数学分析华东师大第九章定积分

1、WORD54/54WORD第 九 章 定 积分1 定积分概念一 问题提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆 运算,定积分则是某种特殊和式的极限,它们之间既有区别又有联系.现在先从 两个例子来看定积分概念是怎样提出来的.1.曲边梯形的面积设f为闭区间a,b上的连续函数,且f(x)0. 由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以与x轴所围成的平面图形(图9-1),称 为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积(这是求任何曲线边界图形面积的基础) .图 9 -1图 9 - 2在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增多的接(或外切)正多边形 面积的极限来定义的 .现在我们仍用类似的

2、办法来定义曲边梯形的面积.在区间 a , b 任取 n - 1 个分点, 它们依次为a=x0 x1 x2 xn -1 x n = b,这些点把 a , b 分割成 n 个小区间 xi - 1 , xi , i = 1 , 2, n .再用 直线 x =xi, i = 1 ,2, n - 1把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形 ( 图 9 - 2 ).在每个小区间xi - 1 , xi上任取一点i ,作以f(i)为高, xi - 1 , xi为底的 小矩形.当分割a,b的分点较多,又分割得较细密时,由于f为连续函数,它在 每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边1 定积

3、分概念201梯形的面积 .于是, 这 n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积 S 的近似 值, 即nS i = 1f(i)xi (xi =xi -xi-1) .(1)注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间a,b的分割,又与所有中间点i (i=1,2,n)的取法有关.可以想象,当分点无限增多,且对a,b无限细分 时,如果此和式与某一常数无限接近,而且与分点xi 和中间点i 的选取无关,则 就把此常数定义作为曲边梯形的面积 S.2 . 变力所作的功设质点受力 F 的作 用沿x 轴由点a 移动到点b, 并设 F 处处平行 于 x 轴( 图9-3 ).如果 F 为常力, 则它对质点所作的功为 W

4、= F( b - a) .现在的问题是,图 9 - 3F 为变力, 它连续依赖于质点所在位置的坐标 x , 即 F =F( x) ,x a , b为一 连续函数, 此时 F 对质点所作的功W 又该如何计算?由假设F(x)为一连续函数,故在很小的一段位移区间上F(x)可以近似 地看作一常量.类似于求曲边梯形面积那样,把a,b细分为n个小区间 xi - 1 , xi,xi = xi - xi - 1 , i=1,2, , n;并在每个小区间上任取一点i ,就有F( x) F(i ), xxi-1 , xi , i = 1,2, n .于是,质点从xi - 1 位移到xi 时,力F所作的功就近似等于

5、F(i)xi,从而nWF(i)xi .(2)i = 1同样地, 对 a , b作无限细分时, 若(2 ) 式右边的和式与某一常数无限接近,则就把此常数定义作为变力所作的功 W .上面两个例子,一个是计算曲边梯形面积的几何问题,另一个是求变力作功 的力学问题,它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.在科学技术中还有许 多同样类型的数学问题,解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割,近似求 和,取极限”.这就是产生定积分概念的背景.二 定积分的定义定义1 设闭区间 a, b有 n -1 个点, 依次为a=x0 x1 x2 xn -1 x n = b,它们把 a , b 分成 n 个小区间 i =

6、xi - 1 , xi , i = 1 , 2, n .这些分点或这些 闭子区间构成对a,b的一个分割,记为T= x0 , x1 , xn或1 ,2 ,n .小区间i 的长度为xi =x i - xi - 1 , 并记202第九章 定 积 分称为分割 T 的模 . T = max xi ,1 i n注由于xiT,i=1,2,n,因此T可用来反映a,b被分 割的细密程度.另外,分割T一旦给出,T就随之而确定;但是,具有同一细 度T 的分割 T 却有无限多个.定义2 设 f 是定义在 a , b 上的一个函数 .对于 a , b 的一个分割T =1 ,2 ,n,任取点ii , i=1,2, n,并

7、作和式ni = 1f(i)xi .称此和式为函数 f 在 a , b上的一个积分和, 也称黎曼和 .显然,积分和既与分割T有关,又与所选取的点集i有关.定义3设 f是定义在 a , b 上的一个函数, J 是一个确定的实数 .若对任 给的正数, 总存在某一正数, 使得对 a , b的任何分割 T , 以与在其上任意选 取的点集i , 只要T , 就有ni = 1f(i)xi - J ,则称函数 f 在区间 a , b上可积或黎曼可积; 数 J 称为 f在 a , b 上的定积分或黎曼积分, 记作bJ=f ( x) d x.(3)a其中,f 称为被积函数,x 称为积分变量, a , b 称为积分

8、区间, a、b 分别称为这 个定积分的下限和上限 .以上定义1 至定义3 是定积分抽象概念的完整叙述 .下面是与定积分概念 有关的几点补充注释 .注1把定积分定义的- 说法和函数极限的- 说法相对照, 便会发 现两者有相似的述方式, 因此我们也常用极限符号来表达定积分, 即把它写作J=lim T 0ni = 1bf(i)xi =f( x)dx .(4)a然而, 积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别: 在函数极限limx af ( x) 中, 对每一个极限变量 x 来说, f ( x ) 的值是唯一确定的; 而对于积分和的极限而言, 每一个T并不唯一对应积分和的一个值 .这使得积分和的

