《代数学与三大几何作图难题》课件

1、代数学与三大几何作图难题大连市旅顺第二高级中学 2019年6月动手实践回顾尺规作图小组交流展示尺规作图的回顾尺规作图的由来三大问题的提出尺规作图，是指只使用无刻度的直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.尺规作图的由来 尺规作图起源于古希腊巧辩学派的数学课题，是指只使用无刻度的直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 在历史上最先明确地提出尺规作图限制的是古希腊人伊诺皮迪斯。漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。尺规作图的限制逐渐地成为一种公约，后来经过柏拉图

2、的大力提倡，最后被欧几里得以理论的形式总结在几何原本中。尺规作图的由来 因几何原本的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。 现在，尺规作图是义务教育初中阶段重要的几何作图方法，在初中几何教学中占重要地位，是有效培养学生动手操作能力和逻辑思维能力的重要手段。课标中对尺规作图有具体的教学要求，它是中考的重要考点。尺规作图的回顾问题1平分已知角问题2作一正方形使其面积是已知正方形的二倍三大几何作图问题的提出三等分角倍立方体化圆为方合作探究三大几何作图问题的解决活动1交流公主的别墅与“三等分角”史话探究一 三等分角探究一 三等分角活动1 交流公主的别墅与“三等分角”史话OPQKx分析

3、：QK=QO 1=2， 1=+x，3=xQKO内角和 1+2+3 =（+x）+（+x）+x =3x+2=180 x=（180-2）/3123探究一 三等分角活动2 探索“三等分角”的解决探索1特殊角的三等分角（1）作出45三等分角（2）作出90三等分角探究一 三等分角活动2 探索“三等分角”的解决探索2解决“三等分角”问题的关键（1）设cosA=a ，设cos(A/3)=x（2）利用两角和的余弦公式推导cos3展开式（3）建立一元三次方程（4）关键是三次方程的是否存在有理根问题以及能否用尺规作图作出三次方程的根探究一 三等分角活动2 探索“三等分角”的解决探索3“三等分角”的不可能性尺规作图只

4、能做五种图形(1)过两已知点作一直线-一次(2)确定二已知直线的交点-一次(3)已知圆心和半径作圆-二次(4)确定已知直线和已知圆的交点-一次和二次(5)确定二已知圆的交点-二次和二次结论：一元三次方程的解都会是三次根式形式，不能由尺规作图得出，因此“三等分角”的不可能！探究一 三等分角活动3 尝试非严格尺规作图解决“三等分角”方法阿基米德解法 在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O，设所要三等分的角是 MCN ，以C为圆心，OP为半径作半圆交给定角的两边CN、CM于A、B两点；移动直尺，使直尺上的O点在AC的延长线上移动，P点在圆周上移动，当直尺正好通过B点时，连OBP，则有 AOB=1/3 M

5、CN，尝试证明。44合作探究三大几何作图问题的解决活动1瘟疫、祭坛与“倍立方体”史话探究二 倍立方体 关于倍立方问题的起源，有两个神话传说。第一个是属于古希腊著名数学家、天文学家、哲学家埃拉托塞尼（前前）的。当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍。工匠们试图弄清怎样才能造成一个立方体，使其体积为另一个体积的两倍。为此，他们陷入深深的困惑之中。合作探究三大几何作图问题的解决活动1瘟疫、祭坛与“倍立方体”史话探究二 倍立方体 于是他们就带着这个问题去请教柏拉图，柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因

6、为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视。 另一个故事说克里特王米诺斯为儿子修墓，命令将原来设计的体积加倍，但仍保持立方的形状。探究二 倍立方体活动2 探索“倍立方体”的解决探索1“倍立方体”的不可能性 1837年，23岁的旺泽尔证明了“倍立方体”不可能！ 证明：解方程x3=2a3 ，若令a =1,则要作长度为2 的线段，但2超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。探究二 倍立方体活动2 探索“倍立方体”的解决探索2由“倍立方体”引出的数学发现 希波克拉底指出，倍立方体问题可以转化为求一线段与它的二

