2021年全国中考数学真题分类汇编--四边形：矩形、菱形、正方形（答案版）

1、2021全国中考真题分类汇编（四边形）-矩形、菱形、正方形一、选择题1. (2021安徽省)如图，在菱形ABCD中，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长【详解】HFBC,EGAB,BEO=BFO=90，A=120，B=60，EOF=120，EOH=60，由菱形的对边平行，得HFAD,EGCD，因为O点是菱形ABCD的对称中心，O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，OEF=OFE=

2、30，OEH=OHE=60，HEF=EFG=FGH=EHG=90，所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，EG=HF=2x，如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形，BAC=60，AC=AB=2,OA=1,AOE=30，AE=，x=OE=四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,故选A2.（2021海南省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF若菱形ABCD的面积为8，则AEF的面积为（）A2B3C4D53. （2021重庆市A）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做

3、ONOM，交CD于点N若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BDAC，又四边形MOND的面积是1，正方形ABCD的面积是4，故选：C4. （2021四川省成都市）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定ABEADF的是（）ABEDFBBAEDAFCAEADDAEBAFD【分析】由四边形ABCD是菱形可得：ABAD，BD，再根据每个选项添加的条件逐一判断【解答】解：由四边形ABCD是

4、菱形可得：ABAD，BD，A、添加BEDF，可用SAS证明ABEADF，故不符合题意；B、添加BAEDAF，可用ASA证明ABEADF，故不符合题意；C、添加AEAD，不能证明ABEADF，故符合题意；D、添加AEBAFD，可用AAS证明ABEADF，故不符合题意；故选：C5. （2021四川省南充市）如图，在菱形ABCD中，A60，点E，F分别在边AB，BC上，AEBF2，DEF的周长为3，则AD的长为（）AB2C+1D21【分析】连结BD，作DHAB,垂足为H，先证明ABD是等边三角形，再根据SAS证明ADEBDF，得到DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE，设AHx,则HE2x，DHx

5、,在RtDHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD2x的值【解答】解：如图，连结BD，作DHAB,垂足为H，四边形ABCD是菱形，ABAD,ADBC,A60，ABD是等边三角形，ABC180A120,ADBD,ABDAADB60,DBCABCABD1206060,AEBF，ADEBDF(SAS)，DEDF,FDBADE，EDFEDB+FDBEDB+ADEADB60,DEF是等边三角形，DEF的周长是3，DE,设AHx,则HE2x，ADBD,DHAB,ADHADB30,AD2x,DHx，在RtDHE中，DH+HEDE,（x）+(2x)(),解得：x(负值舍去），AD2x1+，故选：C6.

6、（2021广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等 d.一个角是直角顺次添加的条件：acd bdc abc则正确的是：（ ）A. 仅B. 仅C. D. 【答案】C7. （2021浙江省宁波市） 如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据AED和BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形

7、HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OPEF于点P，OQGF于点Q，可得出OP，OQ分别是FHE和EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，进行判断即可【详解】解：由题意得，AED和BCG是等腰直角三角形， 四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，CD=AB，ADC=ABC，BAD=DCBHDC=FBA，DCH=BAF，AEDCGB，CDHABFAE=DE=BG=CG四边形HEFG是矩形GH=EF，HE=GF设AE=DE=BG=CG=a，

8、HE=GF= b ，GH=EF= c过点O作OPEF于点P，OQGF于点Q，OP/HE，OQ/EF点O是矩形HEFG对角线交点，即HF和EG的中点，OP，OQ分别是FHE和EGF的中位线， ，即 而， 所以，故选项A符合题意， ，故选项B不符合题意，而于都不一定成立，故都不符合题意，故选：A8. （2021浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H若AE2BE，则（）ABCD【分析】如图，过点G作GTCF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N设BEANCHDF

9、a,则AEBMCFDN2a,想办法求出BH,CG,可得结论【解答】解：如图，过点G作GTCF交CF的延长线于T,AE交DF于N,则AEBMCFDN2a,ENEMMFFNa,四边形ENFM是正方形，EFHTFG45,NFEDFG45,GTTF,DFDG,TGFTFGDFGDGF45,TGFTDFDGa,CT3a,CGa,MHTG,CMHCTG,CM:CTMH:TG7,MHa,BH5a+aa,故选：C9. （2021重庆市B）如图，把含30的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，PMN30，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的

