2020届福建省泉州市高三第一次质量检查(理)数学试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2020届福建省泉州市高三第一次质量检查（理）数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】用列举法写出集合，再根据交集的定义写出【详解】解：因为所以，又故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题2若与互为共轭复数，则（ ）A0B3C1D4【答案】C【解析】计算，由共轭复数的概念解得即可.【详解】，又由共轭复数概念得：，.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到

2、如下表格：费用（万元）/年1.21.41.61.82户数46352则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ）A1.4，1.4B1.4，1.5C1.4，1.6D1.62，1.6【答案】B【解析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4记为等差数列的前项和.已知，则（ ）A14B12C17D12【答案】B【解析

3、】设等差数列的公差为，依题意列出方程组，再根据前项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列的公差为，则解得，所以故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.5的展开式中的系数为（ ）A10B38C70D240【答案】A【解析】首先求出二项式展开式的通项为，再令，分别求出系数，由即可得到展开式中的系数.【详解】解：因为，而展开式的通项为，当即时，当即时，故的展开式中的系数为故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6已知函数，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质

4、得到，即可得解；【详解】解：因为，定义域为，故函数是奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，所以即故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的念奴娇水轩沙岸的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著算学启蒙中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的，则输出的的值为（

5、 ）A4B5C6D7【答案】A【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：当时，满足进行循环的条件，当时，满足进行循环的条件，当时，满足进行循环的条件，当时，不满足进行循环的条件，故输出的值4故选：A【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题8若时，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.【详解】由题得对恒成立，令，在单调递减，且，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，的取

6、值范围为.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9已知函数，.当时，则下列结论错误的是（ ）ABCD【答案】D【解析】依题意，利用辅助角公式得到，且是的最大值，从而，取，即可得到，从而一一验证可得；【详解】解：因为，其中，.当时，所以是图象的对称轴，此时，函数取得最大值，从而，取；则，所以，故A正确；，则，故B正确；，故，即C正确；故，即D错误；故选：D【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题.10将正整数20分解成两个正整数的乘积有，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小

7、的，我们称为20的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时我们定义函数，则数列的前2020项的和为（ ）ABCD【答案】D【解析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果【详解】解：依题意，当为偶数时，；当为奇数时，所以，故选：D【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题11若双曲线：绕其对称中心旋转可得某一函数的图象，则的离心率可以是（ ）ABCD2【答案】AD【解析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可【详解】解：当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为

8、：，所以斜率为：，可得：，所以双曲线的离心率为：当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，可得：，所以双曲线的离心率为：故选：AD【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.二、多选题12如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）A直线平面BC三棱锥的体积为D异面直线与所成的角为【答案】ABD【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，所以，即，所以，故B正确；，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；设平面的法向量为，则，即，取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；，故C错误；故选：ABD【点睛】本题考

9、查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.三、填空题13已知向量，则_.【答案】2【解析】由得，算出，再代入算出即可.【详解】，解得：，则.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.14在数列中，则_.【答案】【解析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解；【详解】解：因为，所以，即，所以，所以，所以由此可得数列的奇数项为，偶数项为、所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题.15直四棱柱中，底面是边长为4的正方形，.点是侧面内的动点（不含边界），则与平面所成角的正切值的取值范围为_.【答案】【解析】如图建立空间直角

10、坐标系，设，由，则，即可得到动点的轨迹方程，连接，则为与平面所成角，从而，即可求出与平面所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设，则， 因为，所以，即，连接，则，所以，依题意可得面，则为与平面所成角，故答案为：【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题.四、双空题16设是抛物线：的焦点，点在上，光线经轴反射后交于点，则点的坐标为_，的最小值为_.【答案】 【解析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设，则，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用以及基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，故焦点的

11、坐标为，根据抛物线的性质可得点关于轴对称的点恰在直线上，且，设，则，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，化简的，所以，所以当且仅当时取等号，当直线的斜率不存在时，点与点重合，综上可得的最小值为故答案为：；.【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.五、解答题17在平面四边形中，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出为等边三角形，再利用余弦定理即求出的长度.（2）由题目已知条件，可将所要的角转化到中，再将用中边角来表示，利用正弦定理及三角

12、恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在中，由，得，又，所以为等边三角形，所以在中，由余弦定理得，即，解得（2）设，则，,在中，在中，根据正弦定理得，即，解得，即【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18如图1，四边形是边长为2的菱形，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质可得平面，从而得

13、到，再证，即可得到平面，从而得证；（2）以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；【详解】解：（1）依题意知，因为，所以，当平面平面时，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，由已知，是等边三角形，且为的中点，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量，平面的一个法向量由得；令，解得，所以，由得；令，解得，所以，.易得所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算

14、等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19已知是椭圆：的焦点，点在上.（1）求的方程；（2）斜率为的直线与交于，两点，当时，求直线被圆截得的弦长.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知可得，再点在椭圆上得到方程组，解得即可；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由，解得，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得；【详解】解：（1）由己知得，因点在椭圆上，所以所以，所以椭圆的方程为：（2）设直线的方程为，联立，消去得，解得，由，即，所以（）.将，代

15、入（）式，解得，由于圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注.20冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料、材料上

16、再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？材料材料合计成功不成功合计（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：透明基底及胶层；石墨烯层；表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三个环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：，其中.0.1500.1000.0500.0

17、250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为万元/吨【解析】（1）写出列联表，根据列联表求出的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元，易知可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：材料材料合计成功453075不成功52025合计5050100的观测值，由于，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）

18、生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元.易知可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.，则的分布列为：00.10.20.30.40.5修复费用的期望：.所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若为的极小值点，求的取值范围.【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）【解析】（1）首先求出函数的导函数，记，则，分析

19、的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得，记，则.再令，则，利用导数分析的单调性，即可得到在有零点，即在单调递减，在单调递增，所以，再对分类讨论可得；【详解】解：（1）当时，记，则，当时，所以，在单调递增，所以，因为，所以在为增函数；当时，所以，所以在为减函数.综上所述，的递增区间为，递减区间为.（2）由题意可得，.记，则.再令，则.下面证明在有零点：令，则在是增函数，所以.又，所以存在，且当，所以，即在为减函数，在为增函数，又，所以，根据零点存在性定理，存在，所以当，又，所以，即在单调递减，在单调递增，所以.当，恒成立，所以，即为增函数，又，所以当，为减函数，为增函数，是的极小值点，所以满足题意.当，令，因为，所以，故在单调递增，故，即有故，又在单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数，当，单调递减，即递减，所以，此时在为减函数，所以，不合题意，应舍去.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22在平面直角坐标系中，已知