7、倍长线段之间的双重比例中项问题，即a:x=x:y=y:b。（b=2a） 欧多克斯的学生门奈赫莫斯发现了圆锥曲线！ x2=ay -抛物线 y2=bx -抛物线 xy=ab -双曲线探究二 倍立方体活动3 尝试非严格尺规作图解决“倍立方体” 丢克勒斯（Diocles，约180B.C.）在他的光学著作论取火镜中用蔓叶线解决了倍立方体问题。合作探究三大几何作图问题的解决活动1囚徒的冥想与“化圆为方”史话探究三 化圆为方 在古希腊有一位学者叫安纳萨格拉斯。他提出“太阳是一个巨大的火球”。这种说法现在看来是正确的。然而古希腊的人们更愿意相信神话故事中说的“太阳是神灵阿波罗的化身”。因此他们认为安纳萨格拉斯

8、亵渎了神灵，将其投入狱中，判为死刑。 在等待行刑的日子里，安纳萨格拉斯仍然在思考着宇宙、万物和数学问题。合作探究三大几何作图问题的解决活动1囚徒的冥想与“化圆为方”史话探究三 化圆为方 一天晚上，安纳萨格拉斯看到圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他不断地变换观察圆月的方位，一会儿看到圆月比方窗大，一会儿看见方窗比圆月大。心中一动，想到如果已知一个圆的面积，那么，怎样做出一个正方形，能使它的面积恰好等于这个圆的面积呢? 后来，他顺利获释出狱。然而这个问题，他一直都没有解决，整个古希腊的数学家也没能解决，成了历史上有名的三大几何难题之一。探究三 化圆为方活动2 数学家“化圆为方”的多种尝试尝试穷

9、竭法 巧辩学派的代表人物安蒂丰，他首先提出用圆的内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。亚里士多德的物理学记载，安蒂丰从圆的内接正方形（或三角形）出发，将边数逐步加倍到正八边形、正十六边形.无限重复这个过程，随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。探究三 化圆为方活动2 数学家“化圆为方”的多种尝试尝试穷竭法 安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合。既然我们能做出一个等于任何已知多边形的正方形，那么事实上我们就能够做出等于一个圆的正方形。思考：1.为什么这种方法不行？2.如何尺规作图作出一个面积等于正五边形的四边形？如何作出一个面积等于四边形的三角形？又如何作出一个面积等

10、于三角形的正方形？探究三 化圆为方活动2 数学家“化圆为方”的多种尝试尝试3“化圆为方”的不可能性 假定将圆的半径为1，所求正方形边长为x，于是则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度根号的线段。问题的关键在于是否可作，如果可作，则根号可作，如果不可作，则根号不可作，因而人们又开始转向研究的超越性。 直到1882年，德国数学家林德曼证明了的超越性，从而证明了化圆为方的尺规作图之不可能性。所谓的超越性就是说不可能是任何整系数代数方程的根，故化圆为方问题的不可能！探究三 化圆为方活动3 尝试非严格尺规作图解决“化圆为方”方法达芬奇做法 达.芬奇发现，不受标尺的限制。用已知圆为底，r为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所以所得矩形的面积Sr 2。接下来就好办了，用绳子把圆柱体的“腰围”和“身高”量一下，放到纸上形成一个矩形，然后用直尺圆规来将这个矩形化为正方形就好了。用代数学解释三大几何作图难题总结1尺规作图公法加深理解 总结升华用直尺和圆规解作图题，就是把问题归结为以下几个认为确定可以作出的作图：(1)过两已知点作一直线；(2)确定二已知直线的交点；(3)已知圆心和半径作圆；(4)确定已知直线和已知圆的交点；(5)确定二已知圆的交点。它们只有下列三种功能：画线，作圆，求交点。用代数学解释三大几何作图难题总结2尺