9、极限 要比通常的函数极限复杂得多 .注2可积性是函数的又一分析性质 .稍后( 定理9 .3) 就会知道连续函数是 可积的, 于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示:1) 连 续曲线y=f(x) 0 在a,b 上形成的曲边梯形面积为1 定积分概念203bS=f ( x ) dx;a2)在连续变力F(x)作用下,质点从a位移到b所作的功为W=bF( x )d x.a注3 (定积分的几何意义) 由上述 1)看到,对于a,b上的连续函数f,当 f(x)0,xa,b时,定积分(3)的几何 意义就是该曲边梯形的面积;当f(x)0,bxa,b时,这时J =-f ( x) dxa是位于x轴下方的曲边梯形面

10、积的相反图 9 - 4数,不妨称之为“负面积”;对于一般非定号的f( x)而言(图9 -4),定积分J的 值则是曲线y=f(x)在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有 曲边梯形的负面积的代数和.注4 定积分作为积分和的极限, 它的值只与被积函数 f 和积分区间 a, b有关, 而与积分变量所用的符号无关, 即bbbf( x)dx =f(t)dt =f()d=.aaa例1 求在区间 0 , 1 上, 以抛物线 y = x2 为曲边的曲边三角形的面积( 图 9 - 5) . 解 由注3 , 因 y = x2 在 0 , 1 上连续, 故所 求面积为1S =x2 d x =limnii2x

11、.0T0i = 1为求得此极限, 在定积分存在的前提下, 允许选 择某种特殊的分割 T和特殊的点集i .在此只 需取等分分割:T = 0 , 1, 2, n - 1 , 1 , T = 1;n i - 1nn i - 1 in图 9 -5并取i =nn, n, i=1,2, n .则有2nS = lim i -11= lim 1 n( i - 1) 2n i=1nnn 3 i = 1n= limn ( n - 1) n (2 n - 1)16n3=3 .204第九章 定 积 分习 题1 .按定积分定义证明:bkd x = k( b - a) .a2 . 通过对积分区间作等分分割, 并取适当的点

12、集i , 把定积分看作是对应的积分和的 极限, 来计算下列定积分:(1)n1x3 d x; 提示 : i3 = 1 n2 ( n + 1 )20i=141b(2)ex d x; (3 )0bex d x;a(4)d x (0 a 0 , 要证存在 0 , 当 T 时, 有ni = 1f(i)xi - F(b) -F(a)0,存在 0,当x、2 牛顿莱布尼茨公式205xa,b且|x- x|时,有f( x) -f( x) .b-a于是,当xiT时,任取ixi - 1 , xi,便有|i -i |,这就证得ni = 1f(i)xi - F(b) -F(a)n=f(i) -f(i)xii = 1ni

13、= 1f(i) -f(i) xib -a nx= .ii = 1所以 f 在 a , b上可积, 且有公式(1 ) 成立 .注 1在应用牛顿莱布尼茨公式时 , F( x ) 可由积分法求得 .注2 定理条件尚可适当减弱, 例如:1)对 F 的要求可减弱为: 在 a , b 上连续, 在( a , b) 可导, 且 F( x ) =f ( x) , x( a , b) .这不影响定理的证明 .2)对 f 的要求可减弱为: 在 a,b 上可积( 不一定连续) .这时( 2 ) 式仍成b立,且由f在a,b上可积,(2)式右边当T0时的极限就是f ( x ) d x,a而左边恒为一常数 .( 更一般的

14、情形参见本节习题第 3 题.)注3至5 证得连续函数必有原函数之后, 本定理的条件中对 F 的假设 便是多余的了 .例 1 利用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分:b1)2)xn d x( n 为正整数) ;abe x d x; 3 )ad x (0 a M + G.xkni = 1f(i)xif(k)xk-f(i)xii k M + Gxk -G=M.xk由此可见,对于无论多小的T,按上述方法选取点集i 时,总能使积分和 的绝对值大于任何预先给出的正数,这与f在a,b上可积相矛盾.208第九章 定 积 分这个定理指出, 任何可积函数一定是有界的; 但要注意, 有界函数却不一定 可积 .例 1 证

15、明狄利克雷函数在0,1上有界但不可积.D( x) =1,x 为有理数,0,x为无理数证 显然 | D( x ) | 1 , x0 , 1 .对于0 , 1 的任一分割 T , 由有理数和无理数在实数中的稠密性, 在属于 Tnn的任一小区间i 上,当取i 全为有理数时, D(i)xi = xi = 1;当取i = 1ni = 1i 全为无理数时,D(i)xi = 0 .所以不论T多么小,只要点集i 取i = 1法不同( 全取有理数或全取无理数) , 积分和有不同极限, 即 D( x) 在 0 , 1 上不 可积 .由此例可见,有界是可积的必要条件.所以在以后讨论函数的可积性时,总 是首先假设函数

