专题17 探究型问题-2022中考数学压轴题精讲（解析版）

1、中考压轴题全揭秘专题17 探究型问题一、单选题1如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则PAB面积的最小值是（）A5 B10 C15 D20【答案】A【解析】作CHAB于H交O于E、F连接BCA（4，0），B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5SABC= ABCH=ACOB，ABCH=ACOB，5CH=(4+1)3，解得：CH=3，EH=31=2当点P与E重合时，PAB的面积最小，最小值52=5故选A【关键点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线

2、，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题2定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，F（n）=3n+1；当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A1 B4 C2018 D42018【答案】A【解析】若n=13，第1次结果为：3n+1=40，第2次结果是：，第3次结果为：3n+1=16，第4次结果为：=1，第5次结果为：4，第6次结果为：1，可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2018次是

3、偶数，因此最后结果是1，故选A【关键点拨】本题考查了规律题数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键3如图，在ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A2.5 B3 C3.5 D4【答案】D【解析】设运动的时间为x，在ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当APQ是等腰三角

4、形时，AP=AQ，AP=203x，AQ=2x，即203x=2x，解得x=4故选D【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题4如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A B C D【答案】C【解析】抛物线与x轴交于点A、B，=0，x1=5，x2=9，抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，当直线过B点，有2个交点，当直线与抛物线相切时，有2个交点，相切，如图，若直线与、共有3个不同的交点，-，故选C【关键点拨】本题考查了

5、抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.5已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则PMF周长的最小值是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】过点M作MEx轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时PMF周长最小值， F（0，2）、M（ ，3），ME=3，FM=2，PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5故选C【关键点拨】本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最

6、值情况.6如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为A BC D【答案】B【解析】设菱形的高为h，有三种情况：当P在AB边上时，如图1，y=APh，AP随x的增大而增大，h不变，y随x的增大而增大，故选项C不正确；当P在边BC上时，如图2，y=ADh，AD和h都不变，在这个过程中，y不变，故选项A不正确；当P在边CD上时，如图3，y=PDh，PD随x的增大而减小，h不变，y随x的增大而减小，P点从点A出发沿ABCD路径匀速运动到点D，P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确，故选B【关键点拨】本题考查了动点问题的函数图象，

7、菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出PAD的面积的表达式是解题的关键7如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k0）的图象交于A，B两点，点P在以C（2，0）为圆心，1为半径的C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A B C D【答案】C【解析】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，Q是AP的中点，OQ=BP，OQ长的最大值为，BP长的最大值为2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BDx轴于D，CP=1，BC=2，B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t（2）=t+2，BD=2t，在RtBCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+

8、BD2，22=（t+2）2+（2t）2，t=0（舍）或t=，B（，），点B在反比例函数y=（k0）的图象上，k=（-）=，故选C【关键点拨】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.8如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，A

9、C，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：LKB=22.5，GEAB，tanCGF=，SCGE：SCAB=1：4其中正确的是（）A B C D【答案】A【解析】四边形ABCD是正方形，BAC=BAD=45，由作图可知：AE平分BAC，BAE=CAE=22.5，PQ是AE的中垂线，AEPQ，AOL=90，AOL=LBK=90，ALO=KLB，LKB=BAE=22.5；故正确；OG是AE的中垂线，AG=EG，AEG=EAG=22.5=BAE，EGAB，故正确；LAO=GAO，AOL=AOG=90，ALO=AGO，CGF=AGO，BLK=ALO，CGF=BLK，在RtBKL中

10、，tanCGF=tanBLK=，故正确；连接EL，AL=AG=EG，EGAB，四边形ALEG是菱形，AL=EL=EGBL，EGAB，CEGCBA，故不正确；本题正确的是：，故选A【关键点拨】本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题9若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A10 B12 C16 D18【答案】B【解析】，解得x-3，解得x，不等式组的解

11、集是-3x仅有三个整数解，-10-8a-3，=1，3y-a-12=y-2y=，y-2，a-6，又y=有整数解，a=-8或-4，所有满足条件的整数a的值之和是-8-4=-12，故选B【关键点拨】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键10如图，ABC中，A=30，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，O恰好与AC相切于点D，连接BD若BD平分ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A2 B C D【答案】B【解析】连接ODOD是O的半径，AC是O的切线，点D是切点，ODAC在RtAOD中，A=30，AD=2，OD=OB=2，AO=4，ODB=OBD，又B