10、中点，则AMP的度数为（）A60B65C75D80【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OMOP，从而得出DPM150，利用四边形内角和定理即可求得【解答】解：在RtPMN中，MPN90，O为MN的中点，OP，PMN30，MPO30，DPM150，在四边形ADPM中，A90，ADB45，DPM150，AMP360AADBDPM360904515075故选：C10.（2021湖北省江汉油田）如图，在正方形中，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接下列结论：；的最小值为3其中正确结论的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】

11、【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，四边形是正方形，和中，四边形是矩形，即结论正确；，即结论正确；，即，结论正确；由垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时在中，又，的最小值与的最小值相等，即为，结论错误；综上，正

12、确的结论为，共有3个，故选：C11.(2021内蒙古包头市)如图，在中，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E若，则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D12.（2021深圳）在矩形中，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、，下列正确的是（ ）；A4B3C2D1【解答】，正确；，（），（），故正确；，在和中：，（），又，故错误；由上述可知：，故正确故选B二填空题1. （2021湖南省衡阳市）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上

13、运动点P的运动路线为OADO，点Q的运动路线为OCBO设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在AD段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 (2+3)厘米【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC2cm，同理求出BD2cm，利用菱形性质即可求出ADABBCDC2cm，再由题意易知当点P在AD段上运动，P、Q两点的最短时P、Q分别位于AD、BC的中点时，求出此时P、Q两点的运动路程之和即可【解答】解：由图分析易知：当点P从OA运动时，点Q从OC运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此

14、时yPQ2cm，AC2cm，四边形ABCD为菱形，ACBD，OAOCcm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，yBD2cm，ODOBBD1cm，在RtADO中，AD2(cm)，ADABBCDC2cm，如图，当点P在AD段上运动，点P运动到点E处，点Q在CB段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，此时，OEOF，AEAF,当点P在AD段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm）故答案为：(2+3)2. （2021长沙市）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为_【答案】123. （2021株洲市）蝶几图是明朝人戈汕所作一部组合家

15、具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图中的“様”和“隻”为“样”和“只”）图为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、若，则 _度【答案】214.（2021株洲市）如图所示，线段BC为等腰ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=_【答案】45. （2021江苏省连云港）如图，菱形的对角线、相交于点O，垂足为E，则的长为_【答案】【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AO，D

16、O的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案【详解】解：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，AO=4，DO=3，AOD=90，AD=5，在 中，由等面积法得： , 故答案为： 6. （2021江苏省苏州市）如图，四边形ABCD为菱形，ABC = 70，延长BC到E，在DCE内作射线CM，使得ECM = 15，过点D作DFCM，垂足为F.若DF =，则对角线BD的长为 .（结果保留根号）【分析】连接AC交BD于H，证明DCHDCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质的BDC35，DCE7

17、0，又MCE15，DCF55，DFCM，CDF35，又四边形ABCD是菱形，BD平分ADC，HDC35，在CDH和CDF中，CDHCDF（AAS），DFDH，DB2，故答案为27. （2021上海市） 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，AEO=90，点O与正方形

18、边上的所有点的连线中，最小，等于1，最大，等于，点P与正方形边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在上时，最小值当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是故答案为：8. （2021山西）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，AC=6，OE/AB，交 BC 于点 E，则 OE 的长为 【分析】根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可【详解】解：四边形是菱形，O为AC中点，故答案为：9. （2021四川省凉山州）菱形中，对角线，则菱形的高等于

19、_【答案】【解析】【分析】过A作AEBC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE【详解】解：如图，过A作AEBC，垂足为E，即AE为菱形ABCD高，菱形ABCD中，AC=10，BD=24，OB=BD=12，OA=AC=5，在RtABO中，AB=BC=13，S菱形ABCD=，解得：AE=，故答案为：10. （2021泸州市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是_【答案】【解析】【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GHCD，交AB于N，先证明ABEMCE，由CF=3D

20、F，可求DF=1，CF=3，再证ABGMFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算SDEG即可【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GHCD，交AB于N，如图，点E为BC中点，BE=CE，在ABE和MCE中，ABEMCE（ASA），AB=MC=4，CF=3DF，CF+DF=4，DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，ABMF，ABG=MFG，AGB=MGF，ABGMFG，SAFG=SAFB-SAGB=，故答案为11. （2021四川省南充市）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF3，则GH的长为 3【分析】由矩形的性质

