初高中衔接教材2013最新编辑

1、第一章 数与式的运算1.1 实数的分类及其基本性质【知识梳理】 有理数都可以写成有限小数(包括整数)或无限循环小数的形式；都可以表示成分数(p、q是互质的整数，q0)反之，能表示成(p、q是互质的整数，q0)形式的数都是有理数无理数是无限不循环小数，不能写成(p、q是互质的整数，q0)的形式有理数与无理数统称为实数，具体分类如下：实数的基本性质：1无界性：没有最大的实数，也没有最小的实数2稠密性：任何两个实数之间有无数多个实数3连续性：全体实数和数轴上的所有点是一一对应的4有序性：任何两个实数都可以比较大小给定两个实数a、b，则ab、a=b、ab三者之中有且仅有一个成立在数轴上，右边的点表示的

2、数比左边的点表示的数大5运算的封闭性：任何两个实数的和、差、积、商(除数不为零)一定是实数；任何一个实数都可以开奇次方，其结果是实数；只有当被开方数是非负实数时，才能开偶次方，其结果是实数任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为零)一定是有理数；但无理数不具有上述性质设m为有理数，n为无理数，则m+n、mn是无理数；若m0，则mn、都是无理数；若m=0，则mn、是有理数6实数的运算满足交换律、结合律、分配律【例题讲解】【例1】 下列各数：1、3、+1、2+、中，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？【解】以上各数中为整数的是：1、3、；为有理数的是：1、3、；为无理数的是：、2+【例2】 若

3、x是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件(1) x0； (2)2x是偶数； (3)|x|x； (5)(x)2= x2 ； (6)3x2x【解】(1) 不对，当x0时成立； (2) 不对，当x是整数时成立；(3) 不对，当x0时成立； (4) 对；(5) 不对，当x=0时成立； (6) 不对，当x0时成立 【例3】 比较下列各组数的大小(1)2与3；(2)+与+2【解】 (1) 因为2=，3=， 因为，所以23 (2) 因为(+)2=7+2，(+2)2=7+4=7+2， 因为7+27+2，所以+b，a=b，ab三种关系中的一种比较两个实数的大小方法有很多，可以通过变形(如本题(1)、(2

4、)后进行判断；也可以利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大来进行判断；还可以把实数化成小数后进行判断另外还有“比差法”与“比商法”等【例4】 若3+a=2b，求有理数a和b的值【解】 因为3=2b，a = ，所以a = ，b = 【说明】 设p为无理数，a、b、c、d为有理数，且b0，d0，若a+bp=c+dp，则必有a=c，b=d【例5】 求无理数的纯小数部分【解】 因为34，所以是整数3与一个小于1的正小数(即纯小数)的和，所以的纯小数部分为3【说明】 无理数是无限不循环小数，每一个无理数都能写成一个整数与一个小于1的正的纯小数之和的形式【练习1.1】1下列各数：2、0.35、2中

5、，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？2若a是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件(1) a20；(4) a2a；(5)(a)3 = a3；(6) a2a3比较下列各组数的大小(1) 5与7；(2) +与+ 4(1)若ab0，比较|a|与|b|的大小；(2)若ab0，比较a、|b|、ab的大小5求无理数的纯小数部分6已知(2a1)2=9，求a的值7写出绝对值小于的所有整数8设a、b是正有理数且(a+)a+(b)b=25+，求a、b的值1.2 绝对值及其几何意义【知识梳理】数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值其代数意义就是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反

6、数，零的绝对值是0即：|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点间的距离|ab|的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点间的距离绝对值有如下运算性质：(1) |ab|=|a|b|；(2) (b0)；(3) |a|b|a+b|a|+|b|；左边的等号当且仅当ab0时取到，右边的等号当且仅当ab0时取到；(4) |a|b|ab|a|+|b|；左边的等号当且仅当ab0时取到，右边的等号当且仅当ab0时取到【例题讲解】【例1】 化简：(1) |2x1|；(2) |x1|+|x3|【解】 (1)本题分2x10、2x10两种情况讨论：1o 当x时，2x10，原式=2x1，2o 当x时，2x10，原式=