12、D平分ABC，OBD=CBD，ODB=CBD，ODCB，即，CD=故选B【关键点拨】本题考查了圆的切线的性质、含30角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明C=90，利用A=30，AB=6，先得AC的长，再求CD遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线11如图，在ABC中，C=90，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ）A B C D【答案】D【解析】在ABC中，C=90，AC

13、=BC=3cm，可得AB=，A=B=45，当0 x3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1）， 由题意可得AP=x，AQ=x，过点Q作QNAB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=x，所以y=（0 x3），即当0 x3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3x6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x，AP=3，过点Q作QNBC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=(6-x)，所以y=（3x6），即当3x6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.【关键点拨】本题考查了

14、动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答12如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k0，x0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，NDx轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（）AONCOAMB四边形DAMN与OMN面积相等CON=MND若MON=45，MN=2，则点C的坐标为（0，+1）【答案】C【解析】点M、N都在y=的图象上，SONC=SOAM=k，即OCNC=OAAM，四边形ABCO为正方形，O

15、C=OA，OCN=OAM=90，NC=AM，OCNOAM，A正确；SOND=SOAM=k，而SOND+S四边形DAMN=SOAM+SOMN，四边形DAMN与MON面积相等，B正确；OCNOAM，ON=OM，k的值不能确定，MON的值不能确定，ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，ONMN，C错误；作NEOM于E点，如图所示：MON=45，ONE为等腰直角三角形，NE=OE，设NE=x，则ON=x，OM=x，EM=x-x=（ -1）x，在RtNEM中，MN=2，MN2=NE2+EM2，即22=x2+（ -1）x2，x2=2+，ON2=（x）2=4+2，CN=AM，CB=AB，BN=BM，

16、BMN为等腰直角三角形，BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，在RtOCN中，OC2+CN2=ON2，a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），OC=+1，C点坐标为（0，+1），D正确故选：C【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算13如图，一段抛物线y=x2+4（2x2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的

17、直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A6t8 B6t8 C10t12 D10t12【答案】D【解析】翻折后的抛物线的解析式为y=（x4）24=x28x+12，设x1，x2，x3均为正数，点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8，2x34，10 x1+x2+x312，即10t12，故选D【关键点拨】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关

18、键.14已知二次函数y=x2+x+6及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）Am3 Bm2 C2m3 D6m2【答案】D【解析】如图，当y=0时，x2+x+6=0，解得x1=2，x2=3，则A（2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x3），即y=x2x6（2x3），当直线y=x+m经过点A（2，0）时，2+m=0，解得m=2；当直线y=x+m与抛物线y=x2x6（2

19、x3）有唯一公共点时，方程x2x6=x+m有相等的实数解，解得m=6，所以当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为6m2，故选D【关键点拨】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.15如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BEAP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CHBE于点G，交AB于点H，连接HF下列结论正确的是（）ACE= BEF= CcosCEP= DHF2=EFCF【答案】D【解析】连接四边形ABCD

20、是正方形，CD=AB=BC=AD=2，CDAB，BEAP，CGBE，CHPA，四边形是平行四边形，CP = AH，CP=PD=1，AH=PC=1，AH=BH，在RtABE中，AH=HB，EH=HB，HCBE，BG=EG，CB=CE=2，故选项A错误，CH=CH，CB=CE，HB=HE，CBHCEH，CBH=CEH=90，HF=HF，HE=HA， RtHFERtHFA，AF=EF，设EF=AF=x，在RtCDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2，x= ，EF=，故B错误，PACH，CEP=ECH=BCH，cosCEP=cosBCH= ，故C错误HF= ，EF= ，FC= HF2=EFFC，故

21、D正确，故选：D【关键点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题16如图，抛物线y=（x+2）（x8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作D下列结论：抛物线的对称轴是直线x=3；D的面积为16；抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；直线CM与D相切其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】在y=（x+2）（x8）中，当y=0时，x=2或x=8，点A（2，0）、B（8，0），抛物线的对称轴为x=3，故正确；D的直径为8（

22、2）=10，即半径为5，D的面积为25，故错误；在y=（x+2）（x8）=x2x4中，当x=0时y=4，点C（0，4），当y=4时，x2x4=4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，4），则CE=6，AD=3（2）=5，ADCE，四边形ACED不是平行四边形，故错误；y=x2x4=（x3）2，点M（3，），DM=，如图，连接CD，过点M作MNy轴于点N，则有N（0，），MN=3，C（0，-4），CN=，CM2=CN2+MN2=，在RtODC中，COD=90，CD2=OC2+OD2=25，CM2+CD2=，DM2=，CM2+CD2=DM2，DCM=90，即DCCM，CD是半径，直线CM与D相

