选修1-1-3.1.2-导数的概念

1、3.1.2 导数的概念一、复习回顾1、函数的平均变化率自变量增量，可正、可负，但不为零函数值相应的增量，可正、可负，可为零2、求函数的平均变化率的步骤： 先求x 再求y=f(x2)-f(x1) 计算平均变化率3、平均变化率的几何意义：两点连线的斜率 在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.通过计算可得运动员在 这段时间里的平均速度为0,这是否说明运动员在这段时间里是静止的？由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？ 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,并不能反映某一刻的运动状态.这就需要用瞬时速度

2、来更精细地刻画运动员的运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度？引入 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 先考察 t=2 附近的情况.在 t=2 之前或之后,任意取一个时刻 2+t,t是时间改变量,可为正,可为负,但不为0。求：从 2s 到 (2+t)s 这段时间内平均速度运动员在t=2时的瞬时速度运动员在t=2时的瞬时速度t0时, 在2, 2 +t 这段时间内当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.000

3、01,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.从2s到(2+t)s这段时间内平均速度为表述方便，我们用 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。探究:1.运动员在

4、某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f (x)在x =x0 处的瞬时变化率怎样表示?局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。一般地，函数y=f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是我们称它为函数y=f(x)在x=xo 处的导数二、函数y=f(x)在x=xo处的导数的概念记作 或即三、求函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤： 2.算比值（平均变化率）： 1.求函数增量： 3.取极限： 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.一差、

5、二比、三极限四、求导举例： 例1、求函数f(x)=x2+x,求y|x=2练习1：求y=x2在x=1处的导数例2 将原油提炼为汽油,柴油,塑胶等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:OC)为y=f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明他们的意义。 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3/ h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5/ h的速率上升.练习2、求下列函数在x=1时的导数：(1) y=x3 (2)五、导函数的定义： 从求函数y=f(x)在 x=x0 处导数的过程可以看到，当 x=x0 时， 是一个确定的数，这样，当 x 变化时， 便是 x 的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)。记作 或 ，即例、已知函数 y = x2 + x （1）求（2）求函数y = x2 + x 在 x =