2022年中北大学线性代数知识点

1、名师整理 精华知识点 线 代 第一章 行列式一、重要公式3A1kn11O152 AjAn1A1 kAAA*AB4 ABABOB6AOABB n()1mnAmBn*B7A mO8O*OO*naiixi)Oi11111(xx 1x2x3x nx 12x22x 32xn29范德蒙行列式：1ijnx 1nx2n1x3nxnn1名师整理 精华知识点二、主要知识网络图 排列逆序奇、偶排列 概念D性质a 11a 12a 1na21a22a2nan 1an2ann行列互换，行列式值不变，即行列式与其转置行列式相等。互换两行（列） ，行列式值变号。某行（列）有公因数，可提到行列式之外。某行（列）的 k 倍加到另

2、一行（列）上去，行列式值不变。若行列式某行（列）的所有元素均为两项之和，则行列式可拆成两行列式之和。若行列式有两行（列）对应成比例，则值为零。行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法 计算 应用 Grame 法则奇次线性方程组有非零解的充分条件第二章 矩阵 一、重要定理定理 2.1 设 A， B 是 n 的阶矩阵，则ABAB。AP 1P 2P s,定理 2.2 如果 A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵唯一。定理 2.3 n 阶矩阵 A 可逆A0r(A )nPi是初等矩阵（i1，s）定理 2.4 初等阵左（右）乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩

3、阵作相应的行（列）变换。定理 2.5 初等矩阵可逆，且其逆同类型初等矩阵，即Eij1Eij,E1( i(k)E( i(1),Eij1(k)Eij(k)。k定理 2.6 如果矩阵 A 与 B 等价，则（ 1）秩 r(A)=r(B) (2 ) 存在可逆矩阵P 与 Q,使 PAQ=B 。名师整理 精华知识点定理 2.7 若 r(A)=r, 则 A 中有 r 个线性无关的行 （列） 向量而其它的行 （列）向量都可由这 r 个向量线性表出。即 r(A)= 行秩 =列秩。二、重要公式、法则1 加法与数乘（ 1）A+B=B+A (2 ) (A+B)+C=A+(B+C) (3 ) A+0=0+A=A (4 )

4、 A+(-A)=A (5) k (l A)=(kl)A (6 ) (k+l)A=kA+lA (7 ) k(A+B)=kA+kB (8 ) 1A=A, 0A=0 2.乘法（ 1）(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC (3 ) (kA)( lB)= kl(AB) (4)A0=0A=0 3.转置(1)（A T) T=A (2)(A+B) T=A T+B T(3)(kA) T=kA T(4) (AB) T=B TA T 4.可逆(1)A11A(2)(AT)1(A1)T(3)kA11 A k1(4) (AB)1B1A15.伴随（1）* AAA*A)AE（2）(kA)*kn1A*(3)

5、(AT)*(A*)T(4)(A*)1(A1A(5) AAn1A6. n 阶矩阵的行列式（1）T AA(2)kAknA(3) ABAB(4) A1A1(5) AAn17. 矩阵秩的性质(1) r(A )r(AT)r(PA)r(AQ)r(PAQ)（P、Q 可逆）(2) (3) r(kA )r(A )如果k0r(AB)r(A)r(B)如果0k0(4) rAOr(A )r(B )；rAOr(A )r(B )OBCB(5) r(A )r(B)nr(AB)minr(A),r(B )（ n 表示 A 的列数 B 的行数）(6) r(A )r(B)nr(AB)n(7) AB=0r(A)r(B)n（n 表示 A

6、 的列数 B 的行数）(8) A 为实矩阵r(A)r(ATA)r(AAT)？（9）nr(A)nr(A*)0r(A)n11r(A)n1三、二阶方阵：（1）AabA1dbad1bccdca（2）A*db名师整理精华知识点记法：“ 主换位，副变号”ca四、分块阵AO1A1O1，1，OA1OAB11O1OBOB1BOA1OAC1CBAO1A11ABBCAOBO1CB1B五、可逆的判断法1 n 阶矩阵A 可逆PiA0r(A )nA 的行（列）向量线性无关AX0仅有零解AP 1 P 2P s，s）是初等矩阵（i1，2 上三角阵的逆阵为上三角阵，且其主对角线上的元素为其原对角元素的倒数，下三角类同。六、正交