23、切，故正确，故选B【关键点拨】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.17抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则其中正确的有A5个 B4个 C3个 D2个【答案】B【解析】对称轴是y轴的右侧，抛物线与y轴交于正半轴，故错误；，故正确；由图象得：时，与抛物线有两个交点，方程有两个不相等的实数根，故正确；抛物线与x轴的一个交点坐

24、标为，抛物线的对称轴是，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确；抛物线的对称轴是，有最大值是，点在该抛物线上，故正确，本题正确的结论有：，4个，故选B【关键点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质18如图，点E在DBC的边DB上，点A在DBC内部，DAE=BAC=90，AD=AE，AB=

25、AC给出下列结论：BD=CE；ABD+ECB=45；BDCE；BE2=2（AD2+AB2）CD2其中正确的是（）A B C D【答案】A【解析】DAE=BAC=90，DAB=EACAD=AE，AB=AC，DABEAC，BD=CE，ABD=ECA，故正确，ABD+ECB=ECA+ECB=ACB=45，故正确，ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=45+45=90，CEB=90，即CEBD，故正确，BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2故正确，故选：A【关键点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质

26、等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题19如图，边长为2的正ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A B C D【答案】B【解析】如图，当0t1时，BE=t，DE=t，s=SBDE=tt=t2；如图，当1t2时，CE=2-t，BG=t-1，DE=（2-t），FG=（t-1），s=S五边形AFGED=SABC-SBGF-SCDE=2-（

27、t-1）（t-1）-（2-t）（2-t）=-t2+3t-；如图，当2t3时，CG=3-t，GF=（3-t），s=SCFG=（3-t）（3-t）=t2-3t+，综上所述，当0t1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1t2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2t3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选B【关键点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力20如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，

28、连接CO并延长交AD于点M则下列结论中：FG=2AO；ODHE；2OE2=AHDE；GO+BH=HC正确结论的个数有（）A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】如图，建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2，可分别得各点坐标，A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E为CD的中点,可得E点坐标（2，1），可得AE的直线方程，由OF为直线AE的中垂线可得O点为，设直线OF的斜率为K，得，可得k=2,同时经过点O(),可得OF的直线方程：，可得OF与x轴、y轴的交点坐标G(,0),H(0,),及F(,2),同理可得：直线CO的方程为：，可得M点坐标（，2），可得：F

29、G=,AO= =,故FG=2AO，故正确；：由O点坐标，D点坐标（2，2），可得OD的方程：，由H点坐标(0,)，E点坐标（2，1），可得HE方程：，由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，故错误；由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,故=，故正确；：由O点坐标，E（2，1），H(0,)，D(2,2),可得：,AH=,DE=1,有2OE2=AHDE，故正确；：由G(,0)，O点坐标，H(0,)，C(2,0),可得：,BH=,HC=,可得：GOBH+HC,故正确的有，故选B.【关键点拨】本题主要考查一次函数与矩形的综合，及点与点之间的距

30、离公式，难度较大，灵活建立直角坐标系是解题的关键.二、填空题21如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，则点的坐标为_【答案】（2，0）【解析】如图，作轴于点C，设，则，点A2在双曲线上，解得，（不符题意舍去），点B2的坐标为；作轴于点D，设B2D=b，则，点A3在双曲线上，解得，（不符题意舍去），点B3的坐标为；同理可得点B4坐标为；以此类推，点Bn的坐标为，点B6的坐标为故答案为【关键点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质等知识. 正确求出、的坐标进而得出点B

31、n的规律是解题的关键22如图，已知MON=120，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM，旋转角为（0120且60），作点A关于直线OM的对称点C，画直线BC交OM于点D，连接AC，AD，有下列结论：AD=CD；ACD的大小随着的变化而变化；当=30时，四边形OADC为菱形；ACD面积的最大值为a2；其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】【解析】A、C关于直线OM对称，OM是AC的垂直平分线，CD=AD，故正确；连接OC，由知：OM是AC的垂直平分线，OC=OA，OA=OB=OC，以O为圆心，以OA为半径作O，交AO的延长线于E，连接B