16、是有界的,今后不再一一申明.二 可积的充要条件要判断一个函数是否可积,固然可以根据定义,直接考察积分和是否能无限 接近某一常数,但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知,因此这是极其困难 的.下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉与定积分的值.设 T = i | i = 1 , 2 , , n为对 a , b的任一分割 .由 f 在 a , b上有界, 它 在每个i 上存在上、下确界:Mi = sup f ( x) ,mi =inf f ( x ) , i = 1 ,2, n.x i作和x inS( T ) = i = 1nMi xi , s( T) = i = 1mixi ,分别称

17、为f关于分割T的上和与下和(或称达布上和与达布下和,统称达布 和) .任给ii , i=1,2, n,显然有ns( T ) i = 1f(i)xi S( T) .(1)与积分和相比较,达布和只与分割T有关,而与点集i无关.由不等式(1),就 能通过讨论上和与下和当T0时的极限来揭示f在a,b上是否可积.所 以,可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的.定理9.3 ( 可积准则) 函数 f在 a , b上可积的充要条件是: 任给 0 ,3 可 积 条件209总存在相应的一个分割 T , 使得S( T ) - s( T) 0 , 总存在相应 的某一分割 T , 使得ixi 0,存在0,对a, b

18、中任意两点x、x,只要|x- x|,便有f( x) -f( x) .b-a所以只要对 a , b 所作的分割 T满足T 0,取满足0 2 ( M - m) b - a , 其中 M 与 m 分别为 f 在 a , b上的上确界与下确界( 设 m M , 否则 f 为常量函数, 显然可积) .记 f在 小区间= b - , b上的振幅为 , 则 ( M -m) 2 (M -m)= .2因为f在a,b-上连续,由定理9 .3 知f 在a,b-上可积.再由定 理9 .2(必要性),存在对a,b-的某个分割T= 1 ,2 ,n - 1 ,使得2ixi .T令n =,则T=1 ,2 ,n - 1 ,n是

19、对a,b的一个分割,对于T,有ixi = ixi + 2 + 2= .TT根据定理9 .2(充分性),证得f在a,b上可积.定理9.6 若 f是 a , b 上的单调函数, 则 f在 a , b 上可积 .证 设 f 为增函数, 且 f ( a ) 0,只要T ,这时就有f ( b) - f ( a )ixi ,T所以 f 在 a , b上可积 .注意, 单调函数即使有无限多个间断点, 仍不失其可积性 .例 2 试用两种方法证明函数0,x = 0,f (x)=1n , 1n + 1 0 , 由于 lim 1 = 0 , 因此当 n 充分大时 1 , 这n nn2说明f 在,1 上只有有限个间断

20、点.利用定理29 .4和定理9 .2推知f 在,1上可积,且存在对2图 9 - 82 ,1的某一分割T,使得2ixi .T再把小区间 0 , 2与T合并,成为对0,1的一个分割T.由于f 在0,上2的振幅0 1 , 因此得到ixi = 0 2 +ixi p ,在区间0,1上可积,且0,x = 0 , 1 以与(0 , 1 ) 的无理数1f ( x) d x = 0 .0分析已知黎曼函数在x=0,1以 与一切无理点处连续,而在(0,1)的一 切有理点处间断.证明它在0,1上可积 的直观构思如下:如图9-9所示,在黎曼函数的图象中画一条水平直线 y = .在2图 9 - 9此直线上方只有函数图象中

21、有限个点, 这些点所对应的自变量可被含于属于分割 T 的有限个小区间中, 当 T 足够小212第九章 定 积 分时, 这有限个小区间的总长可为任意小; 而 T 中其余小区间上函数的振幅不大T于2 ,把这两部分相合,便可证得ixi 0 , 在0 , 1 使得 1 的有理点 p 只有有限个, 设它们为q2qr1 , , rk .现对0,1作分割T= 1 ,2 , ,n,使T2k,并把T中所有小区间分为i |i=1,2, , m和i |i=1,2, , n - m两类.其中i 为 含有ri|i=1,2,k中点的所有小区间,这类小区间的个数m2k(当所有 ri 恰好都是T的分割点时才有m=2k);而i

22、为T中所有其余不含 ri中点的小区间.由于f在i 上的振幅i 12, 于是mixi 1m22xi 12kT;2i = 1i = 1而f在i 上的振幅i2 ,于是n - mn - mixi i = 1把这两部分合起来, 便证得xi .22i = 1nmn - mixi = ixi +ixi 0,存在a0 , 当T时,ni = 1从而f(i )xi - J| k | ,即 k f 在 a , b上可积, 且bni = 1kf(i)xi -kJ 0 , B 0 ( 否则 f 、g 中至少有一个恒为零值函数, 于是fg亦为零值函 数, 结论显然成立) .任给0,由f、g 可积,必分别存在分割T、T,使

