复变函数及积分变换公式汇总

1、复变函数复习重点（一）复数的概念.复数的概念：zxiy,x,y是实数，xRez,y1mz.i21.注：一般两个复数不比较大小，但其模为实数有大小.复数的表示1模：z2幅角：在Z0时，矢量与X轴正向的夹角，记为Argz多值函数；主彳targz是位于（中的幅角。3argarctan -x之间的关系如下:0,argz,yarctan 一 x -y 0,argzX 0, y 0,argz 当,y arctan x, y arctanx4三角表示：z z cos isin ，其中argz；注：中间一定是“ +号。5指数表示：z ze ,其中 argz。（二）复数的运算.加减法：假设z1x1iy1, z2

2、x2iy2,那么z1z2x1x2iy1y2.乘除法:1假设 z1为 iy1,z2x2 iy2,那么z1z2xj2V1V2 i x2%V2 .二xiyXiyx?iy?4x2iy2x2iy2x2iy2i 丫山2Nixi17/22假设z1z1e,z2z2e，那么i亘gei12z1z2z1z2e12.z2|zz n (cos ni sin n ) zn einO3.乘哥与方根假a殳z|z(cosisin)zei,那么zn.学习.资料.假a”芯8sisin)zei,那么iz n cos2k n2k i sinn(k 0,1,2-n 1)有n个相异的值z注：e是以i为周期的周期函数。注意与实函数不同三复变

3、函数.复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.复初等函数excosyisiny1指数函数:ecosy1smy,在z平面处处可导，处处解析；且对数函数:主值：1nz1nz iargz。单值函数Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面处处解析，且lnz注：负复数也有对数存在。与实函数不同b bLna3乘哥与哥函数：a eb(a 0) . zbLnze(z 0)注：在除去原点及负实轴的z平面处处解析，且,b 1bziz e sin z 一4三角函数：ize2iiz e e ,cos z 2iz-,tgzsin z x,ctgzcoszco

4、sz sin zsinz,cosz在z平面解析，且sin z cosz, coszsin zLnzlnzi(argz2k)(k012.一)士7第、*(k0,1,2)多值函数注：有界性sin z 1, cos$出奇函数，chz是偶函数。shz,chz在 z平面解析，且 shzchz, chzshzo1一，、一、一一一、不再成立；与实函数不同zzshzee,chz双曲函数2四解析函数的概念1.复变函数的导数1点可导：fz0flimz0ZozfZo2区域可导：fz在区域点点可导。2.解析函数的概念1点解析：fz在z0及其的邻域可导,2区域解析：fz在区域每一点解析，称fz在区域解析;3假设f(z)在

5、z0点不解析，称4为fz的奇点;3.解析函数的运算法那么：解析函数的和、差、积、商除分母为零的点仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数；五函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件:fzux,yivx，y在zxiy可导ux，y和vx，y在x,y可微，且在x，y处满足CD条件:ufz此时，有x2.函数解析的充要条件:fzux,yivx,y在区域解析ux，V和vx，y在x,y在D可微,且满足CD条件：xfz此时注意：假aux，y，vx，y在区域D具有一阶连续偏导数,那么ux,y,vx,y在区域D是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足R条件时，函数f(z

6、)uiv一定是可导或解析的。3.1函数可导与解析的判别方法利用定义题目要求用定义，如第二章习题12利用充要条件函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题23利用可导或解析函数的四那么运算定理。是以z的形式给出，如第二章习题3六复变函数积分的概念与性质复变函数积分的概念:fzdzclimnZkc是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。复变函数积分的性质f z dz 1 f z dz cc 11c与c的方向相反33.12f z g zdzf z dz gcc ”假设曲线c由c1与c2连接而成，那么 复变函数积分的一般计算法f z dz udx vdy化为线积分：cc参数方法：