32、E，则A、B、C都在O上，MON=120，BOE=60，OB=OE，OBE是等边三角形，E=60，A、C、B、E四点共圆，ACD=E=60，故不正确；当=30时，即AOD=COD=30，AOC=60，AOC是等边三角形，OAC=60，OC=OA=AC，由得：CD=AD，CAD=ACD=CDA=60，ACD是等边三角形，AC=AD=CD，OC=OA=AD=CD，四边形OADC为菱形，故正确；CD=AD，ACD=60，ACD是等边三角形，当AC最大时，ACD的面积最大，AC是O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，=90，ACD面积的最大值是：AC2=，故正确，所以本题结论正确的有：

33、，故答案为：【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.23按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，则这个数列前2018个数的和为_【答案】 【解析】由数列知第n个数为，则前2018个数的和为= =1=，故答案为：【关键点拨】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以及得出第n个数为是解题的关键.24如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角

34、边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3依此规律，则点A2018的坐标是_【答案】（0，21009）【解析】OAA1=90，OA=AA1=1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，再以OA2为直角边作等腰RtOA2A3，OA1=，OA2=（）2，OA2018=（）2018，A1、A2、，每8个一循环， 2018=2528+2点A2018的在y轴正半轴上，OA2018=21009，故答案为：（0，21009）.【关键点拨】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号25如图，已知等边OA1B1，顶点A1

35、在双曲线y=（x0）上，点B1的坐标为（2，0）过B1作B1A2OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边B1A2B2；过B2作B2A3B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边B2A3B3；以此类推，则点B6的坐标为_【答案】（2，0）【解析】如图，作A2Cx轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）点A2在双曲线y=（x0）上，（2+a）a=，解得a=1，或a=1（舍去），OB2=OB1+2B1C=2+22=2，点B2的坐标为（2，0）；作A3Dx轴于点D，设B2D=b，则

36、A3D=b，OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）点A3在双曲线y=（x0）上，（2+b）b=，解得b=+，或b=（舍去），OB3=OB2+2B2D=22+2=2，点B3的坐标为（2，0）；同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；，点Bn的坐标为（2，0），点B6的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）【关键点拨】本题考查了规律题，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键26关于x的一元二次方程x22kx+k2k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12x1x2+x22的值是_【答案】4

37、【解析】x22kx+k2k=0的两个实数根分别是x1、x2，x1+x2=2k，x1x2=k2k，x12+x22=4，（x1+x2）2-2x1x2=4，（2k）22（k2k）=4，2k2+2k4=0，k2+k2=0，k=2或1，=（2k）241（k2k）0，k0，k=1，x1x2=k2k=0，x12x1x2+x22=40=4，故答案为：4【关键点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式0”是解题的关键27如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x0）的图象经过点C，反比例函数y=（x0）的图象分别与AD，CD交于点

38、E，F，若SBEF=7，k1+3k2=0，则k1等于_【答案】9【解析】设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（a，0），由图象可知，点C（a，），E（a，），D（a，），k1+3k2=0，k2=k1，F（，），矩形ABCD面积为：2a=2k1，SDEF=，SBCF=，SABE=，SBEF=7，2k1+k2=7，又k2=k1，k1+（）=7，k1=9故答案为：9【关键点拨】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点B坐标继而表示出相关各点，应用面积的割补法构造方程28如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，过点作轴交双曲线于点，连接，则的面积为_【

39、答案】7【解析】如图，过D作GHx轴，过A作AGGH，过B作BMHC于M，设D（x，），四边形ABCD是正方形，AD=CD=BC，ADC=DCB=90，易得AGDDHCCMB，AG=DH=-x-1，DG=BM，1-=-1-x-，x=-2，D（-2，-3），CH=DG=BM=1-=4，AG=DH=-1-x=1，点E的纵坐标为-4，当y=-4时，x=-，E（-，-4），EH=2-=，CE=CH-HE=4-=，SCEB=CEBM=4=7.故答案为：7【关键点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填

40、空题的压轴题29如图，在直角ABC中，C=90，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，则AQ =_【答案】或【解析】如图1中，当AQ=PQ，QPB=90时，设AQ=PQ=x，PQAC，BPQBCA，x=，AQ=当AQ=PQ，PQB=90时，如图2，设AQ=PQ=yBQPBCA，y=综上所述，满足条件的AQ的值为或【关键点拨】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题30如图在ABC中，ACB=60，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC

41、上一点若DE平分ABC的周长，则DE的长是_【答案】 【解析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CNAM于N，DE平分ABC的周长， AD=DB，BE=CE+AC，ME=EB，又AD=DB，DE=AM，DEAM，ACB=60，ACM=120，CM=CA，ACN=60，AN=MN，AN=ACsinACN=，AM=，DE=，故答案为：【关键点拨】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键31如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BDCD，过点A作AMBD于点M，过点D作DNAB于点N，且DN，在DB的延长线上取一点P

42、，满足ABDMAPPAB，则AP_.【答案】6【解析】BD=CD，AB=CD，BD=BA，又AMBD，DNAB，DN=AM=3，又ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP，P=PAM，APM是等腰直角三角形，AP=AM=6，故答案为：6【关键点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定APM是等腰直角三角形32如图，点 C 为 RtACB 与 RtDCE 的公共点，ACB=DCE=90，连 接 AD、BE，过点 C 作 CFAD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为_ 【答案】【解析】如

43、图，过 E作 EHGF于 H，过 B 作 BPGF于P，则EHG=BPG=90，又EGH=BGP，EHGBPG，=，CFAD，DFC=AFC=90，DFC=CHF，AFC=CPB， 又ACB=DCE=90，CDF=ECH，FAC=PCB，DCFCEH，ACFCBP，EH=CF，BP=CF，=，=， 故答案为：【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推导是解题的关键.33如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x0）与正比例函数y=kx、 （k1）的图象分别交于点A、B，若AOB45，则AOB的面积是_.【答案】2【解析】如图：作

44、BDx轴，ACy轴，OHAB，设A（x1，y1），B（x2 ， y2），A、B在反比例函数上，x1y1=x2y2=2，解得：x1=，又，解得：x2=，x1x2=2，y1=x2， y2=x1， 即OC=OD，AC=BD，BDx轴，ACy轴，ACO=BDO=90，ACOBDO（SAS），AO=BO，AOC=BOD，又AOB45，OHAB，AOC=BOD=AOH=BOH=22.5，ACOBDOAHOBHO，SABO=SAHO+SBHO=SACO+SBDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2，故答案为：2.【关键点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的

45、判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.34如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是_【答案】【解析】如图，在正方形ABCD中，在和中，在和中，取AD的中点O，连接OF、OC，则，在中，根据三角形的三边关系，当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值，故答案为：【关键点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键35设是一列正整数，其中表示第一个数

46、，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，则_.【答案】4035【解析】，an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，an+1-an=2或an=-an+1，又是一列正整数，an=-an+1不符合题意，舍去，an+1-an=2，又a1=1，a2=3，a3=5，an=2n-1，a2018=22018-1=4035，故答案为：4035.【关键点拨】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.36如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60，过点D（6,0)作DAOM于点A，作线段 OD的垂直平分线BE交x轴于点

47、E,交AD于点B,作射线OB.以AB为边在AOB的外侧作正方形ABCA1,延长A1C交射线OB于点B1,以A1B1为边在A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2,延长A2C1交射线OB于点B2,以A2B2为边在A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为_.【答案】【解析】由题意：正方形ABCA1的边长为，正方形A1B1C1A2的边长为（1+）+1，正方形A2B2C2A3的边长为（1+）2，正方形A3B3C3A4的边长为（1+）3，由此规律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的边长为（1+）2017正方形A2

48、017B2017C2017A2018的周长为：4（1+）2017故答案为：4（1+）2017【关键点拨】本题考查规律型问题、解直角三角形、点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，根据获取的规律解决问题37如图，平面直角坐标系中是原点， 的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：是的中点；与相似；四边形的面积是；其中正确的结论是 _（填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】如图，分别过点A、B作 于点N， 轴于点M，在 中， ， 是线段AB的三等分点， ， ， ， 是OA的中点，故正确； ，不是菱形，故 和 不相似，故错误；由得，点G是AB的中点， 是 的中位

49、线， 是OB的三等分点， ， ，四边形 是梯形， ，故正确； ,故错误，综上：正确，故答案为：.【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形的中位线等，正确添加辅助线是解题的关键.38如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H给出下列结论：ABEDCF；DP2=PHPB；其中正确的是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】BPC是等边三角形，BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60，在正方形ABCD中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90，ABE=DCF=30，在ABE与CDF中