23、得214第九章 定 积 分fii xi T, gxi2BT 2 A .令 T= T+ T( 表示把 T、T的所有分割点合并而成的一个新的分割 T) .对于 a , b 上 T 所属的每一个i , 有f gi=supx, xisupx, xif( x)g( x) -f( x)g( x)g( x) f( x) -f( x)+f( x) g( x) -g( x)ii Bf + Ag .利用3 习题第1 题, 可知fgfgixiBixi + AixiTTTiiiigxTT0,分别存在 对a,c与c, b的分割T与T,使得ixi T2, ixi .T2现令T= T+ T,它是对a, b的一个分割,且有i

24、xi = ixi +ixi 0 , 存在对 a , b 的某分割*T,使得ixi .在T上再增加一个分点c,得到一个新的分割T.由 3T习题第1题,又有i xiixi .T*T分割 T * 在 a, c 和 c, b 上的部分, 分别构成对 a , c和 c, b 的分割, 记 为 T和 T, 则有4 定积分的性质215ixi iix* ,TT*ixi iix* .TT*这就证得 f 在 a , b与 b, c 上都可积 .在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对a,b作分割T,恒 使点c为其中的一个分点,这时T在a,c与c,b上的部分各自构成对a,c 与c, b的分割,分别记为T与

25、T.由于f(i)xi = f(i )xi +f(i )xi ,TTT因此当T0(同时有T0,T0)时,对上式取极限,就得到(3)式成立 .性质4与公式(3)称为关于积分区间的 可加性.当f(x)0时,(3)式的几何意义就 是曲边梯形面积的可加性.如图9-10所示, 曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC 的面积与 CcbB 的面积之和.b按定积分的定义,记号f ( x )d x 只有当aa b 时 本来 是没有意义的.但为了运用上的方便,对它作如下规定:a规定 1 当 a = b 时,令f ( x ) d x =0;a图 9 - 10ba规定2当a b 时,令f( x)dx = -f( x

26、)dx .ab有了这个规定之后, 等式( 3) 对于 a、b、c 的任何大小顺序都能成立 .例如,当 a b 0,存在某分割T,使得fx .由绝对值不等式Tf( x)-f( x)f(x) -f( x),可得| f|fii ,于是有| f|fixi ixi .TT从而证得|f | 在 a, b 上可积 .再由不等式 - |f ( x ) | f ( x) |f ( x ) | , 应用性质5 ( 推论) , 即证得不等式(6 ) 成立.注意 这个性质的逆命题一般不成立, 例如1,x 为有理数,f ( x ) =- 1,x为无理数在0 , 1 上不可积( 类似于狄利克雷函数) ; 但|f ( x

27、) | 1 , 它在0 , 1 上可积 .1例 1 求- 1f ( x) d x ,其中f ( x) =2 x - 1,- 1 x 0 , 则由连续函数的局部保 号性, 存在 x0 的某邻域( x0 - , x0 + ) ( 当 x0 =a 或 x0 =b 时, 则为右邻域或 f( x0 )左邻域) , 使在其中 f ( x)2 0 .由性质 4 和性质 5推知bx -x +bf( x)dx=0f( x)dx+0f( x)dx+f ( x ) d xaax -0 x + 0 x + 0+0 x - 0f( x0 )2d x +0=f ( x0) 0 ,b这与假设f ( x ) d x = 0

28、相矛盾 .所以 f ( x ) 0 , x a , b.a注从此例证明中看到 , 即使 f 为一非负可积函数 , 只要它在某一点 x0 处b连续 , 且 f ( x0 ) 0,则必有f ( x) d x 0 . ( 至于可积函数必有连续点 ,这是一a个较难证明的命题, 读者可参阅6 习题第7 题 .)二 积分中值定理定理9.7 ( 积分第一中值定理) 若 f在 a , b 上连续, 则至少存在一点 a , b , 使得bf ( x ) dx =f () (b-a).(7)a证 由于 f 在 a , b 上连续 , 因此存在最大值 M 和最小值 m .由m f ( x) M , x a, b ,

29、使用积分不等式性质得到bm (b-a)f ( x) d x M (b-a),a218第九章 定 积 分或m 1bf ( x ) d x M .b - a a再由连续函数的介值性, 至少存在一点 a , b , 使得bf() = 1f(x)dx,(7)这就证得(7)式成立.b - a a积分第一中值定理的几何意义如图 9 -11所示,若f在a,b上非负连续,则y=f(x) 在a, b上的曲边梯形面积等于以(7)所示的 f() 为高, a, b为底的矩形面积.而 1bb - af ( x) d x 则可理解为 f (x ) 在区间 a,a图 9 - 11b 上所有函数值的平均值 .这是通常有限个数

