课件ch10伪回归和单位根

1、1第十章 伪回归和单位根2本章结构第一节 时间序列及其平稳性第二节 时间序列平稳性检验第三节 时间序列的单积和协积3第一节 时间序列及其平稳性一、时间序列数据和随机过程 二、经典计量分析和时间序列的平稳性三、时间序列非平稳和伪回归4一、时间序列数据和随机过程计量经济分析中的截面数据是在同一时点抽样统计得到的，可以理解为一个随机变量反复抽样的结果。 时间序列数据则是在不同时间观测或统计的数据，不能看作同一个随机变量生成的，不能看作与截面数据一样的同一个随机变量的反复抽样，而应该看作不同随机变量生成的，看作是一个随机过程的一个实现。 5所谓随机过程就是一系列具有顺序性和内在联系的随机变量的集合。

2、随机过程一般定义为随机变量族 ，其中T 是给定的实数集，对应每个 的 是随机变量。 当进一步明确参数t代表时间，T 是整数集合时，离散型随机过程 称为“时间序列”。 6计量经济回归分析的参数估计及相关推断检验，都是建立在随机变量总体均值、方差推断基础上的。 如果使用的是截面数据，那么因为截面数据是一个随机变量的抽样结果，因此根据中心极限定理等，可以用截面数据的样本均值和方差推断随机变量的总体均值和方差，以此为基础的计量回归分析和预测是有效的。二、经典计量分析和时间序列的平稳性7当计量分析使用的数据是时间序列数据时，情况就会有所不同。 因为时间序列并不是一个随机变量的反复抽样，而是随机过程的一个

3、实现，每个数据都是特定时间随机变量的唯一实现值，时间序列样本均值和方差的含义与截面数据也不同，这样以随机变量总体均值和方差的推断为基础的计量经济分析的基础就会出现问题。 8其实并不是以时间序列数据为基础的计量分析都会存在问题。 只要所使用的时间序列数据是平稳的，以时间序列数据为基础的计量经济分析就是有效的。 所谓平稳时间序列数据就是由平稳随机过程生成的时间序列数据。 9随机过程的平稳性包括严平稳和弱平稳两种情况。 严平稳即随机过程 在任意时点概率分布的特性不受时间原点改变的影响，可以用任意m个时刻 观测值 的联合概率分布，与 时刻观测值 的联合概率分布相同即： 10严平稳性隐含任意时刻随机变量

4、的概率分布相同，意味着各个时点随机变量均值和方差（存在且有限时）都相同，即 和 都与t无关，两个随机变量的协方差： 与时间t无关，只与时间间隔k有关。对可能存在的高阶矩也同样。 严平稳性要求是相当高的，比较难满足和证明。 11现实应用中常采用另一种相对较弱的，使用比较方便，比较符合计量经济分析要求的弱平稳性或协方差平稳性。 弱平稳性即满足下列三条要求： 12严平稳性一般情况下强于弱平稳性，但也不一定隐含弱平稳，因为严平稳过程各随机变量的一、二阶矩并不一定存在。 平稳的时间序列有稳定的趋势（期望）、波动性（方差）和横向联系（协方差），可以用时间序列的样本均值和方差推断各时点随机变量的分布特征。因

5、此运用平稳时间序列数据的经典回归分析是有效的，以往时间序列数据的计量回归分析实际上隐含假设数据是平稳的。 13三、时间序列非平稳和伪回归时间序列的平稳性并不总是有保证的，许多常用的经济时间序列，如GDP、物价指数、股票价格等，都有非平稳的特性。 例如下面图10.1中INVGM和GER两个时间序列数据的连线图，就是经济时间序列的典型图形。根据这两个图形很容易看出，这两个时间序列都不符合平稳时间序列要求的稳定均值的特征，GER的图形也不满足稳定方差的基本特征，因此这两个时间序列都是非平稳的。14图10.1 非平稳时间序列数据连线图1516如果把非平稳的时间序列当作平稳序列，事实上会破坏古典线性回归