7、12x，即：|2x1|=(2)本题分x1、1x3、x3三种情况讨论：1o 当x1时，x10，x30，原式= 42x；2o 当1x3时，x10，x30，x30，原式= 2x4，即：|x1|+|x3|=【例2】若a、b、c是非零实数，求M=的值【分析】 在a0时为1，在a0时为1，所以M的值与a、b、c的正负及正负的个数有关【解】 当a、b、c中三个全是正数，M=4；当a、b、c中两个为正数、一个为负数，M=0；当a、b、c中两个为负数、一个为正数，M=0；当a、b、c中三个全是负数，M= 4【例3】 解方程：(1) |x1|=1； (2) x|x|2|x|3=0【解】 (1)根据绝对值的意义，x

8、1=1或x1= 1，即x=2或x=0；(2)当x0时，原方程可化为：x22x3=0，解得：x=3或x= 1，但x0，故x= 1舍去；当x21x图1.2102【解】 (1)根据绝对值的几何意义知不等式|x1|1的解为到点1距离小于或等于1的所有点所对应的实数，由图可知为：0 x2；311x图1.22(2)根据绝对值的几何意义知不等式|x+1|2的解为到点1距离大于2的所有点对应的实数，由图可知为：x1【说明】 本题也可以从整体换元的角度直接做，如第(1)题，我们把x1看成a，则有|a|1，有1a1，即1x11【例5】(1)解方程：|x+1|+|x1|=2；(2)若关于x的方程|x+1|+|x1|

9、=a有解，求实数a的取值范围【分析】 本题可以像例1一样采取零点分段法去绝对值符号，现在我们从绝对值的几何意义角度来思考这个问题【解】 (1)此方程的几何意义为：数轴上表示数x的点到表示数1的点与表示数1的点的距离之和为2考察数轴上的点可知：方程|x+1|+|x1|=2的解为：1x1的一切实数(2)代数式|x+1|+|x1|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数1的点与表示数1的点的距离之和，易知此距离的最小值为2，所以当a2时方程有解故实数a的取值范围是：a2【练习1.2】1下列命题中哪些是真命题？(1)|ab|=|a|b|；(2)|ab|=|ba|；(3)若|a|=b，则a=b；(4)若

10、|a|b|，则ab；(5)|a+b|=|a|+|b|2若|a2|=2a，求实数a的取值范围3化简：(1)； (2)|；(3)|1+| (a0)； (4)|1m| (1m2；(2)|x3|0得：a 2，故当a 2，此方程的解为正数【例2】解关于的方程：(1)；(2)解：(1) 由原方程得， 当时，方程的解是；当时，方程的解是任意实数；(2) 由原方程得，当ab0且a+b0时，方程的解是；当ab0且a+b=0时，方程无解；当ab=0时，方程的解是任意实数【例3】解含有绝对值的方程：(1) 解方程：|2x 1| = |3x+1|； (2)求关于x的方程的解【解】解法一：2x1=3x+1或2x1 =

11、(3x+1) ， x = 2 或 x = 0；解法二：两边平方得：(2x1)2 = (3x+1)2 ，整理得： x2+2x=0， 解得：x= 0或x = 2【说明】 一般我们在处理去绝对值时可以考虑用平方法替代分类讨论简化计算(2)原方程化为需根据a的取值范围进行分类讨论：当 a 3时，原方程化为 或 ，解得：或【例4】当k、m分别为何值时，关于x、y的方程组至少有一组解【解】当时，方程组有无穷解，当k2k1时，方程组有唯一解，所以当k1或k=1且m=4时，方程组至少有一组解【说明】一般地，当且仅当时，方程组有无穷解，当且仅当k1 k2时，方程组有唯一解，当且仅当时，方程组无解【例5】 解关于