7、阵（AA TA TAI）T A 也正交。3A 正交，A1也正交。1A 正交，A1。2A 正交，5A 正交，4A 正交，* A 也正交。T AA1。6A 正交， AB 也正交。七、对角阵T T1. A 为方阵，A A 为反对称阵（A A）。*2. A 为反对称阵：则 A 为反对称阵 (n 为偶数 ) *则 A 为对称阵 (n 为奇数 ) 则 A 1为反对称阵 ( A 0 ) 则 AB 反对称 B 对称且 AB=BA * 13. A 为反对称阵 ,则 A 也是反对称阵。*4.A 为对称阵，则 A 也是对称阵。5*. 实的反对称阵的 i只能为 0 或 bi 形式。口诀：1 、题设条件与代数余子式 A

8、ij 或 A* 有关，则立即联想到用行列式按行 ( 列) 展开定理以及AA*=A*A=|A|E。2 、若涉及到 A 、B 是否可交换，即 AB BA ，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3 、若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0 ，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE 再说。第三章 向量空间1、A 0 A 的行（列）向量无关，A 0 A 的行（列）向量相关口诀： 1、若要证明一组向量 1, 2, , S 线性无关，先考虑用定义再说。名师整理 精华知识点2、若已知 AB0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。第四章 特征值与特征向量一、重要公式1、Ain1i2、t

9、rAin1aiiini3、i0A 可逆114、可逆阵 A 的每行之和为a0，则A1的一个特征值为a1，且对应的特征向量为X15、kE-A 的可逆性可逆ki(A ,kEAA0i为A的 特 征 值不可逆kikEA06、A 可逆且有 n 个无关的特征向量trA1,A1有相同的 n 个无关的特征向量。7、ABr(A)r(B);tr(A)B)8、矩阵A1k A m A* Af（A ）P1AP(P1AP)TATB（ A的初等A 变换）特征1kmAf（）P1PT不一不定值特征不定向量定是二、相似与对角化（A 为 n 阶方阵）有 n 个不同的 iA 有 n 个线性无ik(A0A 为实对称矩阵nk关的特征向量i

10、IA)XA 的每一个ik 重i有有ik 个无关解R(IA )个线性无关的特征向量i三、可对角化的判断方法1、 A 为实对称矩阵2、ij(ij)名师整理精华知识点AB3、R(IA)nki(ki为重数)四、合同（BPTAP,P可逆，记作：BA）1、合同不一定有相同的i。2、A 合同于 B，则 R（A ）=R（ B）且A,B同号， A 、B 有相同的正惯性指数。3、A 合同于 E，则 A 正定。五、 A、B 有相同的特征值R(A)R (B)A 等价 BA,B为实A 、B 对应正负惯性指数相同对称阵六、变换关系变 换 阵性质对称性不变等价PAQ=B P、Q 可逆秩不变，tr（A）=tr（B）相似P1A

11、PBP可逆秩不变i不变AB正交相似C1ACBC 正交秩不变i不变AB，tr（A）=tr（B）合 同 P TAP B P可逆 秩不变口诀： 1 、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。2 、若已知A 的特征向量 0，则先用定义A000 处理一下再说。第五章二次型一、正负定判断：1、正定正惯性指数 =nA 的所有特征值i0n 个主子行列式的值都为正数A 合同于 E。2、负定负惯性指数 =nA 的所有特征值i0n 个主子行列式的值负正相间二、化二次型为标准型 1、 配方法2、 合同变换法APE3、 特征值法口诀：若要证明抽象n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。口诀第一句话： 题设条件与代数余子式Aij 或 A* 有关，则立即联想到用行列式按行( 列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。第二句话： 若涉及到A、B 是否可交换，即AB BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话： 若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0 ，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子aA+bE 再说。名师整理 精华知识点第四句话 ：若要证明一组向量 1, 2