数字信号处理：第5章 有限长离散变换

1、第5章 有限长离散变换正交变换DFT定义DTFT与DFT的关系DFT的性质DFT的快速算法：FFT基序列定义5.1 正交变换特性：能量保持分析式综合式时域周期延拓频率采样离散时间傅立叶变换DTFT离散傅立叶变换DFT5.2 离散傅里叶变换DTFTDFT正变换N点有限长序列IDTFTIDFT反变换离散傅立叶变换 Discrete Fourier Transform DFT 定义IDFT证明证明:DFT幅度谱DFT相位谱性质定义周期性快速算法直流圆周时反证明：DFT的周期性N为xn的长度DFT的运算量DFTIDFTN2N*(N-1)DFT、IDFT复数乘法DFT、IDFT复数加法例1：正频率负频率

2、Xk的DFT频谱5.3 DTFT与DFT的关系离散连续插值插值公式DFT用于DTFT的数值估算 估计N点序列补零M大小对Xk的影响? 解:(1)(2)增大M可以提高信号DFT的频率分辨率N大小对信号周期估计的影响? N=128和N=129时的DFT频谱N为周期的整数倍频谱的尖峰为正弦的频率N不是周期的整数倍出现模糊单频模拟信号DFT宽频DFT频谱原因？ 129点128点时域上看周期延拓周期延拓波形的突变产生多种频率分量频域上看128点129点yn与xn的关系？ 频域采样离散连续例：对 进行8点均匀抽样 其逆变换若做4点抽样其逆变换混叠频域采样率不够，时域信号会发生混叠序列的循环移位5.4 圆周

3、卷积移位与循环移位0N-10N-1循环移2位周期延拓移2位循环移位的周期循环移位的时反性质圆周卷积回顾：N点序列的线性卷积yLn的长度？N点序列的圆周卷积yCn的长度？LM+N-10N-10M-1L0N-1LM+N-10M-1L0M-1xn0N-1hn线性卷积与圆周卷积的关系线性卷积圆周卷积00M+N-1yn0L=M+N-1点 圆周卷积 = 线性卷积5.5 有限长序列的分类共轭对称：共轭反对称：任意复序列可分解为共轭对称和共轭反对称部分共轭对称部分共轭反对称部分特例：实序列偶对称：奇对称：任意实序列可分解为偶对称和奇对称部分偶对称部分奇对称部分圆周共轭对称：圆周共轭反对称：N点序列可分解为圆周

4、共轭对称和圆周共轭反对称部分圆周共轭对称部分圆周共轭对称部分几何对称：几何反对称：对称中心：(N-1)/25.6 DFT的对称关系复序列DFT的对称关系序列DFT频谱共轭、时反实部、虚部圆对称、反对称实序列DFT的对称关系DFT频谱对称关系 偶对称、奇对称序列DFT频谱xn=cos(0.1n)的DFT频谱例：xn=cos(0.1n)的DFT频谱5.7 DFT定理已知线性：循环时移时移DTFTDFT幅度(功率)谱不变，仅影响相位谱循环频移频移DFT对偶：DFTN点圆周卷积DTFT卷积调制(加窗)DFTDTFT帕斯瓦尔公式DFTDTFT两个实序列DFT的计算5.9 实序列DFT的计算DFT的对称性

5、基本思想：利用DFT的对称性2N点实序列DFT的计算2N点实序列vn偶数点奇数点GK和Hk可用前一方法两个有限长序列的线性卷积5.10 用DFT计算线性卷积补零补零基本思想：线性卷积圆周卷积 DFT计算循环前缀XN-M+1, XN-1X0, , XN-M, XN-M+1, XN-1循环前缀线性卷积圆周卷积用途：只需计算线性卷积的部分值有限长序列与无限长序列的线性卷积基本思想：无限长卷积有限长卷积之和0M-1 0 xnhn1. 重叠相加法N-1线性卷积0与hn 做L=M+N-1 点圆周卷积N-12N-1重叠相加0yn2个 (M+N-1)点 DFT0M-1 0 xnhn2. 重叠保留法N-1线性卷

6、积与hn 做L=N3 圆计算量 线计算量N=128 圆计算量 = 8% 线计算量5.11 短时(加窗)傅立叶变换基音周期不同加窗语谱图 三维短时功率谱声音 九色鹿tf短时DFT颜色表示幅度语谱图tftf短时DFT清音频谱能量分布在整个频率段内、无明显衰减浊音频谱能量集中在低频率区、衰减较快基于语谱图的清浊音分析静音频谱能量很小jiuselu频率与乐谱乐音：发音物体有规律地振动而产生的具有固定音高的音 A ., 441 ,.B ., 495 ,. C ., 556 ,. D ., 589 ,.E ., 661 ,.F ., 742 ,.G ., 833 ,.音符频率表(Hz)中音频率组合表示五线

7、谱简谱五线谱与短时傅立叶分析f0频率时间DFT的运算量DFTIDFTN2N*(N-1)DFT、IDFT复数乘法DFT、IDFT复数加法快速傅立叶变换FFT(第11章) 1965年，J.W.Cooley 和 J.W.Tukey 首次提出了DFT运算的一种快速算法此后相继出现了各种用于计算机平台的改进FFT 算法FFT使DFT的运算时间可缩短一、二个数量级，使DFT的运算可以应用到实际中按时间抽取法DFT频域分为前后两半偶数点奇数点N/2点DFT时间抽取法蝶形运算一次乘法，两次加法偶部奇部N点DFT分解N点N/2点N/2点N/4点N/4点N/4点N/4点2点2点2点2点log2N2点DFT例：偶部

8、奇部可继续分解N=8 按时间抽取的FFT运算流图时间抽取FFT的特点：1、奇偶抽取与比特逆序例：N=8二进制0 000 010 100 111 001 011 101 11二进制00 001 010 011 000 101 110 111 1原序01234567奇偶抽取02461357偶部奇部比特逆序例：N=8输入顺序01234567二进制码000001010011100101110111码位倒读000100010110001101011111输出顺序04261537时间抽取法流程比特逆序蝶形运算2、原位运算：频率抽取法前半部后半部按k的奇偶将Xk分为两部分 N/2点DFT偶序奇序频率抽取法蝶形运算按频率抽取的FFT（N=8）信号流图频率抽取法中的比特逆序例：N=8二进制0 000 010 100 111 001 011 101 11二进制00 001 010 011 000 101 110 111 1前半部后半部原序01234567蝶形运算02461357频率抽取法流程蝶形运算比特逆序IFFT算法IDFTDFTIFFT取共轭可用FFT计算取共轭运算量分析： 乘法 加法 DFT N2 N(N+1) FFT (N/2)log2N Nlog2N 改善比 2N/log2N (N+1)/log2N例： DFT FFT 乘法 加法 乘法 加法