12、x、y的方程组： (ab0，|a|b|)【解】 两式相减整理得：(ab)x = (ab)y，因为 ab0，|a|b|，得：x=y， 回代任一方程可得x=1，同理y=1，所以，原方程组的解是【例6】 已知方程组在什么情况下方程组有唯一解？无解？ 有无数多组解？ 【解】 由(1)得：x=32y (3)将(3)代入(2)得：2(32y)+my=n，即：(m4)y = n6，当m 4时，代入(3)得：,当m = 4，n = 6时，y可取一切实数，得：满足x+2y = 3的一切实数对 当m = 4，n 6时，代入(1)，方程无解，所以(1) 当m 4时， ，(2) 当m = 4且n 6时，无解，(3)

13、当m = 4且n = 6时，有无数多组解【说明】 由图像法解二元一次方程组 (a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知非零实数，若有零，则单独检验)，可有三种情况：(1) 当时，两直线相交于一点，原方程组有一个解；(2) 当时，两直线重合，原方程组有无数个解；(3) 当时，两直线平行，原方程组无解【例7】 不论取什么实数，方程(21)x+(+3)y(11)=0是否总有定解，如存在请求出这组解，如不存在请说明理由【解】解法一 令=0，得：x+3y+11=0 ，令=1，得：x+4y+10=0 ，解、所组成的方程组，解之得：，现将代入已知方程的左边，得：(21)2+(+3)(3)(11)=4239

14、+11=0，这表明不论取什么实数，所给方程均有定解解法2：化简原方程为：(x+3y+11)+(2x+y1) = 0，由，再将点代入已知方程的左边，(21)2+(+3)(3)(11)=4239+11=0，这表明不论取什么实数，所给方程均有定解【说明】 一般我们对于含有参数的题目，会通过参数分离法进而得出恒定方程此题的另一个结论就是：这条直线恒经过点(2, 3)【练习2.1】1解关于x的方程：(1) ；(2) (a1)(a4)x=a2(x+1)2解关于x的方程：(1)；(2)3解关于的方程组4当和取何值时，直线和直线互相平行？5已知：直线，不论为何实数，直线恒过一定点，求点M的坐标6已知直线l：5

15、ax5ya+3=0，求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限7已知两直线和都经过点，则经过两点，的直线方程是，为什么？2.2 一元一次不等式(组)【知识梳理】一元一次不等式经过变形均可化为axb或axb或axbax0a0无解一切实数b=0无解无解b0一切实数无解由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组不等式组的解应使不等式组中所有不等式都成立，因此不等式组的解是不等式组中所有不等式的解的公共部分【例题讲解】【例1】解不等式【解】 不等式两边同乘以2得：4x(x+3)2+x，整理得：2x5，所以x1，解不等式(2)，得x ，所以不等式组的解是1 1，不等式的解集

16、为一切实数；(3) 当时，原不等式的解集为【例4】求关于的不等式组的解解：由(1)得x1应分以下两种情形讨论： 当a1时，原不等式组无解； 当a1时，原不等式组的解集为1x0，y随着x的增大而增大，由此可得： 4y22。【说明】 在直角坐标内作出方程y3x=7的图像，通过观察图像得出y的取值范围，也很直观【例6】若关于x的不等式：的任何一个解x都小于(1)求a的取值范围；(2)求a的最小整数值【解】(1)不等式两边同乘以5，得：32x+55a，整理得：2x85a，所以x ”、“ ”若，则_；若，则_；若，则_；若，则_；2若不等式的解是，则得取值范围_ 3解关于x的不等式：(1)；(2)4设关

17、于x的不等式的解集为x0时，方程(*)有两个不相等的实根 ；(2) 当=0时，方程(*)有两个相等的实根 ；(3) 当0；(2) 当方程(*)有两个相等的实根时，=0 ；(3) 当方程(*)没有实根时，2 (B)k2且k1 (C)k2且k1(2)若x1、x2是方程2x26x+3=0的两个根，则的值为 ( )(A) 2(B) 2 (C) (D) (3)已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程的根，则等于 ( )(A) 3(B) 5 (C) 5或3 (D) 5或3(4)若实数ab，且a、b满足，则的值为 ( )(A) 20(B) 2 (C) 2或20(D)