21、及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE2AF6，再利用三角形中位线定理可求解【解答】解：在矩形ABCD中，BAD90，F为BE的中点，AF3，BE2AF6G，H分别为BC，EC的中点，GHBE3，故答案为312.（2021青海省）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 10【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解【解答】解：正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，BNNDDN+MNBN+MN连接

22、BM交AC于点P，点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN+MNBP+PMBM，BN+MN的最小值为BM的长度，四边形ABCD为正方形，BCCD8，CM826，BCM90，BM10，DN+MN的最小值是10故答案为：1013.（2021浙江省绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 cm（结果保留根号）【分析】根据题意即可求得FOD2DOE，即可求得DOE30，由矩形的性质结合平行线的性质可求得DBC30，利用含30 角的直角三角形的性质可求解【解答】解：过O点作OECD，OFAD，F，由题意知FO

23、D2DOE，FOD+DOE90，DOE30，FOD60，在矩形ABCD中，C90，OEBC，DBCDOE30，BCCD，故答案为14.（2021浙江省台州）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AFEG若AB5，AEDG1，则BF_【答案】【解析】【分析】先证明，得到，进而即可求解【详解】在正方形ABCD中，AFEG，AGE+GAM =90，FAB+GAM=90，FAB =AGE，又ABF=GAE=90，即：，BF=故答案是：15.（2021湖北省十堰市）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_.【答

24、案】20【解析】【详解】AB5，AD12，根据矩形的性质和勾股定理，得AC13.BO为RABC斜边上的中线BO6.5O是AC的中点，M是AD的中点，OM是ACD的中位线OM2.5四边形ABOM的周长为：6.52.56520故答案为2016.（2021北京市）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AFEC只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）17.（2021广西贺州市）如图，在矩形中，分别为，的中点，以为斜边作，连接，若，则_【答案】【解析】【分析】根据矩形及等腰三角形的性质先求出，再利用中点定义及矩形性质可得，则可求出，即可求得结果【详解】

25、解：四边形是矩形，分别为，的中点，故答案为：18. （2021呼和浩特市）已知菱形的面积为点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为最_，最大值为_，19. (2021内蒙古包头市) 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF若，则的度数为_【答案】20. （2021襄阳市）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，交于点，则_【答案】21. （2021贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC，则点A的坐标是 （2

26、，0）【分析】根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案【解答】解：四边形ABCD是菱形，BOC90，OCOA，点B的坐标是（0，1），OB1，在直角三角形BOC中，BC，OC2，点C的坐标（2，0），OA与OC关于原点对称，点A的坐标（2，0）故答案为：（2，0）22. （2021绥化市）在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则_【答案】1或或【解析】【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可【详解】解：PB=3PC，P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论：情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图1所示：PB=3PC

27、，PC=BC=1；情况二：当P位于正方形边CD上时，如下图2所示：设PC=x，则BP=3PC=3x，在RtBPC中，由勾股定理可知：4+x=(3x)，解得x=(负值舍去)，PC=；情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图3所示：设AP=x，则DP=4-x，RtABP中，BP=AP+AB=x+16，RtCPD中，CP=PD+CD=(4-x)+16=x-8x+32，BP=3PC，x+16=9(x-8x+32)，整理得到：x-9x+34=0，此方程无解，故P点不可能位于边AD上；情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PHBC于H点，如下图所示：设PC=x，则BP=3PC=3x，DBC=45，BPH

28、为等腰直角三角形，其三边之比为，BH=PH=，CH=BC-BH=，在RtPHC中，由勾股定理可知：PC=PH+CH，整理得：，此方程无解，故P点不可能在对角线BD上；情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PHBC于H点，如下图所示：设PC=，则BP=3PC=，PCB=45，PCH为等腰直角三角形，其三边之比为，PH=CH=，BH=BC-CH=4-x，在RtPHB中，由勾股定理可知：PB=PH+BH，整理得：，解得：(负值舍去)，；综上所述，或或23.（2021四川省眉山市）如图，在菱形ABCD中，ABAC10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM3，点P为线段BD上的一个动点