30、的算术平均值的推广 .例 3 试求 f ( x) = sin x 在 0 , 上的平均值.解 所求平均值为f () = 1sin x d x = - 1 cos x= 2 .00定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理) 若f与 g 都在 a ,b 上连续, 且g( x) 在 a , b 上不变号, 则至少存在一点 a , b , 使得bf ( x) g( x) dx =f()a( 当 g( x ) 1 时, 即为定理9 .6 .)证 不妨设 g( x) 0 , x a , b .这时有bg( x) dx.(8)amg( x ) f ( x) g( x) Mg( x) , x a , b ,其中

31、M、m分别为f在a, b上的最大、最小值.由定积分的不等式性质,得到bbbmg(x)dxf( x)g( x)dxMg( x)dx .aaabb若g( x)dx = 0,则由上式知f(x)g(x)dx = 0,从而对任何a, b ,(8)aab式都成立.若g( x) d x 0 ,则得abf ( x) g( x) d xambg( x ) d xa M .4 定积分的性质219由连续函数的介值性, 必至少有一点 a , b , 使得bf ( x) g( x) d xa这就证得(8)式成立.f () =b,g( x ) d xa注 事实上, 定理9 .7 和定理9 .8 中的中值点必能在开区间(

32、a, b) 取 得( 证明留作习题) .积分第二中值定理将在下一节里给出 .习 题1. 证明: 若 f 与 g 都在 a , b 上可积, 则nblim f(i) g(i )xi =f( x) g(x)dx, T0 i=1a其中i ,i 是T所属小区间i 中的任意两点,i=1,2,n.2. 不求出定积分的值, 比较下列各对定积分的大小:(1)(2)11xdx与x2 dx;002 x d x 与 2 sin x d x .003 . 证明下列不等式:( 1)22 dx01 - 1 sin2 x212 ;2( 2)1ex01d x e ;( 3) 1 sin x d x ;0 x24 e( 4)

33、3 e eln x d x 0 .a5. 设 f 与 g 都在 a , b上可积, 证明M( x)=maxx a, b f ( x) , g( x ) , m( x)=minx a, b f ( x) , g( x ) 在 a , b 上也都可积 .6 . 试求心形线 r = a( 1 + cos ) , 02上各点极径的平均值 .7. 设 f 在 a , b 上可积, 且在 a , b上满足| f ( x) | m 0.证明 1 在 a , b上也可积 .f8 . 进一步证明积分第一中值定理( 包括定理 9 .7 和定理 9 .8) 中的中值点 ( a , b).220第九章 定 积 分9.

34、 证明: 若 f 与 g 都在 a , b 上可积, 且 g( x) 在 a , b 上不变号,M、m 分别为f ( x) 在a,b上的上、下确界,则必存在某实数( mM),使得bbf( x) g(x)dx = g( x)dx .aabb10.证明:若f在a,b上连续,且f( x)dx=xf( x)dx = 0,则在(a,b)至少存在aab两点x1 、x2 ,使f( x1 ) = f( x2 ) = 0.又若x2 f( x)dx = 0,这时f在(a,b)是否至少有三a个零点?11.设f在a,b上二阶可导,且f( x)0 .证明:(1) fa + b 1bf ( x) d x;2b - a a

35、(2 ) 又若 f ( x )0 , x a , b , 则又有f ( x) 2bf ( x) d x , x a , b .12 . 证明:b - a a(1 ) ln(1 + n) 1 + 1 + 1 0 时有x +x| | =xx + xf ( t ) d tx|f ( t) | d t Mx;当x 0 , 这时(5) 式即为F() =f(t)dt = 1bf( x) g(x)dx .(5)a所以问题转化为只须证明m 1g( a)g(a) abf ( x ) g( x) d x M,(7)a因为由此可借助F的介值性立刻证得(5) .当然(7)式又等同于下面就来证明这个不等式 .bmg(

36、a)f( x) g(x)dxMg( a),(7)a由条件f有界,设|f(x)|L,xa,b;而g必为可积,从而对任给的0,必有分割 T : a = x0 x1 xn = b,使gixi L .Tb现把I=f ( x) g( x) d x按积分区间可加性写成anxI= if ( x) g( x )d xi= 1xi - 15 微积分学基本定理定积分计算( 续)223nxnx= i g( x) - g( x)f( x)dx+g(x)if ( x )d xi= 1xi -1i - 1i = 1i - 1xi - 1= I1 + I2 . 对于 I1 , 必有nxiI1g( x ) - g( xi -

37、 1) f ( x ) dxi= 1xi - 1nLgx LL= .iii= 1 对于 I2 , 由于 F( x0 ) = F( a) = 0 , 和x ixi - 1xf ( x) dx=i f ( x) d x -axi - 1f ( x )d xa= F( xi ) - F( xi - 1 ) ,可得nI2 = g( xi - 1 ) F( xi ) - F( xi - 1 ) i = 1= g( x0 ) F( x1 ) - F( x0 ) + g( xn - 1 ) F( xn ) - F( xn - 1 ) = F( x1 ) g( x0 ) - g( x1 )+ F( xn -