18、 2或202填空题(1) 若方程的两根之差为1，则的值是 _ (2) 设x1、x2是方程x2+px+q=0的两实根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根，则p= ，q= 3解方程：(1)；(2)4a为何值时，关于x的分式方程无解？5已知关于x、y的方程组有两个相等的实数解，求m的值及这个方程组的解6已知：关于的方程恰有三个实数根，求的值2.4 一元二次方程根与系数的关系的应用【知识梳理】韦达定理：方程ax2+bx+c=0 (a0)的二实根为x1、x2，则，若y=f(x)与x轴有交点(x0, 0)f(x0)=0，若y=f(x)与y=g(x)有交点(x0，y0) f(x)=g

19、(x)有解x0设一元二次方程为ax2+bx+c=0 (不妨设a0)，对应的二次函数为y=ax2+bx+c (a0)借助于函数图像，可以从判别式、对称轴、区间端点对应函数值符号三个方向进行分析，可以得到如下规律：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)无实根二次函数y=ax2+bx+c(a0)图像恒在x轴上方0)1若ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，若x1、x2均大于实数m，则必有：，反之亦然，(或)；2若ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，若x1、x2均小于实数m，则必有：，反之亦然，(或)；3若ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，若x1mx2，则必有：f(m)0，

20、反之亦然；4若ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，若m1m2，且x1、x2有且仅有一个根介于m1、m2之间，则必有：f(m1)f(m2)0，反之亦然；5若ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，若m1x1x2m2，则必有： ，反之亦然3ox=2yx图2.31【例题讲解】【例1】 一元二次方程x24x+a=0有两个实根x1、x2，一个比3大，另一个比3小，求a的取值范围【解】解法一：由，解得：a3o2xy图2.32解法二：设f(x)=x24x+a，则如图2.31所示，只须f(3)0，解得a3【例2】 已知一元二次方程x2+(a29)x+a25a+6=0的一个实根小于0，另一个实根大于

21、2，求实数a的取值范围解：如图2.32，设f(x)= x2+(a29)x+a25a+6，则只须，解之得，所以2a0，二是x1=x2，所以要分类讨论【解】(1) 因为方程两实根的积为5，所以 ，所以k，k= 4，所以，当k = 4时，方程两实根的积为5(2) 由|x1| = x2得知：当x10时，x1 = x2，所以方程有两相等实数根，故 = 0得k = ；当x1 0得k ，故不合题意，舍去综上可得，k = 时，方程的两实根x1、x2满足|x1|= x2【说明】 根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0【例4】 当m取什么实数时，方程4

22、x2+(m2)x+(m5)=0分别有：两个正实根；一正根和一负根；正根绝对值大于负根绝对值；两根都大于1【解】 设方程4x2+(m2)x+(m5)=0的两根为x1、x2，若方程4x2+(m2)x+(m5)=0有两个正根，则需满足：符合条件的m的值不存在.所以原方程不可能有两个正根.若方程4x2+(m2)x+(m5)=0有一正根和一负根，则需满足：m5所以此时m的取值范围是m5.若方程4x2+(m2)x+(m5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：m2.所以此时m的取值范围是(-,2).解：若方程4x2+(m2)x+(m5)=0的两根都大于1，则需满足：故符合条件的m 值不存在所以此时符合

23、条件的m 值不存在，即原方程不可能两根都大于1.【例5】 已知方程2(k+1)x2+4kx+3k2=0有两个负实根，求实数k的取值范围【解】要原方程有两个负实根，必须：所以实数k的取值范围是2k1或k1【说明】 解这类含参二次方程的实根分布问题时，充分利用了二次方程根的判别式和韦达定理这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，但此法有时不大奏效下面将主要结合二次函数图像的性质，介绍一元二次方程实根分布情况【例6】 是否存在这样的实数k，使得二次方程x2+(2k+1)x(3k+2)=0有两个实数根，且两根都在2

