7存储论_运筹学_交大工商管理_讲义

1、存 储 模 型-Inventory Models第一节 有关存储论的根本概念一、存储的有关概念一、存储存储就是将一些物资如原材料、外购零件、部件、在制品等等存储起来以备将来的使用和消费；二、存储的作用存储是缓解供给与需求之间出现供不应求或供大于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。三存储问题首先，有存储就会有费用占用资金、维护等费用存储费，且存储越多费用越大。存储费是企业流动资金中的主要局部。其次，假设存储过少，就会造成供不应求，从而造成巨大的损失失去销售时机、失去占领市场的时机、违约等。因此，如何最合理、最经济的制定存储策略是企业经营管理中的一个大问题。二、存储模型中的几个要素一存储策略(

2、Inventory policy)存储策略解决存储问题的方法，即决定多少时间补充一次以及补充多少数量的策略。常见的有以下几种类型：1t0循环策略每隔t0时间补充库存，补充量为Q。这种策略是在需求比较确定的情况下采用。2s，S策略当存储量为s时，立即订货，订货量为Q=Ss，即将库存量补充到S。3t，s，S策略每隔t时间检查库存，当库存量小等于s时，立即补充库存量到S；当库存量大于s时，可暂时不补充。二费用1订货费企业向外采购物资的费用，包括订购费和货物本钱费。1订购费(ordering cost)手续费、电信往来费用、交通费等。与订货次数有关；2货物本钱费与所订货物数量有关，如本钱费、运输费等。

3、2生产费企业自行生产库存品的费用，包括装备费和消耗性费用。1装备费(setup cost)与生产次数有关的固定费用；2消耗性费用与生产数量有关的费用。对于同一产品，订货费与生产费只有一种。3存储费用(holding cost)保管费、流动资金占用利息、货损费等，与存储数量及存货性质有关。4缺货费(backorder cost)因缺货而造成的损失，如：时机损失、停工待料损失、未完成合同赔偿等。三提前时间 (lead time)通常从订货到货物进库有一段时间，为了及时补充库存，一般要提前订货，该提前时间等于订货到货物进库的时间长度。四目标函数要在一类策略中选择最优策略，就需要有一个赖以衡量优劣的准

4、绳，这就是目标函数。在存储论模型中，目标函数平均费用函数或平均利润函数。最优策略就是使平均费用函数最小或使平均利润函数最大的策略。五求解存储问题的一般方法1分析问题的供需特性；2分析系统的费用订货费、存储费、缺货费、生产费等；3确定问题的存储策略，建立问题的数学模型；4求使平均费用最小或平均利润最大的存储策略最优存储量、最正确补充时间、最优订货量等第二节 经济订购批量存储模型 Economic Ordering Quantity (EOQ) Model一、模型假设1需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；2当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；3每次订购费为c3，单位存储费为c1，且都为常

5、数；二、存储状态图存储量时间TQ斜率Rt0.5Q三、存储模型一存储策略该问题的存储策略就是每次订购量，即问题的决策变量Q，由于问题是需求连续均匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量t，即每隔t时间订购一次，订购量为Q=Rt。二优化准那么t时间内平均费用最小。由于问题是线性的，因此，t时间内平均费用最小，总体平均费用就会最小。三目标函数根据优化准那么和存储策略，该问题的目标函数就是t时间内的平均费用， 即 C=Ct；1t时间内订货费t时间内订货费= 订购费 + 货物本钱费 = c3+KRt 其中K为货物单价2t时间内存储费存储费 = 平均存储量单位存储费时间 = (1/2)Qc1t = (1/2)

6、c1Rt23t时间内平均费用目标函数 Ct= (1/2)c1Rt2 + c3 + KRt/t = (1/2)c1Rt + c3 /t+ KR四最优存储策略在上述目标函数中，令 dc/dt = 0得 即每隔t*时间订货一次，可使平均费用最小。有即当库存为零时，立即订货，订货量为Q*，可使平均费用最小。Q*经济订货批量Economic Ordering Quantity， 五平均费用分析由于货物单价K与Q*、t*无关，因此在费用函数中可省去该项。即 Ct= (1/2)c1Rt + c3 /tC(t)(1/2)c1Rt：存储费用曲线c3/t：订购费用曲线tt*C图72O费用函数还可以描述成订购量的函

