复数模最值问题的几种解法-最新文档

1、复数模最值问题的几种解法求复数模的最值问题，是一类较好的综合题，涉及代数、几 何、三角诸方面的知识，且方法灵活多样，现将几种方法归纳介 绍如下：1利用代数函数求最值设z=x+yi(x、yR)直接代入所要求的式子中去，把所要求 的模用S、Y函数表示出来，转化为函数最值问题。例 1：复数 z 满足 |z-(2+i | + | z-2-i |=4o 求 d= |z 的最大值和最小值。解：设 z=x+yi(x、yR)*.* z-(2+i+z-2_i = 4x, y满足方程(x-2) 2 + y2/4 =1(1)d= | z | + | x+yi | = maxd2=x2+y2o 由(1)式得y2=4l

2、-(x-2)2那么 d2= x2+4l-(x-2)2=-3 (x-8/3)2 +28/3由(1)式知TWx-2即 lWx0, 0要又解必须有(r2+6) /4r即 r2-4+60解之得：| z | max=3; | z =3 利用 | | zl | - | z21 | W | zl+z2 | zl| + | z2| 求最值例3：复数z满足|z|=2,求| 1+i+z |的最值。解：: |z|=2,且|z| -1 1+i |W| z+(!+i) |W|z| +I(1+i )I 0W| z+ (!+i) |W4| !+i +z |max=4; | !+ i +z |mai=04共轲复数法见例 3：

3、设 z=2 (com。+isin 0 )；由 | z | 2=z*z ,得1+i+z I 2= (1+i+z) (1+i+z) =8+8com( n /3 9 )；于是 得出结论。5利用平均值定理求最值例5：复数z满足|z|=1,求d二| z3-3z-2 |的最值。解：d2=| (z+l)2(z-2) 12= (| z+1 12)21 z -2|2= (z+l) (z+l)2(z-2) (z-2)(zz+z+z+1) (zz-2z-2z+4);|z|=1d2= (2+z+z) 2 (5-2z-2z)设z=x+yi (x, yR)代入上式：得 d2=(2+2x)2(5-4x)Q|x|W1 2+2

4、x20; 5-4x0J d2=(2+2x) (2+2x) (5-4x)W(2+2x)+(2+2x)+(5-4x)/33=27.d，0dW3,由 2+2x=5-4x 得 x=l/2当 z=l/2/2i 时 dmax=3当 z3-3z-2=0 得 z=-l 或 z=-2 (舍去)即当 z=-l 时，dmin=06利用图象求最值(几何法)因为复数和图形有着密切的关系，我们可以利用这种关系把 所给条件转化为图形直观的求出最大值最小值。例6：|z|二l。求例z|的最大值和最小值。解： |z|二1 J复数z在复平面内对应的点在单位圆上。,| i z |即| z-(一i)表示z到定点A(, -1)的距离；易得：| 一 i z |max=3; | i z |min=l 又如 | z | =1 求|z-(2+2i) |得最值用图象法时仿上易得：z (2+2i) |max=2+1z (2+