7、设曲线c： z z t ( tz dz,z dzvdxc是常数;f z dz f z dzcicoudy；常用于理论证明)，其中对应曲线c的起点,对应曲线c的终点,f z dz那么 cfz t z(t)dto七关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨根本定理：设 f z在单连域B解析，c为B任一闭曲线，那么fzdz0c2.复合闭路定理：设fz在多连域D解析，c为D任意一条简单闭曲线,单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以。a为边界的区域全含于D,那么n。fzdz口fzdz,ck1ck其中c与ck均取正向；ifzdz01，其中由c及c(k1，2,n)所组成的复合闭路。.闭路变形原理：一个

8、在区域D的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。.解析函数沿非闭曲线的积分：设fz在单连域B解析，Gz为fz在B的一个原函数，那z2fzdzGz2Gz1(4,z2B)么z1说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设fz在区域D解析，c为D任一正向简单闭曲线，c的部完全属于D,z0fzdz2ifz0为c任意一点，那么czz0.高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的 n阶导数为1：?(ZFdz 得f nZo(n 1,2)其中c为f z的解析区域.重要结论：D围绕z0的

9、任何一条正向简单闭曲线，而且它的部完全属于D。12 i, n 0odzc (z a)n10， n 0.复变函数积分的计算方法c是包含a的任意正向简单闭曲线1假设f z在区域D处处不解析，用一般积分法c f z dz f z t z t dt2设f z在区域D解析,c是D一条正向简单闭曲线，那么由柯西一古萨定理,c是D的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，那么有z2f z dz f z dz F z2cz13设f z在区域D不解析f z口dz 2cz z0f z0曲线c仅有一个奇点:ydzc(z 4)nz0f(z)在c解析口fzdz1二1fzdz曲线C有多于一个奇点：ck1”G只有一

10、个奇点zkn0fzdz2iResf(z),zk或：ck1留数根本定理fzn1假设被积函数不能表不成(zzo)，那么须改用第五章留数定理来计算。八解析函数与调和函数的关系2.调和函数的概念：假设二元实函数(x，y)在D有二阶连续偏导数且满足x2(x,1为D的调和函数。.解析函数与调和函数的关系u，v如果满足柯西一解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轲调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z)uiv不一定是解析函数；但是假设黎曼方程，那么uiv一定是解析函数。3.解析函数f z的实部或虚部，求解析函数f z u iv的方法。1偏微分法：假设实部 ux,y ,利

11、用CR条件，得x再对代入一vx两边积分，得*式两边对x求偏导,R条件，y*式，可求得2线积分法:假设实部x,yv故虚部为xo,y0udy xudy x*x，得yv虚部u x, ydyx可求出u .dyxdv,利用C R条件可得dxxdyyu . u .dx dyudx ydyx由于该积分与路径无关，可选取简单路径如折线计算它，其中xo,y0与x，v是解析区域中的两点。3不定积分法：假设实部u u x,y ,根据解析函数的导数公式和fu.vfzixy将此式右端表示成z的函数U z ,由于f z仍为解析函数，故f z U z dz cc为实常数注：假设虚部v也可用类似方法求出实部u.九复数项级数a

12、 bi的充要条件为1.复数列的极限1复数列nanibnnl2收敛于复数lim an a, lim bnbnn同时成立2复数列 n收敛 实数列an, bn同时收敛。2.复数项级数n ( n an ibn)anbn1复数项级数n 0收敛的充要条件是级数 n 0 与n 0 同时收敛;lim n 02级数收敛的必要条件是n。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。十哥级数的敛散性nncn(z Z0)cnz.哥级数的概念：表达式 n0或n0为哥级数。.哥级数的敛散性1幂级数的收敛定理一阿贝尔定理ncnz(Abel)：如果哥级数n 0在z00处收敛，那么对满足ZZ0的一切z,该级

13、数绝对收敛；如果在%处发散，那么对满足 Z Z0的一切z,级数必发散。2哥级数的收敛域一圆域哥级数在收敛圆域，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法根值法.cn 1lim0如果n I cn I ,那么收敛半径nim. cn0R,那么收敛半径如果 0,那么R ；说明在整个复平面上处处收敛;如果 ，那么R 0；说明仅在z 。或z 0点收敛;注：假设备级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。.哥级数的性质2n cnz 如n01代数性质：设n0bn0的收敛半径分别为R与R2,记R min ,R2那么当zR时，有n_nn(anb