7、数，即 CQ= (1/2)c1Q + c3 R/Q此时，费用函数如以下图所示：C(Q)(1/2)c1Q：存储费用曲线c3R/Q：订购费用曲线QQ*CO四、实例分析教材P176实例某批发公司向附近200多家食品零售店提供货源，批发公司负责人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面进行调查研究，以制定正确的存储策略。调查结果如下：1方便面每周需求3000箱；2每箱方便面一年的存储费为6元，其中包括贷款利息3.6元，仓库费用、保险费用、损消耗用管理费用等2.4元。3每次订货费25元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务费12元，支付手续费、 费、交通费等13元。4方便面每箱价格30元。解：1人工计算 c

8、1=6/52=0.1154元周箱；c3=25元次；R=3000箱周。因此有 箱t*=Q*R=1140.183000=0.38周=2.66天最小费用 2计算机求解运筹学软件均是以年为单位，需输入如下数据：c1=6元年箱；c3=25元次；R=300052=156000箱年。存储率=20%存储费占价格比例；每年天数：365天；计算结果为： 最优订货量： 1140.175每年存储本钱： 3420.526元每年订货本钱： 3420.526元本钱总计： 6841.053元最大存储水平： 1140.75平均存储水平： 570.088再订货点： 427.397每年订货次数： 136.821周期： 2.668在

9、此根底上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改：1将订货周期该为3天，每次订货量为3300052365 =1282箱；2为防止每周需求超过3000箱的情况，决定每天多存储200箱，这样，第一次订货为1482箱，以后每3天订货1282箱；3为保证第二天能及时到货，应提前一天订货，再订货点为427+200=627箱。这样，公司一年总费用为：C=0.512826 + (3653)25 + 2006=8087.67元数据模型与决策中符号年需求量D；每次订购费为C0，年单位存储费为Ch，且都为常数；年费用函数 CQ= (1/2)ChQ + C0D/Q经济订购批量模型每天的需求量: d=D/250 o

10、r d= D/365提前时间: m再定货点: r=md循环周期: T=250/(D/Q*) or T=365/(D/Q*) 第三节 经济生产批量模型 -Economic Production Lot Size Model经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型。一、模型假设1需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；2每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，且都为常数；3当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量生产率为P常数，生产的产品一局部满足当时的需要，剩余局部作为存储，存储量以PR的速度增加；当生产t时间以后，停止生产，此时存储量为PRt，以该存储量来满足需求。当存储量降至零时，

11、再开始生产，开始一个新的周期。二、存储状态图设最大存储量为S；总周期时间为T，其中生产时间为t，不生产时间为t1；存储状态图如以下图。S时间T0.5S存储量tt1斜率PR斜率R三、存储模型1存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；2优化准那么：t+t1时期内，平均费用最小；3费用函数：1生产时间 t=QP；2最大存储量 S=(PR)t=(PR)Q/P3不生产时间与总时间： t1=SR=PRQPR t+t1=QP+PRQPR=QR4t+t1时期内平均存储费： 0.5S c1 = 0.5 c1 (PR)QP5t+t1时期内平均生产费用：c3 (t+t1) = c3RQ6t+t1时期内总平均

12、费用： C=0.5 c1 (PR)QP + c3RQ4最优存储策略在上述费用函数的根底上：令 dc/dQ = 0有最正确生产量 最正确生产时间 最正确循环时间 循环周期内平均费用 上述各参数的单位均以c1的单位为参照四、实例计算某存储问题，有关参数如下：R=4900个/年；P=9800个/年；c1=1000元/个年；c3=500元/次：计算结果为： 最优生产量： 98.995 Q*每年存储本钱： 24748.74元每年生产准备本钱： 24748.74元本钱总计： 49497.38元最大存储水平： 49.497平均存储水平： 24.749再生产点： 19.6每年生产次数： 49.497 R/Q*

13、周期： 5.051 250/R/Q*数据模型与决策中符号年需求量D；天需求量d;年生产量P; 天生产量p;每次生产准备费C0，年单位存储费为Ch;年费用函数 CQ= (1/2)(1-d/p)ChQ + C0D/QOR CQ= (1/2)(1-D/P)ChQ + C0D/Q经济生产批量模型当D=26000; P=60000; C0=135; Ch=1.08; m=2; 计算机求解第四节 允许缺货的经济订购批量模型 -An Inventory Model with Planned Shortage所谓允许缺货是指企业可以在存储降至零后，还可以在等待一段时间后订货。假设企业除了支付少量的缺货损失外无