6、模型的基本假设，用这样的模型进行回归，得到的统计量都是失效的，分析、检验和预测结果都是无效的，对计量回归分析的有效性有很大的影响。 案例1演示（投资函数的估计）问题1：平稳性检验的思路？17第二节 时间序列平稳性检验一、分布图形检验二、自相关图检验三、单位根检验18一、图形检验平稳随机过程的均值和方差函数是常数，意味着平稳时间序列的取值必然围绕一个水平的中心趋势，以相同的发散程度分布。 根据这一点，可以从数据分布图形直接对数据是否平稳进行判断。 例如当时间序列数据的连线图形出现类似图10.1的情况时，就肯定不是平稳时间序列，因为这两种图形表明时间序列数据都没有不变的中心趋势，或者说中心趋势是变

7、化的，而且也没有稳定的方差。 19 如图10.2 ，该时间序列数据基本上是平稳的。 20多数经济时间序列有上升或下降的趋势性，而不是围绕不变水平波动。 例如图10.3中的时间序列数据CAPAR就是有明显的上升趋势的时间序列数据。 不符合平稳性定义，但围绕稳定上升趋势的形态与平稳数据是相似的，预测作用也相似。把这种数据排除在平稳序列之外，平稳序列的应用价值必然受到很大限制。 21图10.3 趋势平稳时间序列 22这个问题可以通过对平稳性概念的扩展解决。 方法是把数据的趋势部分看成先分离出来，然后根据分离趋势后的纯随机部分判定平稳性。例如一个时间序列t 时刻的随机变量可以表示为 ，其中 是一个平稳

8、序列，那么该序列去掉时间趋势 之后的部分就是平稳的，称为“趋势平稳” 。趋势平稳时间序列中的时间趋势既可以是线性，也可以是非线性的。 23二、自相关图检验原理：平稳时间序列过程的自协方差，或由协方差计算的自相关函数，应该很小、很快趋向于0，具有截尾或拖尾特征 。这些特征正是判断时间序列平稳性的重要依据。 由于自相关是相对量指标，方便横向比较和建立一般标准，因此通常利用自相关函数进行判断。 利用自相关函数判断时间序列平稳性的首要问题是计算自相关函数。 24自相关函数是以协方差函数为基础定义的 ，其中 和 分别为协方差和方差函数。因为只有时间序列的一个实现，因此不可能根据随机变量协方差、方差的定义

9、计算，只能用样本，也就是时间序列观测值的时间平均代替总体平均，时间矩代替总体矩，得到自相关函数的估计。 25自相关函数最好的估计方法是样本自相关函数： 其中： 26对不同的k分别计算出样本自相关函数 的值以后，可以描绘出对应不同k的 的分布图形，根据图形的特征判断时间序列是否平稳。 当样本自相关函数的值（对不同k）有许多落在临界值范围外时，初步判断有非平稳性。 常用计量分析软件都有给出序列相关图的功能，因此运用相关图检验时间序列的平稳性非常方便。 27三、单位根检验定义：如果随机过程中随机变量满足关系式： 或 。其中 是服从白噪声过程的修正项， 是常数，则称该随机过程为一个“单位根过程” 。上

10、述单位根过程只是单位根过程的基本形式，单位根过程还可以扩展到包含时间趋势项等的多种情况。28在给定 的前提下 的条件期望 不是与t 无关的常数，而且因为 因此 的方差 也不是与t 无关的常数，所以单位根过程不符合平稳性的定义，是非平稳的随机过程。 29单位根检验具有趋势特征的经济变量受到冲击后的两种表现：逐渐回到原趋势，冲击的影响渐渐消失；不回到原趋势，呈现随机游走状态，影响具有持久性。这时若用最小二乘法，将得到伪回归。例如：案例1中的GDP和投资30迪基-富勒检验首先检验时间序列是否属于最基本的单位根过程，也称为随机游走过程 ，其中 为白噪声过程。如果自回归模型 中 ，或者变换成的回归模型

11、中的 ，那么时间序列 就是最基本的单位根过程随机游走过程，肯定是非平稳的。因此上述差分模型中 的显著性检验，就是检验时间序列是否存在上述单位根问题。 31检验 显著性的方法是先用最小二乘法估计 再计算相应的t 统计量值，再根据样本容量等t 分布临界值，并判断 的显著性。 值得注意的问题是，如果时间序列确实是非平稳的单位根过程，那么上述回归分析得到的t 统计量是不服从t 分布的，因此不能用t 分布表的临界值判断 的显著性。 为此迪基和富勒通过蒙特卡罗模拟方法构造了专门的统计分布表，给出包括10%、5%、1%几个显著性水平的临界值，称为DF 临界值表。 32为了区别起见，把上述模型回归分析计算的t

