实验3数列与级数

1、实验3 数列与级数级数是微积分乃至整个数学分析最重要的基本内容之一。远在公元前三世纪，古希腊人Archimedes就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。本实验的目的是通过计算机发现数列的规律、极限状态的性质。所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一串数字 , , , , （1）而一个无穷级数则是用无穷项数字构成的和式 = + + （2）数列与级数有密不可分的关系。给定一个无穷级数（2），它唯一地确定了一个无穷数列 , ,其中= + , n = 1,2 , .反过来，给定一个无穷数列（1），它也唯一地确定了一个无穷级数 这里= ,n = 2 ,3 , 。并且，无穷级数的和就是相应的无穷数列

2、的极限。因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。给定的数列 ,人们最关心的问题是：数列有什么规律与性质？当n时，数列的极限是什么？极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是什么？如果数列的极限根本不存在，那么在无穷大的极限状态又怎么样？对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。本实验将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列的规律及其极限行为。我们以Fibonacci数列为例来探讨上述问题。3.1 Fibonacci数列给定如下的数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，其递推关系式由, ，2， , (3)给出，该数列

3、被称为Fibonacci数列。Fibonacci数列经常以著名的养兔问题提出来。某人养了一对兔子（公母各一只）。一月后，这对兔子生了一对小兔。以后每月、每对成熟（即一月以上）的兔子都生育一对小兔。假设兔子不会死亡，问一年后总共有多少对兔子？显然，问题的答案就是数列的第十二项。为考察Fibonacci数列的极限与规律，我们用计算机算出Fibonacci数列每一项的值，并在二维平面上画出顺次连接点（，），n=1,2,，N的折线图，其中是一个大整数。练习1分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折线图。Fibonacci数列是否单调增？它是否趋于无穷？它增加的速度是

4、快还是慢？你能否证实你的观察？为进一步研究Fibonacci数列的特性，我们将取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点,n=1,2,N=1000, 对上述数据进行拟合可得 (4) (5)练习2分别取N=2000，50000，10000，用直线去拟合数据, n=1,2,N,由此求数列的近似表示，注意观察的线性项的系数，它与黄金分割数有何联系？由计算机观察到的上述结果我们似乎可以猜测数列的通项具有形式 （6）将上式代入递推公式（3）得 (7)从而 。因为数列趋于无穷，故取 于是 (8)然而，公式（8）并不满足，即并非数列的通项公式。不过，它仍然是数列的主项。练习3证明公式（8）不是Fibonacci数

5、列的通项。为进一步得到Fibonacci数列的通项，我们构造数列 将上式代入公式 （3）可得仍然满足递推公式（3）。因而我们猜测，数列的通项也具有形式 =其中也满足方程（7），故 = 这样，我们得到Fibonacci数列的通项一个新的猜测 由条件确定出 c= ,= 从而我们得到 =()() (9)这样，Fibonacci数列趋于无穷的阶为()。练习4验证（9）式正是Fibonacci数列的通项公式Fibonacci数列与自然界中的许多现象，如植物的枝干与叶子的生长有紧密的联系。它在纯数学领域的一个极为成功的应用是协助前苏联数学家马蒂雅舍维奇解决了著名的Hilbert第十问题。此外，它在优化、运

6、筹以及计算机科学与艺术领域都具有极大的应用价值。下面我们来“听一听” Fibonacci 数列。练习5取一整数m（如m=51）, 将Fibonacci数列模m得到一周期数列，将该周期数列的值作为音高，编程演奏它，取不同的m，或将几段合并，感受旋律的变化。3.2 调和级数熟知，无穷级数 （10）当1时收敛，当1发散，特别地，=1时，级数（10）称为调和级数。 一个令人感兴趣的问题是，调和级数发散到无穷的速度有快？或者说数列 =1+趋于无穷的速度有多快？一个直观的方法仍然是画出由点（n,）,n=，N构成的折线图。练习6 充分大的N,观察调和级数的折线图，你觉得它发散的速度是快还是慢？将它的图形,