24、与4之间？若有，试确定k的取值范围；若没有，简述理由【解】 设f(x)=x2+(2k1)x(3k+2)，则其图像为开口向上的抛物线根据题意若方程有两个实数根，且两根都在2与4之间，则抛物线与x轴应有两个交点或一个交点，且交点都在2与4之间(如图)符合条件的k值应满足下列条件：2oyx图2.334即 因为这个不等式组无解，故符合条件的k值不存在 【例7】 实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于3解： 12a0【说明】 此题利用函数图像及函数值来“控制”一元二次方程根的分布解法直观而简捷【练习2.4】1关于x的方程x2+ax+a1=0有异号

25、的两个实根，求a的取值范围2关于x的方程x2ax+a24=0有两个正根，求实数a的取值范围 3已知关于x的方程 (k2)x2(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k的取值范围4实数m为何值时关于x的方程7x2(m+13)x+m2m2=0的两个实根x1、x2满足(1)0 x1x22；(2) 0 x11，1x22 5设关于x的方程4x24(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于1，另一个实根小于1，则m、n必须满足什么关系 6已知关于的方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围；(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由7若x1、x2是关于x的

26、方程x2(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根，且x1、x2都大于1(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值2.5 可化为一元二次方程的其他方程【知识梳理】解分式方程的步骤：(1)把各分式的分母分解因式；(2)在方程两边同乘以各分式的最简公分母；(3)去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；(4)解一元二次方程；(5)验根解简单的无理方程的步骤：(含未知数的二次根式恰有一个的无理方程)(1)移项，使方程的左边仅保留含未知数的二次根式，其余的项移到方程的右边；(2)两边同时平方，得到一个整式方程(一元一次方程或一元二次方程)；(3)解整式方程；(4)验根简单的高次方程：含有一个未知数，且未

27、知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程解简单的高次方程的方法：一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解【例题讲解】【例1】解方程：(1)； (2) 18=【解】(1)解法一 方程两边同时乘以x(x+1)(x+4)，得到：x(x2)=x(x+4)+(x4)(x+1)，即：x2+3x4=0，解之得：x=1或x=4，经检验：x=4是增根，(舍去)，x=1是原方程的根解法二 原方程等价转化为即：所以原方程的根是x=1(2) 设u=，则原方程可化为：u+=18，即：u218u+72=0，解之得：u=6或u=12

28、，(1)若u=6，则=6，即：x22x+6=0，此方程无解；(2)若u=12，则=12，即：x28x+12=0，解之得：x=2或x=6经检验，x=2，x=6都是原方程的根【说明】解第(2)题的关键是把方程中的看做一个整体，通过“换元”化简方程另外分式方程的解必须检验【例2】解关于x的方程： (a0) 【解】原方程可化为ax=ax，即：(a+1)x=a，(1) 当a=1时，方程无解；(2) 当a1时，x=，因为a0，所以x0且xa【说明】字母讨论的目的就是分清解的情况【例3】解方程：x+=6【解】原方程可化为=6x， (1)考虑x的取值范围，可得：，所以x的取值范围是4x6，(1)式两边平方x4

29、=x212x+36，整理得：(x5)(x8)=0，所以x=5或x=8 (舍去)【例4】解方程：2x25x5=x+5【解】原方程可化为：2x26x25=3，设u=，则原方程又可化为：2u25u3=0，解之得：u=3或u=，由=3，得x=2或x=5，由= ，此方程无解，经检验原方程的解为：x=2或x=5【例5】 解方程：【解】根据合分比定理： ，得：，去分母得：(x2a)+(x+2a)=0，(+)=0，解之得：x=2a，经检验知：x=2a是原方程的根【说明】形如的方程，若f(x) g(x)或m(x) n(x)的形式比较简单，则可利用合分比定理化简方程【例6】 解方程 (1)x3+3x2-4x=0；

