北京市中考数学专题突破八：代数综合(含答案)

1、专题突破(八)代数综合方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等20112015年北京代数综合题考点对比年份20112012201320142015考点根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利

2、用图象求取值范围求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标，利用图象求取值范围12015北京 在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线与直线yx1交于点A，点A关于直线x1的对称点为B，抛物线C1：yx2bxc经过点A，B.(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标；(3)若抛物线C2：yax2(a0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象求a的取值范围22014北京 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A(0，2)，B(3，4)(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上的一动点

3、，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围32013北京 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2(m0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A，B的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的函数解析式；(3)若该抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，并且在2x0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当ABC45时，求m的值；(3)已知一次函数ykxb，点Peq blc(rc)(avs4alco1(n，0)是x轴上的一个

4、动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数ymx2eq blc(rc)(avs4alco1(m3)x3eq blc(rc)(avs4alco1(m0)的图象于点N.若只有当2n0)个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围图Z8322015朝阳一模 如图Z84，将抛物线M1：yax24x向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M2，直线yx与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是3.(1)求a的值及M2的函数解析式(2)点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.当

5、点C的横坐标为2时，直线yxn恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；在点C的运动过程中，若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围(直接写出结果)图Z8432015西城一模 已知二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1，0)，(0，3)两点(1)求C1对应的函数解析式；(2)将C1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C2，将C2对应的函数解析式记为y2x2mxn，求C2对应的函数解析式；(3)设y32x3，在(2)的条件下，如果在2xa内存在某一个x的值，使得y2y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围图Z8542015东城一模 在平面直角坐标系

6、xOy中，抛物线yax2bx1eq blc(rc)(avs4alco1(a0)过点Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，1)，与y轴交于点C.(1)求抛物线yax2bx1eq blc(rc)(avs4alco1(a0)的函数解析式(2)若点D在抛物线yax2bx1eq blc(rc)(avs4alco1(a0)的对称轴上，当ACD的周长最小时，求点D的坐标(3)在抛物线yax2bx1eq blc(rc)(avs4alco1(a0)的对称轴上是否存在点P，使ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说

7、明理由图Z8652015石景山一模 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx3(m0)与x轴交于A(3，0)，B两点(1)求抛物线的函数解析式及点B的坐标；(2)将2x0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当SABC15时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：ykxb(k0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象请结合图象回答：若新函数的最小值大于8，求k的取值范围图Z8892015平谷一模 已知抛物线yax2xc(a0)经过A(1，0)，B(2，0)两点，与y轴相

8、交于点C，点D为该抛物线的顶点(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；(2)点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为eq f(r(2),2)时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上有一点P，且EAOEPO，当tan2时，求点P的坐标图Z89102015怀柔一模 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y(a1)x22x1的图象与x轴有交点，a为正整数(1)求a的值；(2)将二次函数y(a1)x22x1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m21)个单位长度，当2x1时，二次函数有最小值3，求实数m的值图Z810参考答案北京真题体验1.解：(1)当y2时，2x1，

9、x3.A(3，2)点A，B关于直线x1对称，B(1，2)(2)把(3，2)，(1，2)代入yx2bxc，得eq blc(avs4alco1(293bc，,21bc，)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c1.)抛物线C1的解析式为yx22x1，顶点坐标为(1，2)(3)如图，当C2过点A，点B时为临界状态，将A(3，2)代入yax2，则9a2，aeq f(2,9)，将B(1，2)代入yax2，则a2，eq f(2,9)a2.2解：(1)y2x2mxn经过点A(0，2)，B(3，4)，eq blc(avs4alco1(n2，,183mn4，)解得eq blc(avs4alco1(m4，

10、,n2.)抛物线的函数解析式为y2x24x2.对称轴为直线x1.(2)由题意可知C(3，4)二次函数y2x24x2的最小值为4.如图，由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为4，最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标由B(3，4)，C(3，4)可知直线BC的函数解析式为yeq f(4,3)x.当x1时，yeq f(4,3).4teq f(4,3).3解：(1)当x0时，y2，A(0，2)，抛物线的对称轴为直线xeq f(2m,2m)1，B(1，0)(2)易得点A关于对称轴直线x1的对称点为A(2，2)，点B关于对称轴对称的点仍为点B，直线l经过点A，B.设直线l的函数解析式为ykxb(k0)