38、1 ) g( xn - 2 ) - g( xn - 1 )+ F( xn ) g( xn - 1 )n - 1= F( xi ) g( xi - 1 ) - g( xi ) + F( b) g( xn - 1 ) .i = 1再由 g( x)0 且减 , 使得其中 g( xn - 1 ) 0 , g( xi - 1 ) - g( xi ) 0 , i = 1 ,2, n -1.于是利用F( xi ) M , i = 1 , 2, n估计得n - 1I2 M g( xi - 1 ) - g( xi ) + Mg( xn - 1 )i = 1= Mg( a) .同理由 F( xi ) m , i

39、= 1 , 2, n 又有 I2 mg( a).综合 I = I1 + I2 , | I1 | , mg( a) I2 Mg( a) , 得到- + mg( a) I Mg( a) + .由为任意小正数, 这便证得mg( a) I Mg( a),即不等式(7)成立.随之又有(7),(5)和(5)式成立.推论 设函数 f 在 a , b 上可积 .若 g 为单调函数, 则存在 a , b , 使得bf ( x ) g( x ) d x = g( a)af ( x ) d x + g(b)abf ( x ) dx.(8)证若 g 为单调递减函数, 令 h( x ) = g( x ) - g ( b

40、) , 则 h 为非负、递减函 数 .由定理9 .11( i ) , 存在 a , b , 使得224第九章 定 积 分bf ( x ) h( x ) d x = h( a)af ( x ) d xa= g(a) -g(b)f ( x) d x .abbb由于f( x)h( x)dx =f(x)g(x)dx -g(b)f(x)dx ,因此证得aaabbaf( x)g( x)dx= g(b)f ( x) d x + g(a) -g( b)af ( x ) d xa= g(a)f ( x ) + g( b)abf ( x) d x .若 g 为单调递增函数, 只须令 h( x) = g ( x )

41、 - g( a ) , 并由定理 9 .11 ( ii ) 和(6 ) , 同样可证得(8 ) 式成立 .积分第二中值定理以与它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具 .二 换元积分法与分部积分法对原函数的存在性有了正确的认识, 就能顺利地把不定积分的换元积分法 和分部积分法移植到定积分计算中来 .定理9.12 ( 定积分换元积分法) 若函数 f在 a , b 上连续, 在, 上连续可微, 且满足() = a , () = b, a ( t ) b, t , ,则有定积分换元公式:bf( x)dx =f( t)( t)dt .(9)a证 由于(9 ) 式两边的被积函数都是连续函数, 因此它们

42、的原函数都存在 .设 F 是 f 在 a , b上的一个原函数, 由复合函数微分法 ddtF(t) = F( t)( t) =f(t)(t),可见F(t)是f( t)( t)的一个原函数.根据牛顿莱布尼茨公式,证得f(t)(t)dt= F() -F()b= F(b) -F( a) =f ( x) d x.a从以上证明看到,在用换元法计算定积分时,一旦得到了用新变量表示的原 函数后,不必作变量还原,而只要用新的积分限代入并求其差值就可以了.这就 是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别,这一区别的原因在于不定 积分所求的是被积函数的原函数,理应保留与原来一样的自变量;而定积分的计 算结果是一

43、个确定的数,如果(9)式一边的定积分计算出来了,那么另一边的定5 微积分学基本定理定积分计算( 续)225积分自然也求得了 .注 如果在定理9.11 的条件中只假定 f 为可积函数, 但还要求是单调 的, 那么( 9) 式仍然成立 .( 本节习题第14 题 .)1例1 计算1 -x2 d x .0解 令x=sin t,当t由0变到时, x由0增到1,故取, =0,.22应用公式(9 ) , 并注意到在第一象限中cos t0 , 则有11 -x2 dx=200= 12= 41 - sin2 tcos tdt=2 cos2 tdt02 1 12(1 + cos2 t ) d t =t02+ 2 s

44、in2 t0.例2 计算2 sin tcos2 td t.0解 逆向使用公式(9 ) , 令 x = cos t , d x = - sin td t , 当 t 由 0 变到时,x2由1 减到0 , 则有012 sin tcos2 tdt = -x2dx =x2dx = 1.01031 例 3 计算 J =ln (1 + x) d x .01 + x2解 令x =tan t , 当 t从 0 变到时, x 从 0 增到 1 .于是由公式( 9 ) 与4d t = d x 得到1 + x2J=4 ln(1+ tan t)dt =4 ln cost +sin tdt00cos t2cos-t=4

45、 ln 4dt0cos t=4 ln2dt+4 ln cos-t dt -4 ln costdt .0040对最末第二个定积分作变换 u = - t , 有404 ln cos-t dt =lncosu(- du) =4 ln cosudu,0440226第九章 定 积 分它与上面第三个定积分相消 .故得J =4 ln2dt = ln2 .08事实上, 例3 中的被积函数的原函数虽然存在, 但难以用初等函数来表示, 因此无法直接使用牛顿莱布尼茨公式 .可是像上面那样, 利用定积分的性质和 换元公式(9 ) , 消去了其中无法求出原函数的部分, 最终得出这个定积分的值 .换元积分法还可用来证明一