30、 (2)x413x2+36=0【解】 (1)原方程可化为：x(x1)(x+4)=0，x1=4，x2=0，x3=1；(2)原方程可化为：(x29)(x24)=0；(x+3)(x3)(x+2)(x2)=0，所以x1= 3，x2=2，x3= 2，x4=3【例6】解方程：(x1)(x2)(x3)(x4)=48【解】 原方程等价转化为：(x25x+4)(x25x+6)=48，设u=x25x+5，则原方程可化为：(u1)(u+1)=48，即u2=49，所以u=7或u=7，由x25x+5=7，得：x=或x=，由x25x+5= 7，此方程无解，经检验知：x=或x=是原方程的解【例7】 解方程：12x456x3

31、+89x256x+12=0【解】 原方程等价转化为：12x256x+89+=0，即：12(x2+)56(x+)+89=0，即：12(x+)256(x+)+65=0，设u= x+，则原方程可化为：12u256u+65=0，解之得：u=，或u=，(1) 当u=，则x+=，解之得：x=2或x=；(2) 当u=，则x+=，解之得：x=或x=经检验原方程的根是x=2或x=或x=或x=【练习2.5】1选择题：(1)方程的解为 ( )(A)1和2 (B)2 (C) 1 (D)0和2(2)方程x2+x+ ( )(A)1和3 (B)1 (C)无解 (D)3(3)下列方程中，有实数解的是 ( )(A)+1=0 (

32、B)=x4 (C)=x (D)=0(4)用换元法解方程x23x=1，如果设u=，那么原方程可以化为 ( )(A)u2u+4=0 (B) u2u1=0 (C) u2u6=0 (D) u2u+6=02填空题(1)方程解是 (2)已知，则xy= (3)若，则= 3解关于x的方程：=4解方程：(1)x3+5x26x=0；(2)(x23x)22(x23x)8=05解方程：(x+3)4+(x+1)4=82 *6解方程：x+=22.6 简单的二元二次方程组的解法【知识梳理】二元二次方程及二元二次方程组观察方程x2+2xy+y2+x+y=6，此方程的特点：含有两个未知数；是整式方程；含有未知数的项的最高次数是

33、2定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程二元二次方程的一般形式是：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A、B、C不同时为零)其中Ax2、Bxy、Cy2 叫做二次项，Dx、Ey叫做一次项，F 叫做常数项定义：二元二次方程组即有两个未知数且含有未知数的项的最高次数为二次的方程组定义：形如Ax2+Bxy+Cy2=0叫做二次齐次方程由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组的主要内容例如：、都是二元二次方程组二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为

34、一元二次方程或二元一次方程组由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法【例题讲解】【例1】 解方

35、程组：【分析】 可用“代入法”解也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x，y 【解】从根与系数的关系，这个方程组的解，可以看作一元二次方程t27t+10=0的两个根解此方程得t1=2，t2=5，t的这两个值，不论哪一个作为x、y都可以因此，所求的解为 或 【例2】 解方程组：【分析】 由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过得y=2x1 再代入可以求出x的值，从而得到方程组的解【解】由(2)，得：y=2x1， (3)把代入(1)，整理，得：15x223x+8=0，解这个方程，得：x1=

36、1，x2=，把x1=1 代入，得y1=1 ；把x2= 代入，得：y2=，所以原方程的解是：或【例3】解方程组：【分析】这个方程组中的两个方程都不含未知数的一次项，消去常数后，可以得到形如ax2+bxy+cy2=0的方程，把这个方程左边分解成两个一次因式，于是原方程转化为两个二元一次方程，从而可解【解】由(1)2+(2)，得6x2xy2y2=0，即：(2x+y)(3x2y)=0，所以原方程可化为：()或()，解()得：，；解()得：，；所以原方程组的解为：，【例4】解方程组：【分析】 在这个方程组中，把x、y互换而方程组不变，这样的方程叫x、y的对称方程对称方程一般用换元法求解【解】设u=x+y

