114.6140.22414.1190.16210.2100.0945.940.0452.82理论年数实际年数理论年数实际年数78910110.0191.210.0070.4410.0020.1200.0010.05000033由上表可见,按建立的概率分布模型计算的理论年数这表明的模型分布.与实际年数总的来看符合得较好,所建立能近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率完34三、小结1. 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的分布律满足2.(01)分布(两点分布):随机变量X只可能取0与1两个值,分布律是PX=k=pk(1-p)k-1,(k=0,1)(0p1)称X服从(0-1)分布。35(k= 0,1,2,n)4.泊松(Poisson)分布随机变量X所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为X().36 保险公司为了估计企业的利