14、n)zanzbnz线性运算anzn)(bnzn)0n0(anbo0anibia0bn)zn乘积运算2复合性质：设当那么当R时,fg分析运算性质：设备级数fz其和函数时,angnann0znonanzn0的收敛半径为nanZn0是收敛圆的解析函数;在收敛圆可逐项求导，收敛半径不变；且在收敛圆可逐项求积，收敛半径不变;十一骞函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数fz在圆域zz0当zR时,0,那么dzgz解析且nfzn!nzZo注：假设f其中R为从2.1234nnanz0RR解析，那么在此圆域;并且此展开式是唯一的。可以展开成哥级数z在z0解析，那么fz在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径z0到fz的

15、距z0最近一个奇点a之间的距离。常用函数在z0sincosz1)n的泰勒展开式2nz0a2!3!n!0(2n1)!(1)nz2nn0(2n)!2!3.解析函数展开成泰勒级数的方法3!5!(1)nz2n1(2n1)!4!1z2n(2n)!nf zcn zZoB.n 0c mc (m 1)/、m /、m 1(Z Zo)(Z Zo)其中g Zc(m 1)(ZZo)c 1(Z Zo)m 1 Co(Z Zo)m在Zo解析,g z、m , (z Zo)1ncnfz01直接法：直接求出n!2间接法：利用函数的泰勒展开式及哥级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。十二哥函数的洛朗展开nc

16、nZZo.洛朗级数的概念：n,含正哥项和负哥项。R2处处解析，c为圆环域绕z0的任意一条.洛朗展开定理：设函数fz在圆环域RZz0nfZcnzZo正向简单闭曲线，那么在此在圆环域，有n,且展开式唯一。.解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4.利用洛朗级数求围线积分：设fZ在rZZ0R解析，c为rZZ0R的任何一条正1口fzdZ2ic1c_rZZnRZZ向简单闭曲线，那么c1。其中c1为f(z)在z0R洛朗展开式中zZo的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(zZo)的系数。十三孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义：fz在点不解析，但在Zo的0zZo解析。2。

17、孤立奇点的类型：21可去奇点：展开式中不含z的负哥项；fZ4Gzz0c2zZo2极点：展开式中含有限项z的负哥项;c12；CoG(ZZo)Q(ZZo)(ZZo)且gZoo,m1,cmo3本性奇点：展开式中含无穷多项ZZo的负哥项;f c m c 1 zm(z Zo)(z Zo)十四孤立奇点的判别方法mco c1(Z Zo)cm(Z Zo)lim f z1.可去奇点：z co常数;limfz.极点：zz0limfz.本性奇点：zz0不存在且不为m(z zo).零点与极点的关系1零点的概念：不恒为零的解析函数fz,如果能表示成其中 z在z0解析，z00,m为正整数，称z0 为 f z的m级零点;2

18、零点级数判别的充要条件z0是f z的m级零点f n z00, (n 1,2，m 1)mf z 03零点与极点的关系：z0是f z的m级零点1z0是f z的m级极点;4重要结论假设za分别是 z与 z的m级与n级零点，那么z a是 z z的m n级零点;当m n时，z a是当m n时，z a是当m n时，z a是当m n时，z a是当m n时，z a是十五留数的概念zz的m n级零点；zz的n m级极点；zz的可去奇点；z z 的 l 级零点，1 min(m,n)z z的1级零点，其中1 m(n).留数的定义：设z0为f z的孤立奇点,f z在z0的去心邻域0解析，c为该域包含z0的任一正向简单闭曲线，那么称积分f z dzi c为f z在z0的留数或残留，记作L.cfzdzResfz,z02ic.留数的计算方法假a殳z0是fz的孤立奇点，那么Resfz,z0c1,其中c1为fz在z0的去心邻域洛朗展-.word.zl开式中（zz0）1的系数。1可去奇点处的留数：假设z0是fz的可去奇点，那么ReSfz,z002m级极点处的留数法那么I假a殳z