50、，A=ADC，ABE=DCF，AB=CD，ABEDCF，故正确；PC=CD，PCD=30，PDC=75，FDP=15，DBC=45，PBD=15，FDP=PBD，DFP=BPC=60，DFPBPH，故错误；PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD，PB=CD，故正确；如图，过P作PMCD，PNBC，设正方形ABCD的边长是4，BPC为正三角形，PBC=PCB=60，PB=PC=BC=CD=4，PCD=30PN=PBsin60=4=，PM=PCsin30=2，SBPD=S四边形PBCDSBCD=SPBC+SPDCSBCD=，故答案为：39如图，在菱形ABCD中，ABC=60，AB=2，

51、点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 【答案】【解析】如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P此时PBC是等腰三角形，线段PD最短，四边形ABCD是菱形，ABC=60，AB=BC=CD=AD，ABC=ADC=60，ABC，ADC是等边三角形，BO=DO=2=，BD=2BO=，PD最小值=BDBP=故答案为：40如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，

52、OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；，按此作法进行下去，则点An的坐标为（_）【答案】2n1，0【解析】直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1x轴，当x=1时，y=，即B1（1，），tanA1OB1=，A1OB1=60，A1B1O=30，OB1=2OA1=2，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），点An的坐标为（2n1，0），故答案为：2n1，0【关键点拨】本题考查了规律题点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征等，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30的直角三角形的特点依次得到A1、A2

53、、A3的点的坐标是解决本题的关键三、解答题41如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当AMN为直角三角形时，求t的值【答案】（1）；（2）BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当AMN为直角三角形时，t的值为1或4【解析】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为（2）为直角三角形，理由如下：，顶点的坐标为当时，点的坐标为点的坐标为，为直角三

54、角形（3）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，为直角三角形，分三种情况考虑：当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，该方程无解（或解均为增解）综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待

55、定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分MAN=90、AMN=90及ANM=90三种情况考虑42如图，四边形中，以为直径的经过点，连接、交于点（1）证明：；（2）若，证明：与相切；（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）连接OC.在OAD和OCD中，OADOCD（SSS），ADOCDO，又ADCD，DEACAB为O的直径，ACB90，ACB90，即BCAC，ODBC；（2）tanABC2，设BCa、则AC2a，ADABOEBC，且AOBO，OEBCa，

56、AECEACa在AED中，DE2a在AOD中，AO2+AD2（）2+（a）2a2，OD2（OE+DE）2（a+2a）2a2，AO2+AD2OD2，OAD90，DA与O相切；（3）连接AFAB是O的直径，AFDBAD90ADFBDA，AFDBAD，即DFBDAD2又AEDOAD90，ADEODA，AEDOAD，即ODDEAD2，由可得DFBDODDE，即又EDFBDO，EDFBDOBC1，ABAD、OD、ED2、BD、OB，即，解得：EF【关键点拨】本题主要考查圆的综合知识. 解题的关键是在圆中综合运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识进行推理

57、证明43已知在RtABC中，BAC90，CD为ACB的平分线，将ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B处，连结AB，BB，延长CD交BB于点E，设ABC2（045） （1）如图1，若ABAC，求证：CD2BE；（2）如图2，若ABAC，试求CD与BE的数量关系（用含的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（+45），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设COE的面积为S1，COF的面积为S2，求（用含的式子表示）【答案】（1）证明见解析；（2）CD2BEtan2；（3）sin（45）【解析】 (1)如图1中，B、B关于EC对称，BBEC，BEEB，DEBDAC90

58、，EDBADC，DBEACD，ABAC，BABDAC90，BABCAD，CDBB2BE；(2)如图2中，结论：CD2BEtan2，理由：由(1)可知：ABBACD，BABCAD90，BABCAD，CD2BEtan2；(3)如图 3中在RtABC中，ACB902，EC平分ACB，ECB(902)45，BCF45+，ECF45+45+90，BEC+ECF180，BBCF，sin(45)，sin(45)【关键点拨】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.4

59、4综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形ABCD所在平面内，BC和AD相交于点E，连接BD解决问题(1)在图1中，BD和AC的位置关系为；将AEC剪下后展开，得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平

60、行四边形时(ABBC)，如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中，若B=30，AB=4，当ABD恰好为直角三角形时，BC的长度为【答案】(1)BD/AC，菱形；(2)见解析；(3)1：1或：1；(4)4或6或8或12.【解析】 (1)将剪下后展开，得到的图形是菱形；故答案为，菱形；(2)选择证明如下：四边形是平行四边形，将沿翻折至，是等腰三角形；将剪下后展开，得到的图形四边相等，将剪下