29、，则MP+PB的最小值是 【分析】过点P作PEBC于E，由菱形的性质可得ABBCAC10，ABDCBD，可证ABC是等边三角形，可求CBD30，由直角三角形的性质可得PEPB，则MP+PBPM+PE，即当点M，点P，点E共线且MEBC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解【解答】解：如图，过点P作PEBC于E，四边形ABCD是菱形，ABAC10，ABBCAC10，ABDCBD，ABC是等边三角形，ABCACB60，CBD30，PEBC，PEPB，MP+PBPM+PE，当点M，点P，点E共线且MEBC时，PM+PE有最小值为ME，AM3，MC7，sinACB，ME，MP+PB的最小值

30、为，故答案为三、解答题1. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，（1）求证：是矩形；（2）求的长【答案】（1）证明见解析；（2）2. （2021株洲市）如图所示，在矩形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求线段的长度【答案】（1）证明见解析；（2）3. （2021湖南省衡阳市）如图，点E为正方形ABCD外一点，AEB90，将RtABE绕A点逆时针方向旋转90得到ADF，DF的延长线交BE于H点（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH7，BC13，求DH的长【分析】（1）利用旋转即可得到RtABERtADF

31、，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；（2）设AEx,则BE7+x,AB13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：RtABE绕A点逆时针方向旋转90得到ADF，RtABERtADF，AEBAFD90，AFH90，RtABERtADF，DAFBAE,又DAF+FAB90，BAE+FAB90，FAE90，在四边形AFHE中，FAE90，AEB90，AFH90，四边形AFHE是矩形，又AEAF，矩形AFHE是正方形；（2）设AEx则由（1）以及题意可知：AEEHFHAFx,BH7,BCAB13,在RtAEB中，AB2AE2+B

32、E2，即132x2+(x+7)2,解得：x5,BEBH+EH5+712,DFBE12,又DHDF+FH，DH12+5174. （2021湖南省邵阳市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AECF连接DE，DF，BE，BF（1）证明：ADECBF（2）若AB4，AE2，求四边形BEDF的周长【分析】（1）由正方形对角线性质可得DAEBCF45，再由SAS可证ADECBF；（2）由正方形性质及勾股定理可求得BDAC8，DOBO4再证明四边形BEDF为菱形，因为AECF2，所以可得OE2，在RtDOE中用勾股定理求得DE2，进而四边形BEDF的周长为

33、4DE，即可求得答案【解答】解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：DAEBCF45，在ADE和CBF中，ADECBF（SAS）（2）ABAD，BD8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：ACBD8，DOBO4，OAOC4，又AECF2，OAAEOCCF,即OEOF422，故四边形BEDF为菱形DOE90，DE24DE故四边形BEDF的周长为85. （2021江苏省连云港）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到ADCE，A

34、D=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且AD=BC点C是BE的中点，BC=CE，AD=CE，ADCE，四边形ACED是平行四边形；（2）四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，AB=AE，DC=AE，四边形ACED是平行四边形，四边形ACED是矩形6. （2021江苏省扬州）如图，在中，的角平分线交于点D，（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【解析】【分析】（1）根据DEAB，DFAC判定

35、四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到EDA=EAD，可得AE=DE，即可证明；（2）根据BAC=90得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：DEAB，DFAC，四边形AFDE是平行四边形，AD平分BAC，FAD=EAD，DEAB，EDA=FAD，EDA=EAD，AE=DE，平行四边形AFDE是菱形；（2）BAC=90，四边形AFDE是正方形，AD=，AF=DF=DE=AE=2，四边形AFDE的面积为22=47. （2021山东省泰安市）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点（1）

36、若ACEC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若ABAD，点F是AB上的点，AFBE，EGAC于点G，如图2，求证：DGF是等腰直角三角形【分析】（1)先根据四边形ABCD为矩形，CBAE,ACEC得出ABBE即可；（2）由ABAD得出矩形ABCD是正方形，得出EGAE45，然后证明EGFAGD，再得出DGF90，GFGD,DGAFGE,从而得出结论【解答】证明：（1)四边形ABCD为矩形，ABCD,ABCD,CBAE,又ACEC,ABBE,BECD,BECD,四边形BECD为平行四边形；(2)ABAD,矩形ABCD是正方形，EGAC,EGAE45,GEGA,又AFBE,ABFE

