高数下重修6.三重积分

1、三重积分I 三重积分的概念与性质II 三重积分的计算法二、 柱面坐标下三重积分的计算法三 、球面坐标下三重积分的计算法III 重积分的应用一、 直角坐标下三重积分的计算法I、三重积分的概念 1三重积分的定义 如果f (x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，是该物体所占的空间闭区域，f (x，y ,z)在上连续，则物体的质量2物理意义3几何意义的体积4性质 同二重积分补充： 利用对称性化简三重积分计算4、 若关于变量x，y，z具有轮换对称性，则有在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分，则dv=dxdydz1直角坐标系中的体积元素因此在直角坐标系中，三重积分记作II、三重积分

2、的计算一、 用直角坐标系计算三重积分为母线平行于z轴的曲顶，曲底柱体时第一种情况：投影法(先一后二法)2、化三重积分为三次单积分如图，得xyo1解xyzC (0,0,1)oA (1,0,0)x+2y=1Dxy解：曲面z=x2+y2与平面z=1的交线在xOy平面上的投影曲线为在x2+y2=1，在xOy平面上的投影区域为Dxy: x2+y21。1yxzO而Dxy可用不等式组于是 第二种情况:截面法(先二后一法) 设区域 夹在平面z = c1，z = c2(c1 c2)之间zyxo 用竖坐标为z (c1 z c2)的平面截所得截面为Dz或D(z)，即zyxo上式适用于f (x,y,z)只是 z 的函

3、数：f (x,y,z)=(z),有 其中A(z)是Dz的面积，于是 用截面法。xyzo1解y4sinx关于x是奇函数xyzo关于yoz平面对称，用截面法。xyzo二 、利用柱面坐标计算三重积分1柱面坐标 规定：xyzorzxyM(x,y,z)(1) (2) 柱面坐标与直角坐标的关系为(3)如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面2柱面坐标下三重积分的形式(1) 柱面坐标系中的体积元素(2) 柱面坐标系中的三重积分的形式 计算方法：一般是化为先z，再r ，最后的三次积分定限方法同直角坐标，把边界化成柱面坐标方程。解交线的投影为:用柱面坐标。xyzo1三、利用球面坐标计算三重积分 1球面坐标 （

4、1）M(x，y，z) (r， ,)：MP，x轴正向按逆时针方向到OP的转角，02。 r， , 叫点M的球面坐标。 （2）球面坐标与直角坐标的关 系M(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,)xyzo（3） 如图，三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面2球面坐标下三重积分的形式（1）球面坐标下的体积元素（2）三重积分的球面坐标形式（3）计算方法：计算一般是化为先r，再 ，最后的三次积分xyz2RoRxyzo注以下区域时用球面坐标xyz1o（2）被积函数形如 f(x2+y2+z2) f(z),为球形域，球面与圆锥面所围时，用球面坐标计算。（1）的投影区域为圆形域时，被积函数形如注：坐标系的选择III、重积分应用通过三重积分可求空间区域 的体积，物体的质量通过二重积分可求曲顶柱体的体积、平面薄片的质量、平面区域的面积 1. 空间区域 的体积 如果 (x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，是该物体所占的空间闭区域， (x，y ， z)在上连续.2. 物体的质量一、空