11、则eq blc(avs4alco1(2kb2，,kb0，)解得eq blc(avs4alco1(k2，,b2，)故直线l的函数解析式为y2x2.(3)抛物线的对称轴为直线x1，抛物线在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴对称如图，结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，在1x0这一段位于直线l的下方，抛物线与直线l的交点的横坐标为1.当x1时，y2(1)24，抛物线与直线l的一个交点为(1，4)当x1时，m2m24，解得m2，抛物线的函数解析式为y2x24x2.4解：(1)二次函数y(t1)x22(t2)xeq f(3,2)在x0和x2时的函数值相等，00eq f(3,2)4

12、(t1)4(t2)eq f(3,2)，解得teq f(3,2)，二次函数的解析式是yeq f(1,2)x2xeq f(3,2).(2)把A(3，m)代入yeq f(1,2)x2xeq f(3,2)得meq f(1,2)(3)23eq f(3,2)6，即A(3，6)将A(3，6)代入ykx6，得63k6，解得k4，故m6，k4.(3)由题意可知，点B，C间的部分图象的函数解析式是yeq f(1,2)(x3)(x1)(1x3)，则抛物线平移后得到图象G的函数解析式是yeq f(1,2)(x3n)(x1n)(n1x3n)，此时直线平移后的解析式是y4x6n.如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切

13、，则方程4x6neq f(1,2)(x3n)(x1n)有两个相等的实数解，即eq f(1,2)x2(n3)xeq f(1,2)n2eq f(9,2)0有两个相等的实数解，(n3)24(eq f(1,2)(eq f(1,2)n2eq f(9,2)6n0，解得n0.与已知n0相矛盾，平移后的直线与平移后的抛物线不相切，结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，则两个临界的交点为(n1，0)，(3n，0)，04(n1)6n，解得neq f(2,3).04(3n)6n，解得n6.故n的取值范围是eq f(2,3)n6.5解：(1)点A，B是二次函数ymx2(m3)x3(m0)的图象与x轴的交点，

14、令y0，即mx2(m3)x30，解得x11，x2eq f(3,m).又点A在点B左侧且m0，点A的坐标为(1，0)(2)由(1)可知点B的坐标为(eq f(3,m)，0)二次函数的图象与y轴交于点C，点C的坐标为(0，3)ABC45，eq f(3,m)3，解得m1.(3)由(2)得，二次函数的解析式为yx22x3.依题意并结合图象(如图)可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为2和2，由此可得交点坐标为(2，5)和(2，3)将交点坐标分别代入一次函数解析式ykxb中，得eq blc(avs4alco1(2kb5，,2kb3，)解得eq blc(avs4alco1(k2，,b1.)

15、一次函数的解析式为y2x1.北京专题训练1.解：(1)抛物线yeq f(1,2)x2x2与y轴交于点A，点A的坐标为(0，2)yeq f(1,2)x2x2eq f(1,2)(x1)2eq f(3,2)，抛物线的对称轴为直线x1，顶点B的坐标为(1，eq f(3,2)又点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上设直线BC的函数解析式为ykxb.直线BC经过点B(1，eq f(3,2)和点C(2，2)，eq blc(avs4alco1(kbf(3,2)，,2kb2.)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,2)，,b1.)直线BC的函数解析式为yeq f(1

16、,2)x1.(2)如图所示，抛物线yeq f(1,2)x2x2中，当x4时，y6，点D的坐标为(4，6)直线yeq f(1,2)x1中，当x0时，y1，当x4时，y3，点E的坐标为(0，1)，点F的坐标为(4，3)设点A平移后的对应点为点A，点D平移后的对应点为点D.当图象G向下平移至点A与点E重合时，点D在直线BC上方，此时t1；当图象G向下平移至点D与点F重合时，点A在直线BC下方，此时t3.结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1t3.2解：(1)点A在直线yx上，且点A的横坐标是3，A(3，3)把A(3，3)代入yax24x，解得a1.M1：yx24x，顶点坐标为(2，4)，抛物线M2

17、的顶点坐标为(1，1)抛物线M2的函数解析式为yx22x.(2)如图，由题意，知C(2，2)，F(4，2)直线yxn经过点F，24n.解得n2.n3或n6.3解：(1)二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1，0)，(0，3)两点，eq blc(avs4alco1(1bc0，,c3.)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c3.)抛物线C1的函数解析式为y1x22x3.(2)y1x22x3(x1)24，抛物线C1的顶点坐标为(1，4)平移后抛物线C2的顶点坐标为(0，0)，C2对应的函数解析式为y2x2.(3)a1(如图)4解：(1)抛物线yax2bx1eq blc(rc)(avs4a