37、,FEAD,在EGF和AGD中，,EGFAGD(SAS),GFGD,DGAFGE,DGFDGA+AGFEGF+AGFAGE90,DGF是等腰直角三角形8. （2021遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F（1）求证：AECF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）EFBD或EBED，见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AECF；（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根

38、据EFBD可得四边形BFDE是菱形【详解】证明：（1）四边形是平行四边形OAOC，BEDFEF在AOE和COF中AECF（2）当EFBD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF，DE四边形是平行四边形OBOD 四边形是平行四边形EFBD， 四边形是菱形9. (2021四川省自贡市) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点求证：DE=BF【答案】证明见试题解析【解析】【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，ABCD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案【详解】四边形ABCD是矩形，ABCD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，DF=BE，又ABCD

39、，四边形DEBF是平行四边形，DE=BF10. （2021湖北省恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DEAC，AEBD，连接OE求证：OEAD【分析】利用DEAC，AEBD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AOOD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论【解答】证明：四边形ABCD为矩形，OAODDEAC，AEBD，四边形AODE为平行四边形OAOD，平行四边形AODE为菱形OEAD11. （2021浙江省金华市）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BOC120，AB2（1）求矩形对角线的长（2）过O作OE

40、AD于点E，连结BE记ABE，求tan的值【分析】（1）根据矩形的性质求出AC2AO，根据等边三角形的判定得出AOB是等边三角形，求出ABAO2，求出BD；（2）根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解直角三角形求得tan的值【解答】解：(1)BOC120，AOB60，四边形ABCD是矩形，BAD90，ACBD，AOOC，BODO，AOBO，AOB是等边三角形，ABAOBO，AB2，BO2，BD2BO4，矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：AD2，OAOD,OEAD于点E，AEDEAD,tan12. （2021江苏省盐城市）如图，D、E、F分别是ABC各边的中点，连接

41、DE、EF、AE（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从BAC90；AE平分BAC；ABAC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；（2）若选AE平分BAC：则在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AFEF；若选ABAC：根据三角形中位线定理即可证明【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，DE为ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DEAC，且DEAF即DEAF，DEAF，四边形ADEF为平行四边形（2）证明：选AE平分BAC，AE平分BAC，DA

42、EFAE，又ADEF为平行四边形，EFDA，FAEAEF，AFEF，平行四边形ADEF为菱形选ABAC，EFAB且EF，DEAC且DE，又ABAC，EFDE，平行四边形ADEF为菱形13. （2021湖北省十堰市）如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、（1）求证：四边形菱形；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）点A作，通过解直角三角形即可求解【详解】解：（1），D是的中点，四边形AECF是平行四边形，平行四边形AECF是菱形；（2）A

43、ECF是菱形，过点A作，14. （2021湖南省张家界市）如图，在矩形中，对角线与相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角（），所得的直线分别交，于点，. （1）求证：； （2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由.（1）证明：四边形是矩形 又 （2）当90时四边形为菱形 理由： 又 四边形为平行四边形 又90 四边形为菱形 15. （2021福建省）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A，AA的延长线交BC于点G（1）求证：DEAF；（2）求GAB的大小；（3）求证：AC2AB【答案】（1）见解析；（2）45；（3）见解析【解析】【分析】

44、（1）设直线与相交于点T，证明是的中位线即可；（2）连接，取的中点O，连接，证明点，F，B，G四点共圆即可；（3）设，则，设，则，根据勾股定理找到k与a的关系，根据列比例求解即可【详解】解：（1）设直线与相交于点T，点A与关于对称，垂直平分，即E，F为边上的两个三等分点，是的中位线，即（2）连接，四边形是正方形，又，是等腰直角三角形，取的中点O，连接，在和中，点，F，B，G都在以为直径的上，（3）设，则由（2）得，即，设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得又，由（2）知，又，16. （2021襄阳市） 如图，为的对角线（1）作对角线的垂直平分线，分别交，于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，求证：四边形为菱形【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OBOD，EBED，FBFD，再证明ODEOB得到DEBF，则BEDEBFDF，然后根据菱形的判定方法得到结论【解答】（1）解：如图，EF为所作；（2）证明：EF垂直平分BD，OBOD，EBED，FBFD，四边形ABCD为平行四边形，ADBC，EDOFBO，DEOBFO，