37、，v=xy，则原方程组可转化为：，解之得：，由此可得() 或() ，解()可知此方程无解；解()得：，所以原方程组的解为，【例5】解方程组：【分析】这个方程组含有分式形式，如果直接化成整式方程比较麻烦，可以先用局部换元法，令m=，方程(1)可转化为从而解出m，在进一步求解【解】令m=，则，则方程(1)可转化为，即：6m25m6=0，解之得：m1=，m2=，所以可得：() 或() ，解()得：，解()得：，所以原方程组的解是：，【例6】解方程组：【分析】此题如果直接平方去掉根号来解比较烦，可采用换元法，设m=，n=，进而求解方程组【解】设设m=，n=，则x=m2+3，y=n22，所以原方程组转化

38、为：，解之得：，由于m0，n0，知应舍去，所以：，解之得：，所以，原方程组的解为【练习2.6】1解下列方程组：(1)；(2)；(3) ；(4) 2解下列方程组：(1)；(2)；(3) ；(4) 3解方程：(1)； (2)4解方程：(1)； (2)；(3)； (4)5解方程：(1)； (2)； (3)6解方程：(1)； (2)7解方程：(1) x12+= 0； (2) x2+3x+= 6阅读材料 分类讨论思想 分类是基本逻辑方法之一依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法分

39、类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：(1)涉及的数学概念是分类定义的； (2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；(4)数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答【例1

40、】 化简：|a2|5a|【解】 当a2时，原式= (2a)(5a) = 3；当2a0且a1时，x1=，x2=； 当a=0时，x1=x2=0 当a0，求的值【解】 因为a2+b2=1，所以a2=1b2，b2=1a2，因为ab0，所以a0且b0或a0且b0且b0时，原式=a+b=a|a|+b|b|= a2+b2=1；(2)当a0且b0，得m，所以当m时，方程有两个不相等的实数根(1)若原方程有增根x=1时，由得m=2；(2)若原方程有增根x=1时，由得m=4所以当m且m2且m4时，原方程有有两个不相等的实数根3.1 相似形平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的

41、问题在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比图3.1-1在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，另作直线交于点，不难发现我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例如图3.1-2，有当然，也可以得出在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例例1 如图3.1-2， ，且求.图3.1-2解 ， 例2 在中，为边上的点，求证：.证明（1） ，证明（2） 如图3.1-3，过作直线，.过作交于，得，图3.1-3因而 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（

42、或两边的延长线），所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例例3 已知，在上，能否在上找到一点，使得线段的中点在上解 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于，且，图3.1-4，且为的中点.可见，当为的中点时，的中点在上我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.在中，为的平分线，求证：证明 过C作CE/AD，交BA延长线于E，AD平分由知图3.1-5.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练 习11如图3.1-6，下列比

43、例式正确的是（ ）图3.1-6A B C D2如图3.1-7，图3.1-7求.图3.1-83如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm，求BD的长.4如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.图3.1-95如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.图3.1-103.1.2 相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，求证：.证明 在与中，即.图3.1-11又与中，.例6 如图

44、3.1-12，在直角三角形ABC中，为直角，.求证：（1），；（2）证明 （1）在与中，图3.1-12， 同理可证得.（2）在与中，我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 在中，求证：.证明 ，为直角三角形，又，由射影定理，知. 同理可得. 图3.1-13.例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：图3.1-14当时，有.（如图3.1-14a）当时，有.（如图3.1-14b）当时，有.（如图3.1-14c）在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中

45、n为正整数）.解：依题意可以猜想：当时，有成立.证明 过点D作DF/BE交AC于点F，D是BC的中点，F是EC的中点，由可知，.想一想，图3.1-14d中，若，则本题中采用了从特殊到一般的思维方法我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史 练 习21如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE/BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ）图3.1-15A B C D2若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是_.3已知：的三边长分别是3，4，5，与其

46、相似的的最大边长是15，求的面积.图3.1-164已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？5如图3.1-17，点C、D在线段AB上，是等边三角形，当AC、CD、DB满足怎样的关系时，？图3.1-17当时，求的度数.习题3.1A组如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）ADE=1，BC=7 BDE=2，BC=6 CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 图3.1-18如图

