专题三第二讲数列求和及综合应用

1、第二讲数列求和及综合应用1(2013石家庄市质量检测)已知等差数列an满足a23，SnSn351(n3)，Sn100，则n的值为()A8B9C10 D112(2013荆州市质量检测)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S1060，则S20()A80 B160C320 D6403(2013高考课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4C5 D64已知等差数列an满足a23，a59，若数列bn满足b13，bn1abn，则bn的通项公式为bn()A2n1 B2n1C2n11 D2n125(2013湖南省五市十校联

2、合检测)已知函数f(x)是定义在(0，)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，若数列an的前n项和为Sn，且满足f(Sn2)f(an)f(3)(nN*)，则an为()A2n1 BnC2n1 D(eq f(3,2)n16已知等比数列an的各项均为正数，若a13，前三项的和为21，则a4a5a6_7(2013湖北省八校联考)九章算术之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织_尺布(不作近似计算

3、)8(2013高考课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_9(2012高考山东卷)已知等差数列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.10(2013汕头市高三模拟)已知函数f(x)满足：对任意的xR，x0，恒有f(eq f(1,x)x成立，数列an，bn满足a11，b11，且对任意nN*，均有an1eq f(anf（an）,f（an）2)，bn1bneq f(1,an).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列an，bn的通项公

4、式；(3)对于0，1，是否存在kN*，使得当nk时，bn(1)f(an)恒成立？若存在，试求k的最小值；若不存在，请说明理由11(2013成都市诊断性检测)设函数f(x)x2，过点C1(1，0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，以此类推得点An，记An的横坐标为an，nN*.(1)证明数列an为等比数列并求出通项公式；(2)设直线ln与函数g(x)logeq sdo9(f(1,2)x的图象相交于点Bn，记bneq o(OAn,sup6()eq o(OBn,sup6()(其中O为坐标

5、原点)，求数列bn的前n项和Sn.答案：1【解析】选C.由SnSn351得，an2an1an51，所以an117, 又a23，Sneq f(n（a2an1）,2)100，解得n10，故选C.2【解析】选C.设数列an的公差为d，d0，则aeq oal(2,4)a3a7(a4d)(a43d)，deq f(2a4,3)eq f(2,3)(a13d)，deq f(2,3)a1.S10eq f(10（a1a10）,2)5(2a19d)10a145(eq f(2,3)a1)20a160，a13，d2，S20320.3【解析】选C.an是等差数列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1

6、Sm3，dam1am1.又Smeq f(m（a1am）,2)eq f(m（a12）,2)0，a12，am2(m1)12，m5.4【解析】选B.据已知易得an2n1， 故由bn1abn可得bn12bn1，变形为bn112(bn1)，即数列bn1是首项为2，公比为2的等比数列，故bn12n，解得bn2n1.故选B.5【解析】选D.由题意知f(Sn2)f(an)f(3)(nN*)，Sn23an，Sn123an1(n2)，两式相减得，2an3an1(n2)，又n1时，S123a1a12，a11，数列an是首项为1，公比为eq f(3,2)的等比数列，an(eq f(3,2)n1.6【解析】a4a5a6

7、a1q3a1q4a1q5(a1a1qa1q2)q3(a1a2a3)q3，即a4a5a621q3.由前三项的和为21，且a13解得q2，故a4a5a621q3218168.【答案】1687【解析】由题意知，a15，n30，Sn390305eq f(3029,2)ddeq f(16,29).【答案】eq f(16,29)8【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得eq blc(avs4alco1(10a1f(109,2)d0，,15a1f(1514,2)d25，)解得eq blc(avs4alco1(a13，,df(2,3).)nSnn2a1eq f(n2（n1）,2)d

8、3n2eq f(1,3)(n3n2)eq f(1,3)n3eq f(10n2,3)，(nSn)n2eq f(20n,3)，令(nSn)0，解得n0(舍去)或neq f(20,3).当neq f(20,3)时，nSn是单调递增的；当0neq f(20,3)时，nSn是单调递减的，故当n7时，nSn取最小值，(nSn)mineq f(1,3)73eq f(1072,3)49.【答案】499【解】(1)设数列an的公差为d，前n项和为Tn.由T5105，a102a5，得eq blc(avs4alco1(5a1f(5（51）,2)d105，,a19d2（a14d），)解得a17，d7.因此ana1(n

9、1)d77(n1)7n(nN*)(2)对mN*，若an7n72m，则n72m1.因此bm72m1，所以数列bm是首项为7公比为49的等比数列故Smeq f(b1（1qm）,1q)eq f(7（149m）,149)eq f(7（72m1）,48)eq f(72m17,48).10【解】(1)由f(eq f(1,x)x，易得f(x)eq f(1,x)(x0)(2)由an1eq f(anf（an）,f（an）2)，得eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(2,anf（an）)eq f(1,an)2，所以eq f(1,an1)eq f(1,an)2.所以数列eq f(1,an)是以1为首项

10、，2为公差的等差数列所以eq f(1,an)12(n1)2n1，所以aneq f(1,2n1)，nN*.因为bn1bneq f(1,an)2n1，所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n3)(2n5)311eq f(（n1）（2n2）,2)1n22n2.(3)对于0，1时，bn(1)f(an)恒成立，等价于0，1时，n22n2(1)(2n1)恒成立，等价于0，1时，(2n1)n24n30恒成立设g()(2n1)n24n30，对于0，1，(2n1)n24n30恒成立，则有eq blc(avs4alco1(g（0）0，,g（1）0，)解得n3或n1.由此可见存在kN*，使得当n

11、k时，bn(1)f(an)恒成立，且k的最小值为3.11【解】(1)证明：以点An1(an1，aeq oal(2,n1)(n2)为切点的切线方程为yaeq oal(2,n1)2an1(xan1)当y0时，得xeq f(1,2)an1，即aneq f(1,2)an1.又a11，数列an是以1为首项，eq f(1,2)为公比的等比数列通项公式为an(eq f(1,2)n1.(2)据题意，得Bn(eq f(1,2)n1，n1)bneq o(OAn,sup6()eq o(OBn,sup6()(eq f(1,4)n1(eq f(1,4)n1(n1)n(eq f(1,4)n1.Sn1(eq f(1,4)02(eq f(1,4)1n(eq f(1,4)n1，eq f(1,4)Sn1(eq f(1,4)12(eq f(1,4)2n(eq f(1,4