7、，以作比较，谁的速度快？从上述实验的结果看出，调和级数发散的速度较慢，但是它到底以什么样的速度发散到无穷？让我们再做下面的练习。练习7 对充分大的一系列n计算，你能否猜测出，当n趋于无穷的极限？更一般地，趋于无穷的极限是什么？反过来，固定n，让k趋于无穷，趋于无穷的速度是什么？你能否由此得出当n趋于无穷的极限阶？我们也可以从另外一个角度考察上述问题。练习7 用表示不小于的最小整数。对，计算。你能做出什么猜测？对每个n，设，则的范围是什么？对每个令n是使得成立的最大整数，我们把它记为，试计算比值。你能据此做出何种猜测？当m趋于无穷时，关于m的阶是多大？由此，关于n的极限是多少？对调和级数做更仔细

8、的分析，可以得到更精细的结果。有兴趣的读者不妨做进一步探讨。3.3 思考问题作为本实验内容，请读者研究下列数列的极限状态与规律。问题1 设，研究数列的极限行为。(1)在平面上画出顺次边接点,1,2,，2000的折线图。(2)根据上述图形，你认为数列的极限是什么？(3)用一恰当的函数去拟合上述图形。(4)猜测数列的极限阶。(5)你能否证明你的结论？问题2 研究数列的极限状态的规律。(1)在平面上画出点列,1,2,，(如).(2)根据上述图形，你认为数列的极限是否存在？(3)你能从上述图形中观察到点列的分布有什么规律？(4)你能否证明所观察到的规律？(5) 任取区间，画出数列中落在区间中的点，将区

9、间放大并取不同的，观察落在区间中的点集有何变化。(6)根据以上观察，你认为数列的聚点集合是什么？你能否证明你的结论？问题3 考察由如下关系确定的正整数数列 任取一正整数作为初值，计算数列，并在平面坐标系中用折线连接,n=0,1,N.取不同的初值，观察所得的结果。你能发现数列，有什么规律？你能否尝试证明我所发现的规律？问题4 研究Farey数列的规律与项数。给定整数n，将分母不超过n的所有真分数（以最简分数形式出现）从小到大排列，所得到的数列称为n阶Farey数列。例如，6阶Farey数列是1/6，1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5，5/6。对n阶Farey数

10、列，我们要问它有多少项？相邻各项之间有何联系？为研究这些问题，请做以下实验。（1）任取一Farey数列，考察任意相邻三项之间的关系。将头尾两项的分子分母分别相加，所得分数是什么?你能因此做出什么样的猜想？你能否证明你的猜猜想？（2）考察Farey数列相邻两项三项之间得差，你能得到什么结论？你能否证明你的结论？（3）将Fraey数列的每一项减去，所得到的新数列有什么性质？（4）用表n 阶Farey数列Fn的项数。观察n阶Farey数列和n+1阶Farey数列的关系。由此, 与有何关系？（5）点列（n, ）,n=2,3.,N（如N=1000）标在二维坐标平面上（可用折线将它们连接起来）。猜测与 n

11、的关系，并拟合之。的极限阶是多少？注意，极限阶前的常数与有何关系？（6）用表示的第k项，并令。用（5）类似的办法估计Dn的极限阶。据此,你能做出何种猜测？在这里，你要非常小心。你做出的猜测很可能与著名的猜想（见有关素数的实验）有某种联系。问题5 在调和级数中，将分母的十进制表示中含有数字9的项去掉，由此得到的级数是收敛还是发散呢？请根据本实验中介绍的方法做仔细的分析。问题6 考察时，级数（10）的一些结果。对充分大的N ，计算级数的前N项和，并计算它与的比值。你能否据此猜测级数（10）的和？设,， 是按顺序排列素数。考察无穷乘积 （11）试计算该无穷乘积的近似值。这个值与（1）中级数的和有何关

12、系？由此，你能做出什么样的猜测？你能否证明你的猜测？你能否猜测，对一般的，无穷级数（10）的和与哪个无穷乘积相等？需要再次提醒读者，本问题与 猜想也有着千丝万缕的联系。附录Mathematica 程序下面是本实验中的有关Mathematica 程序。使用时，只要输入并调用相关函数即可。 画Fibonacci数列折线图的函数FibShown_Integer:=Modulet= ,i,Fori=1, iTrue用直线去拟合(, log(F), =1,2,n的函数 FibFitn_Integer:= Moduld t= ,i, For i=1, i=n, i+, AppendTot, i,LogFibonaccii; Fit t, 1, x, x 演奏Fibonacci数列的函数Fibplayn_Integer:= Modulet= ,i, Fori=1, i0,n,SamplRate-5 显示点列（,sin(), =1,2，n的函数 PlotListn_Integer:= Modulet= ,i, Fori=1, i Poin