47、3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ）A1：3 B1：4 C1：5 D1：6图3.1-19如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，求.图3.1-20图3.1-21如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE交AC于F，过F作FG/AB交AE于G，求证：. B组如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）图3.1-22A B1 C D2 图3.1-23如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第

48、三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）A B C D 图3.1-24如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（ ）A B C D 如图3.1-25，梯形ABCD中，AD/BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF/AD.求证：OE=OF；求的值；求证：.图3.1-25如图3.1-29a，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，于F，我们可以证明成立.图3.1-29若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，相交于E，EF/AB交BD于F，则：还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；请找出和之间的关系，

49、并给出证明.3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点图3.2-3例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别

50、为BC、AE的中点，则DE/AB，且，图3.2-4，且相似比为1：2，.设AD、CF交于点，同理可得，则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.图3.2-5三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，同理，BD=BF，CD=CE.图3.2-6即.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O为三角形ABC的重心和内心.求证 三角形A

51、BC为等边三角形.图3.2-7证明 如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-8例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，AD与BE交于H点.求证 .证明 以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.图3.2-9同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.，又与有公共角，即.过不共线的三点

52、A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形2（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由. 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上例5 在中，求（1）的面积及边上的高；（2）的内切圆的半径；（3）的外接圆的半径.图3.2

53、-10解 （1）如图，作于.为的中点，又解得.（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，图3.2-11连， ，即，解得.（3）是等腰三角形，外心在上，连，则中，图3.2-12解得在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？图3.2-13 该直角三角形的三边长满足勾股定理：.例6 如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：.证明：过A作于D.在中，.图3.2-14在中，.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例

54、7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为，图3.2-15“若点P在一边BC上，此时，可得结论：.”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在内（如图b），（2）点在外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解 （1）当点P在内时，图3.2-16法一 如图，过P作分别交于，由题设知，而，故，即.法二 如图，连结，图3.2-17，又，即.（2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：.注意：当点P在外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如图3.2-18，（如图

55、3.2-18，想一想为什么？）等.在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.练 习2直角三角形的三边长为3，4，则_.等腰三角形有两个内角的和是100，则它的顶角的大小是_.满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）A B C D 已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题3.2A组已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（ ）A B C D三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）A6 B4.5 C2.4 D8如果等腰三角形底边

56、上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_.已知：是的三条边，那么的取值范围是_若三角形的三边长分别为，且是整数，则的值是_B组如图3.2-19，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为（）A B 图3.2-19C D如图3.2-20，在中，BD是边AC上的高，求的度数图3.2-20如图3.2-21，是AB的中点，AM=AN，MN/AC，求证：MN=AC 图3.2-21如图3.2-22，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值图3.2-22如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，求证：图3.2-2333

57、圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？图3.3-1观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线图3.3-2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，且在中， 图3.3-3

58、如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而图3.3-4例1 如图3.3-5，已知O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度解 连结OD，交AB于点E是圆心，在中，OB=5cm,BE=3cm,图3.3-5在中，BE=3cm,DE=1cm,例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径解 设圆的半径为，分两种情况（如图3.3-6）：图3.3-6若在两条平行线的外侧，如图（1），AB=6，CD=，则由，得，解得（2）若在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=，则由，得，无解综合得，圆的半径为5 设圆与圆半径分别为，它们可能有

59、哪几种位置关系？图3.3-7观察图3.3-7，两圆的圆心距为，不难发现：当时，两圆相内切，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相外切，如图（5）.例3 设圆与圆的半径分别为3和2，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度解 连交于，图3.3-8则，且为的中点，设，则，解得故弦的长为练 习 11.如图3.3-9，O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长图3.3-92.已知四边形ABCD是O的内接梯形，AB/CD，AB=8cm，CD=6cm， O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积3.如图3.3-10，O的直径AB和弦CD相交于点E， cm，cm，求CD的长 图3.3-104若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度3.3.2圆幂定理及其应用1.根据图3.3-11(1)、(2)、(3)，结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.图3.3-112.提出问题:相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? (1)如图3.3-12，O的两条弦AB，CD相交于点P，则PAPBPCPD.这便是相交弦定理.对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则