18、lco1(a0)过点Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，1)，eq blc(avs4alco1(ab10，,ab11.)eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,bf(1,2).)抛物线的函数解析式为yeq f(1,2)x2eq f(1,2)x1.(2)xeq f(b,2a)eq f(1,2)，抛物线yeq f(1,2)x2eq f(1,2)x1的对称轴为直线xeq f(1,2).设点E为点A关于直线xeq f(1,2)的对称点，则点E的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(2，0).连接EC交直线xeq f

19、(1,2)于点D，此时ACD的周长最小设直线EC的函数解析式为ykxm，代入点E，C的坐标，则eq blc(avs4alco1(2km0，,m1.)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,2)，,m1.)直线EC的函数解析式为yeq f(1,2)x1.当xeq f(1,2)时，yeq f(3,4).点D的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,4).(3)存在当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P1.AOOC，ACAP1，AOMCAM90.Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，1)，Aeq blc(rc)(avs4al

20、co1(1，0)，OAOC1.CAO45，OAMOMA45，OAOM1.点M的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，1).设直线AM对应的一次函数的解析式为yk1xb1，代入点A，M的坐标，则eq blc(avs4alco1(k1b10，,b11.)解得eq blc(avs4alco1(k11，,b11.)直线AM的函数解析式为yx1.令xeq f(1,2)，则yeq f(3,2).点P1的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2).当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P2，交x轴于点N.与同理可得RtCON是等腰直角三角形，OCON

21、1，点N的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(1，0).CP2AC，AP1AC，CP2AP1，直线CP2的函数解析式为yx1.令xeq f(1,2)，则yeq f(1,2).点P2的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2).综上所述，在对称轴上存在点P1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，P2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，使ACP成为以AC为直角边的直角三角形5解：(1)将Aeq blc(rc)(avs4alco1(3，0)代入ymx22mx3，解得m1.抛物线的函数解析式为

22、yx22x3.令y0，则x22x30，解得x13，x21，点B的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(1，0).(2)yx22x3eq blc(rc)(avs4alco1(x1)eq sup12(2)4.当2x1时，y随x增大而减小；当1x3时，y随x增大而增大，当x1，ymin4；当x2，ymax5.y的取值范围是4y5.(3)如图，当直线ykxb经过点Beq blc(rc)(avs4alco1(1，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(4，2)时，其函数解析式为yeq f(2,5)xeq f(2,5).当直线ykxb经过点eq blc(rc)(avs4alco1(2，

23、5)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(4，2)时，其函数解析式为yeq f(7,6)xeq f(8,3).结合图象可得b的取值范围是eq f(8,3)beq f(2,5).6解：(1)设抛物线的函数解析式为ya(x1)2.由抛物线过点A(0，1)，可得yx22x1.(2)如图：(3)如图，由图可知4m0.7解：(1)抛物线ymx22mxm4与y轴交于点A(0，3)，m43，解得m1，抛物线的函数解析式为yx22x3.抛物线yx22x3与x轴交于点B，C，令y0，即x22x30.解得x11，x23.又点B在点C左侧，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，0)(2)yx22x3(x

24、1)24，抛物线的对称轴为直线x1.抛物线的对称轴与x轴交于点D，点D的坐标为(1，0)直线ykxb经过点D(1，0)和点E(1，2)，eq blc(avs4alco1(kb0，,kb2.)解得eq blc(avs4alco1(k1，,b1.)直线DE的函数解析式为yx1.(3)t3.8解：(1)抛物线yx2(m1)xm(m0)与x轴交于A，B两点，令y0，即x2(m1)xm0.解得x11，x2m.又点A在点B左侧，且m0，点A的坐标为(1，0)(2)由(1)可知点B的坐标为(m，0)抛物线与y轴交于点C，点C的坐标为(0，m)m0，ABm1，OCm.SABC15，eq f(1,2)(m1)m

25、15.解得m6或m5.m0，m5，抛物线的函数解析式为yx24x5.(3)由(2)可知点C的坐标为(0，5)直线l：ykxb(k0)经过点C，b5，直线l的解析式为ykx5(k0)yx24x5(x2)29，当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值均为9，不符合题意当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8(如图)令y8，即x24x58.解得x11(不合题意，舍去)，x23.抛物线经过点(3，8)当直线ykx5(k0)经过点(3，8)时，可求得k1.由图象可知，当1k0时新函数的最小值大于8.9解：(1)抛物线yax2xc(a0)经过A(1，0)，B(2，0)两点，eq blc(avs4alco1(a1c0，,4a2c0，)解得eq blc(avs4alco1(a1，,c2.)抛物线的函数解析式为yx2x2，点D的坐标为(eq f(1,2)，eq f(9,4)(2)如图，作ENBC，交y轴于点N，过点C作 CMEN于