14、其他损失，从经济的角度出发，允许缺货对企业是有利的。一、模型假设1顾客遇到缺货时不受损失或损失很小，顾客会耐心等待直到新的补充到来。当新的补充一到，立即将货物交付给顾客。这是允许缺货的根本假设，即缺货不会造成时机损失。2需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；3每次订购费为c3，单位存储费为c1，单位缺货费为c2，且都为常数；二、存储状态图设最大存储量为S，那么最大缺货量为QS，每次订到货后立即支付给顾客最大缺货量QS；总周期时间为T，其中不缺货时间为t1，缺货时间为t2；存储状态图如以下图。存储量t1t2时间TQSSTO三、存储模型1存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；2优化准那么

15、：T时期内，平均费用最小；3费用函数：1不缺货时间 t1=SR；2缺货时间 t2=QSR3总周期时间 T=QR4平均存储量 0.5St1T=0.5S2Q5平均缺货量 0.5QSt2T = 0.5QS 2 Q6T时期内平均存储费： 0.5c1S2Q7T时期内平均缺货费： 0.5c2QS2Q5T时期内平均订购费用： c3 T = c3RQ6T时期内总平均费用： CS，Q=0.5c1S2Q + 0.5c2QS2Q + c3RQ4最优存储策略令 有最正确订购量 最正确最大存储量 最正确循环时间 周期内平均费用 四、实例计算 不允许缺货允许缺货参数R=4900个/年；c1=1000元/个年；c3=500

16、元/次；R=4900个/年；c1=1000元/个年；c3=500元/次；c2=2000元/个年最优订货量 70 85.732每年存储成本 35000元 19051.59元每年订货成本35000元28577.38元每年缺货成本 9525.793元成本总计 70000元 57154.76元最大存储水平 70 57.155平均存储水平 35 19.052再订货点 19.68.577最大缺货量 28.577每年订货次数 7057.155周期 3.5714.374第五节 允许缺货的经济生产批量模型允许缺货，补充不是靠订货，而是靠生产。一、模型假设1需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；2每次生产准备费为

17、c3，单位存储费为c1，单位缺货费为c2，且都为常数；3当缺货一段时间后时开始生产，单位时间生产量生产率为P常数，生产的产品一局部满足当时的需要，剩余局部作为存储，存储量以PR的速度增加；停止生产时，以存储量来满足需求。二、存储状态图设最大存储量为S，那么最大缺货量为H；总周期时间为T，其中存储时间不缺货时间为t1，缺货时间为t2。存储状态图如以下图。存储量时间TTHt1t2S三、存储模型1存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；2优化准那么：T时期内，平均费用最小；3费用函数：1不缺货时间：包括两局部，一局部是存储增加的时间，另一局部是存储减少的时间，因此有： 2缺货时间：也包括两局

18、部，一局部是缺货增加的时间，另一局部是缺货减少的时间，所以有：3总周期时间：等于存储时间与缺货时间之和，即： 4平均存储量5平均缺货量 6T时期内平均存储费 7T时期内总平均费用，即费用函数：4最优存储策略令 最大缺货量最正确最大存储量 有最正确订购量 即最正确循环时间 周期内平均费用 第六节 经济订货批量折扣模型 -Quantity Discount for the EOQ Model在很多情况下，购置商品的数量与商品的价格有关，一般是购置的数量越多，商品的价格越低。由于不同的订货量商品的价格不同，所以我们在决定最优订货量时，不仅要考虑到存储费和订货费，同时要考虑到商品的购置本钱。一、模型构

19、造与分析根据上述分析，在有价格折扣的情况下，一个订货周期内的平均费用应用以下函数描述，即：式中KQ为商品价格，为订货量Q的函数。要使一个订货周期内的平均费用最小，同样令 有 由于dKdQQ*，即有价格折扣时的最优订货量要大于没有价格折扣时的最优订货量。当dKdQ为常数时，可直接从上述公式中求出有价格折扣时的最优订货量。但一般情况是，随着订货量的再增加，商品的价格折扣也会降低，即dKdQ的绝对值会越来越小，亦即Q0*又有下降的趋势。二、模型的求解上面进行的是在商品价格变化为连续情况下的分析，实际情况是商品的价格折扣是离散的，即当订货量为GiQ Gi+1时，商品的价格为Ki，此时，平均费用为：为此