46、些特殊的积分性质, 如本节习题中的第 5 , 6 , 7等题 .定理9.13 ( 定积分分部积分法)若 u ( x) ,v( x ) 为 a, b 上的连续可微 函数, 则有定积分分部积分公式:bbu( x)v( x)dx = u( x) v( x)-aabu( x)v( x)dx .(10)a证因为uv是uv+ uv在a,b上的一个原函数,所以有bbbu( x) v( x)dx+u( x)v( x)dx=u( x) v( x) + u( x)v( x)dxaaa移项后即为(10) 式 .为方便起见,公式(10)允许写成b=u( x ) v(x).abbu( x) d v ( x) = u (

47、 x)v(x)-aabv(x)du( x) .(10)ae例4 计算x2 ln xdx.ee1ee解 x2 ln x d x = 1ln xd ( x3 ) = 1x3 ln x-x2 d x 13 13e 133e-3x=(192e131=311+ 1) .例5计算2 sinnxdx和2cosnxdx, n = 1,2,.00解 当 n 2 时 , 用分部积分求得2nJn =sin0 x d x = - sinn - 1xcos x2 + ( n - 1)02sin0n - 2xcos2x d x= (n - 1)n - 22sinx d x - ( n - 1)02sin n xd x0=

48、 ( n - 1) Jn - 2 - ( n - 1) Jn .移项整理后得到递推公式:5 微积分学基本定理定积分计算( 续)227Jn = n - 1nJn - 2 , n 2.(11)由于2J0 =d x =0重复应用递推式(11) 便得2, J1 =sin x d x = 1,20m - 3J2 m = 2 m - 121( 2 m - 1)!2m2 m - 222=(2m)! 2,!(12)J2 m +1 =2m 2 m- 221=(2m)2 m + 1令 x = - t , 可得22 m - 13( 2 m + 1 )! .022 cosnxdx = -cosn-t dt =sinn

49、xdx .0220因而这两个定积分是等值的 .由例5 结论(12) 可导出著名的沃利斯( Wallis) 公式:事实上, 由2=limm ( 2m)!( 2 m - 1)!1.(13)22 m + 12 sin2 m+1 xdx 2 sin2 mxdx 2 sin2 m-1 xdx,0把(12) 代入, 得到 ( 2m)!0( 2 m - 1)!0(2 m - 2)!由此又得( 2 m + 1)!(2m)!2(2 m - 1 )!,Am =因为(2 m)!(2 m - 1 )!2 12 m + 12 ( 2m)!( 2 m - 1)!2 1 m = Bm .( 2m)!0 Bm -Am =(

50、2 m - 1)!2 12 m( 2 m +1)1 2 m 20 ( m ) ,所以 lim ( Bm - Am ) = 0.而m2- Am 0) ;(4)01 dx;(6)14 - x2 d x ;01 dx;0 ( x2 - x + 1 )362/2 cos xdx;0 ex + e - x10 1 + sin2 x(7)arcsin xdx;(8)0ee x sin xd x;201(9)1| ln x | dx;(10)ee x d x ;0(11)x2a - x d x( a 0) ;( 12)a0a + x2 cosd.0 sin + cos 5 . 设 f 在 - a , a上可

51、积 .证明:a( 1) 若 f 为奇函数 , 则aa( 2) 若 f 为偶函数 , 则af ( x )d x = 0; f ( x )d x =2a0f ( x )d x .6 . 设 f 为( - , + )上以 p 为周期的连续周期函数 .证明对任何实数 a , 恒有230第九章 定 积 分a+ papf ( x)dx =f ( x)d x .07 . 设 f 为连续函数 .证明:(1)(2)2 f ( sin x)d x=2 00 x f ( sin x )d x = f ( cos x) d x ;f ( sin x )d x .0208 . 设 J( m ,n)=2 sin m xc

52、osn xd x( m , n 为正整数) . 证明:0并求 J(2 m , 2 n) .J( m , n ) = n - 1m +nJ( m , n - 2 ) = m - 1m + nJ( m - 2 , n),9. 证明: 若在(0 , + )上 f 为连续函数, 且对任何 a 0 有axg( x) =xf ( t ) d t 常数, x (0 , + ) ,则 f ( x) = c , x ( 0 , + ) , c 为常数 . x10 . 设 f 为连续可微函数 , 试求xd(x - t)f(t)dt,d x a并用此结果求 dd xx( x - t ) sin td t .011

53、. 设 y = f ( x) 为 a , b 上严格增的连续曲线(图9 - 12).试证存在( a , b) , 使图中两阴影部分面积相等 .12 . 设 f 为0 , 2上的单调递减函数 .证明: 对任 何正整数 n 恒有图 9 - 122f ( x ) sin nx d x 0 .013 . 证明 :当 x 0 时有不等式x + cxsin t2 dt 0).x14.证明:若f在a,b上可积,在,上单调且连续可微,() =a,() =b,则有bf(x)dx =f(t) )(t)dt .a* 15 . 证明:若在 a , b上 f 为连续函数,g 为连续可微的单调函数, 则存在 a , b