12、 统计量改称为 统计量。把上述回归模型计算到的 统计量与DF 临界值表中查到的临界值 比较， 时拒绝 的假设，认为 具有显著性，时间序列不服从上述单位根过程，时间序列是平稳的。反之则认为 不显著，认为时间序列服从上述单位根过程，时间序列是非平稳的。 上述单位根检验方法就称为“迪基-富勒检验”，简称“DF 检验”。 33随机游走过程只是最简单的一种单位根过程，许多非平稳时间序列包含更复杂的单位根过程，包含常数项、趋势项和高阶差分项等。 为了使迪基-富勒检验适用单位根过程的检验，必须作适当的扩展。方法是分别采用下列模型： 34其中 代表常数因子， 是趋势项， 是m个分布滞后项。这三种模型中对应 的

13、 统计量的性质与随机游走模型对应统计量相同。以这三个回归模型为基础，用各个模型中回归分析得到的 统计量和DF 临界值表，可以检验各自 的显著性。35几种随机游走过程纯随机游走：Yt=Yt-1+ t带漂移的随机游走：Yt=Yt-1+ t带趋势的随机游走：Yt=tYt-1+ t其中t是白噪声序列。36单位根检验：DF检验H0： =1（=0）注意：若H0成立，t检验无效，因为这时t统计量不服从t分布。在=1的假设下，将t统计量成为（tau）统计量。DF（Dickey-Fuller）检验：构造统计量查表（ 要使用DF检验临界值表）判断37单位根检验：DF检验的方程式H0： =1（=0）纯随机游走： Y

14、t= Yt-1+ t带漂移的随机游走：Yt= Yt-1+ t带趋势的随机游走：Yt=tYt-1+ t38单位根检验：ADF检验DF检验假设了所检验的模型的随机扰动项不存在自相关。对有自相关的模型，需用ADF检验。ADF检验：将DF检验的右边扩展为包含Yt的滞后变量，其余同于DF检验。构造统计量查表、判断。39单位根检验：ADF检验的方程式Yt= 01tYt-1+ Yt-i + t其中i从1到m。这一模型称为扩充的迪基富勒检验。因为ADF检验统计量和DF统计量有同样的渐进分布，所以可以使用同样的临界值。案例2演示（GDP、财政支出、居民消费的单位根检验）问题2：财政支出、居民消费的平稳性检验40

15、第三节 时间序列的单积和协积把非平稳的时间序列数据用于平稳性数据为基础的计量经济回归分析，会影响分析的有效性，因此应该避免这种情况。 但检验时间序列平稳性的目的并不是淘汰数据，因为简单地排除数据会浪费这些数据包含的信息，甚至会导致计量分析无法进行，平稳性检验的根本目的是更好地利用数据。 单积和协积是利用非平稳时间序列数据的关键。 41一、时间序列的单积性对不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序列都是平稳序列。例如随机游走序列的差分序列是白噪声序列，肯定是平稳的，许多单位根过程的差分序列同样也是平稳的。 对于这种非平稳时间序列，它们的差分序列的计量分析一般是有效的。因为时间序列的差分序列与时间

16、序列本身包含许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也是有意义的。 42经过d 次差分才平稳的时间序列，称为d 阶“单积” 的，并记为I(d)。 一次差分平稳的时间序列就是一阶单积的， I(1) ；二次差分平稳的就是二阶单积的， I(2)。本身平稳的时间序列也被称为0阶单积的，并记为I(0)。时间序列的单积性和单积阶数对于了解时间序列的性质，更有效地利用时间序列数据都有非常重要的意义。 43如果一组时间序列 都是同阶单积的(I(d)，并且存在向量 使加权组合： 为平稳序列(I(0) ，则称这组时间序列为“协积的” ，其中 称为“协积向量”。 当 时是两个序列协积， 时是三个序列协积，其余可依次类推。 二、时间序列的协积性44具有协积性的非平稳序列各自的非平稳趋势和波动有相互抵消的作用。因此虽然非平稳本身有导致回归分析失效的影响，但如果模型中的几个非平稳时间序列具有协积性，回归分析仍然可以是有效的，不需要担心非平稳性会造成问题。以两变量线性回归 为例。45因为 ，因此 平稳就是 平稳，这就意味着要么 和 本身都是平稳的，要么 和 都是同阶单积并