20、，有如下求解步骤：1先求出最正确批量 ，并确定落在哪个区，假设落在GiQ Gi+1，此时2取Q=Gi+1，Gi+2，代入上述公式计算Ci，取Ci最小者对应的G值为最优订货批量。三、实例计算实例总结R=300个/年；c1=100元/个年；c3=200元/次；价格与订货量的关系如下表所示。订货量（箱）1495099100以上单价（元/箱）500480475解因此，该问题的最优订货量为50张/年，最小费用为147700元。同理有第七节 需求为随机的单一周期模型 -A Single-Period Inventory Model with Probabilistic Demand通常情况下，需求是一个随

21、机变量。所谓需求是随机变量的单一周期存储问题是指，某种商品的市场需求是随机变量，其分布为。这类商品或更新快或不能长期保存，他们在某段时间内只能进货一次，期末未售出商品降价处理或完全损失掉如季节性服装、贺年卡、食品、报纸等。这类问题中，如订货量过大会使商品不能完全售出而增加损失，假设订货量过小，会因供不应求而造成时机损失。一、需求为离散随机变量情况下的模型一报童问题报童每天销售的报纸数量是个随机变量，每出售一份报纸赚k元，假设当天报纸未售出那么每份赔h元。根据以往经验，每天报纸的需求量为r的概率为Pr，问报童每天最好准备多少报纸？二最优订购量模型设报童每天订Q份报纸当 Qr 时，报童损失： hQ

22、r元当 Q r 时，报童时机本钱 ： krQ元由于r是离散的，故报童订Q份报纸的期望损失为：使期望损失最小的最正确订购量Q*必满足如下两个条件：1 CQ*CQ*+12 CQ*CQ*1由1有： 由2有因此，最优订购量Q*应满足以下不等式：三应用举例某报亭出售某种报纸，其需求量在5百至1千份之间，需求的概率分布如下表。又该报纸每售出一百份利润22元，每积压一百份损失20元，问报亭每天应订购多少份这种报纸，利润最大。需求数（百份）5678910概率0.060.10.230.310.220.08累计概率0.060.160.390.700.921解：由题意有：k=22、h=20所以 由表中累计概率可知：

23、故，报亭每天订购该种报纸的份数应在700份到800份之间。 二、需求为连续随机变量情况下的模型一问题描述某商品单位本钱为k，单位售价为P，单位存储费为c1，需求r是连续的随机变量，密度函数为r，其分布函数为 ，生产或订购数量为Q，问如何确定Q，使利润期望值最大？二存储模型期望收入为：期望费用为：因此，期望利润为：令 又令 再令 有 即 由该式可解得Q*。假设PK，由FQ0可知上式等式不成立，即Q*=0，即价格小于本钱时不能订货。 举例：某公司出售某种商品，其单位本钱为10元/件，单位售价为15元/件，单位存储费为2元/件。需求量为随机变量，且服从分布N200，302，试确定最正确定货量。解：依

24、题意，K=10，P=15，c1=2，=200， =30因此有： FQ=P-K/P + c1=5/17=0.294即： Q/ =0.294又： Q/ =1 Q/ =10.294=0.706查正态分布表有： 0.54=0.706即： Q/ =0.54所以： Q= 0.54=2000.5430=1841. 该问题的计算机求解 定货大于需求时损失: 12元; 定货小于需求时损失: 5元; 正态分布:=200， =302. 案例11.5.1(P368)强森鞋业公司问题的计算机求解 定货大于需求时损失: 10元; 定货小于需求时损失: 20元; 均匀分布: 需求区间为350-6503. 案例11.5.2(

25、P370)汽车租赁公司问题的计算机求解 高估需求时损失: 80元; 低估需求时损失: 200元; 正态分布:=150， =14第八节 需求为随机的多周期模型 -Multi-Period Inventory Models with Probabilistic Demand在多周期的模型里，上一周期未售完的产品，可存储到下一周期销售。其费用不包括时机本钱，而只有订货费和存储费。由于需求是随机的，我们不能准确地知道周期确实切长度，也无法准确确定再订货点的来到时间，因此，存储策略也与确定性存储模型不同。由于需求是随机变量，假设要保证每周期不缺货或缺货在某一个确定的数量上几乎不可能。但我们可以考虑在一定置信水平下的不缺货，或缺货在某一确定的数量上。例如，在某一段时间内出现缺货的概率为