54、,使得baf( x) g(x)dx = g(a)f ( x) d x + g( b)abf ( x )d x .( 提示:与定理9 .11 与其推论相比较, 这里的条件要强得多, 因此可望有一个比较简单 的, 不同于定理9 .11 的证明 .)* 6 可积性理论补叙231* 6 可积性理论补叙一 上和与下和的性质在3第二段里,我们已经引入了上和S(T)和下和s(T)的概念.即对于 分割 T: a = x0 x1 0,在各个i 上由于Mi 是f( x)的上确界,故可选取点ii ,使f(i) Mi -nb - a .于是有n i = 1f(i)xi i = 1Mi -xib-ann b - a=

55、Mi xi -xi =S( T ) - .i=1i = 1这就证明了S(T)是全体积分和的上确界.类似地可证s(T)是全体积分和的下 确界.性质2设T为分割T添加p个新分点后所得到的分割,则有S( T)S( T) S( T) - ( M -m)pT,(2)s( T) s( T) s( T ) + (M -m) pT.(3)232第九章 定 积 分这个性质指出: 增加分点后, 上和不增, 下和不减 .证 这里证明不等式(2 ) , 同理可证(3 ).将p 个新分点同时添加到T,和逐个添加到T,都同样得到T,所以我们先 证 p = 1 的情形.在T上添加一个新分点,它必落在T的某一小区间k,而且将

56、k分为 两个小区间,记为k 与k .但T的其他小区间i( ik)仍旧是新分割T1 所 属的小区间.因此,比较 S(T)与S(T1)的各个被加项,它们之间的差别仅仅是 S( T)中的Mkxk 一项换成了S( T1 )中的Mkxk 与Mkxk 两项(这里Mk 与 Mk 分别是f 在k 与k 上的上确界),所以S( T) -S( T1 )=Mkxk - ( Mkxk + Mkxk)=Mk(xk +xk) - (Mkxk + Mkxk)= (Mk -Mk)xk + ( Mk -Mk)xk .由于mMk(或Mk) Mk M,故有0S( T) -S( T1 )(M -m)xk + ( M -m)xk= (

57、M -m)xk (M -m)T.这就证得 p = 1 时(2 ) 式成立 .一般说来 , 对 Ti 增加一个分点得到 Ti + 1 , 就有0 S ( Ti) -S ( Ti + 1 ) (M-m)Ti,i =0,1,2, p - 1( 这里 T0 = T , Tp = T) .把这些不等式对 i 依次相加 , 得到p - 10S( T) -S( T) ( M -m)Ti( M -m)pT.i = 0这就证得(2 ) 式成立 .性质3 若 T与 T为任意两个分割, T= T+ T表示把 T与 T的所有分 点合并而得的分割( 注意: 重复的分点只取一次) , 则S ( T) S( T) , s(

58、 T ) s( T) ,S( T) S( T), s( T) s( T) .证这是因为 T既可看作 T添加新分点后得到的分割, 也可看作 T添加 新分点后得到的分割, 所以由性质2 立刻推知此性质成立 .性质4对任意两个分割T与T,总有s( T) S( T) .证 令 T = T+ T.由性质 1 与性质 3 便有s( T) s( T) S( T) S( T) .* 6 可积性理论补叙233这个性质指出:在对a,b所作的任意两个分割中,一个分割的下和总不大 于另一个分割的上和.因此对所有分割来说,所有下和有上界,所有上和有下界, 从而分别存在上确界与下确界, 把它们记作S = inf S (

59、T) , s = sup s( T ) .TT通常称 S 为 f在 a , b上的上积分, s 为 f 在 a , b上的下积分 .性质 5 m( b - a) sSM( b - a) .这可由性质 4 直接推出.性质6(达布定理) 上、下积分也是上和与下和在T0 时的极限,即lim T 0S ( T ) = S,lim T 0s( T) = s .证 下面只证第一个极限 .任给0,由S 的定义,必存在某一分割T使得S( T) S+ 2.(4)设 T由 p 个分点所构成, 对于任意另一个分割 T来说, T+ T至多比 T多p 个 分点, 由性质2 和性质3 得到S( T) - ( M -m)p

60、TS(T+ T) S( T) .于是有S( T) S( T) + ( M -m)pT.所以,只要T,就有S(T)S(T) +.联系(4)式,推得2 ( M - m)p2SS( T ) 0 , 存在 0 , 只要T , 就有ni = 1f(i)xi - J m .234第九章 定 积 分另一方面,由于S( T)与s(T)分别为积分和关于点集i的上、下确界(即性质1) , 所以当T 0 , 存在 0 , 当T 时, 满足nJ - s( T ) i = 1f(i)xi S( T) 0 , 总存在某一分割 T , 使得nS ( T) - s( T ) , 即ixi 0 , 只要T足够小, 总存在分割