数学思维训练第七册(沪教)

1、目录第一讲 年月日的趣题第二讲 奇妙的图形第三讲 趣味24点第四讲 趣味图形第五讲 变与不变第六讲 找隐蔽图形第七讲 巧算计算题第八讲 新规则计算第九讲 数字站队第十讲 生活中的数学问题综合练习一综合练习二第一讲 年月日的趣题例一 军军的爸爸星期二去北京出差，25天后才回家，回家那天是星期几？分析与解答 因为一个星期有7天，从星期二算起，7天后仍然是星期二。因此解题时可以把7天作为一个周期甲乙思考，25天里有3个星期天零4天，余下的四天分别为星期三、星期四、星期五和星期六，所以那天应该是星期六。 解：257=3（周）4（天） 答：回家那天是星期六。例二 从2001年6月10日到2002年1月2

2、0日共经过了多少天？分析与解答 从题意可知，计算从2001年6月10日到2002年1月20日共经过了多少天，要把首尾两天计算在内。我们可以分段来计算天数：2001年6月10日 30日2001年7月 2001年12月2002年1月1日 20日解：第一段 从2001年6月10日30日有 30 10+1=21（天）。第二段 2001年7月2001年12月有4个大月，2个小月，一共有314+302=184（天）。第三段 2002年1月1日20日有20天。 一共经过了21+184+20=225（天） 答：一共经过了225天。说明：在例一中计算天数时，这段时间里首、尾两天都应该计算在内。例三 1991年1

3、0月26日是星期六，1992年10月26日是星期几？分析与解答 1992年是闰年，2月份有29天，因此，1991年10月27日至1992年10月26日共有366天。每7天是1周，根据本题所给的条件可知：7天的第一天是星期日，第七天是星期六。3667=522,366天中有52周余2天。剩下的2天，第一天是星期日，第二天是星期一。所以1992年10月26日是星期一。解：因为1991年10月27日至1992年10月26日共有366天，3667=52（周）2（天）。所以1992年10月26日是星期一。例四 2001年12月31日的星期一，2002年10月1日是星期几？分析与解答 从2001年12月31

4、日到2002年10月1日共有365-312-30+1=274(天)。每7天为1周，所以2747=39（周）1（天），从星期一往后数1天就是星期二。 解：36531230+1=274（天） 3747=39（周）1（天） 答：2002年10月1日是星期二。例三 小王今年（2001年）有二十多岁，可是他去年才过第7个生日。小王是哪一天出生的？今年有几岁？（小王刚出生的那天算作第一个生日）分析与解答 二十多岁才过7次生日，说明他的生日（日期）不是每年都有,这个日子只能是闰年的2月29日。在去年（2000年）之前，还有1996年、1992年、1988年、1984年、1980年、1976年是闰年。因为小王

5、只过了7个生日，说明他出生在1976年。 解： 20004（71）=1976（年） 小王今年的岁数是20011976=25（岁） 答：小王是在1976年2月29日出生的，今年有25岁。说明：计算从某年（月、日）起到某年（月、日）共经过的（月、日）数，一般要连头带尾算，也就是经过的年数（天数）=结尾数开始数+1。而计算年龄（周岁），一般用今年的年份数出生的年份数。例六 假期中，小明跟妈妈去海南旅游。回家时，墙上的日历已有7张没有撕了。小明一次撕下了这7张日历，算了一下，这7张日历的日期数的和是42。问小明是几号去旅游的？又是几号回来的？分析与解答 7天日期和是42。427=6，可求出7天中间的那

6、天是6号。再逐次减去1或加上1，得到这7天应该是3号、4号、5号、6号、7号、8号、9号。小明走的那天，日历不可能撕去，所以走时应该是3号。回来的日历也不应该撕去，所以回家应该是10号。解：小明是3号去旅游，10号回家的。练习一1、今天是星期一，那么第38天后是星期几？2、从3月12日到同年的8月1日，共经过多少天？3、小华是1984年2月26日出生的，小方是同年4月2日出生的，她俩谁年龄大？大几天？4、2002年元旦是星期二，同年的3月2日是星期几？5、2001年6月8日是星期五，2002年6月1日是星期几？6、今年爷爷过生日那天对孙子说：“我只过了15个生日。”（他出生那天算作第一个生日）

7、，你知道这是为什么？爷爷应该是几岁？7、2000年2月29日是一位长寿老人过的第24个生日（他出生的那天算作第一个生日），这位老人是哪一年出生的？2001年是几岁？8、假如北京今天22点下雨，过了72小时后，会不会出太阳？为什么？9、小红每天早晨起床后就把昨天的日历撕下。一天下午她们全家出去旅游了，过了4天回家。小红一连撕下了4张日历，这4张日历的日期数加起来是46。小红全家是几号出去旅游的？10、小明的爸爸是一位工程师，因为工作忙，5天没回家，回家后一次撕下这5天的日历。已知这5天日期的数字相加的和是45。小明爸爸回家这天是几号？第二讲 奇妙的图形例一 画一个正方形，把每条边十等分，然后在等

8、分点上分别用1、2、3、10和一、二、三十表示。接着把1和二两点，2和三两点，3和四两点，十和一两点，用直线连起来。看看你所画的图，像什么？分析与解答 按题目要求所画的图形像一片树叶，从数学角度看，直的线变成了曲线，画几何图形，却画出了一片树叶，真是奇妙的图形。例二 画一画。在下面长方形内（长是宽的2倍），按顺序把1和二两点，2和三两点，3和四两点，10和1两点，以及一和2两点，二和3两点，三和4两点，十和一两点用直线连起来。分析与解答想一想：画出的图形像什么？如果按题目所述，把另一半继续画完，会变成什么？请你试一试。【例三】 在下列图形中，左边的两个图形相组合变成了右边图形，找出它们的变化规

9、律，在空格处画出适当的图形：【分析与解答】 观察第一组和第二组左边图形与右边图形的关系，可以发现，把左边两个图形重叠在一起，可以得到右边的图形。解：【例四】 观察下面各图形的变化规律。根据这个规律，画出第四个图形。【分析与解答】 （1）主要观察阴影部分。图中有两处阴影部分，应该先抓住某一处阴影部分进行观察。如果从阴影部分是三角形着手，可以看到，第一幅图的三角形在左上的方格内，且三角形的两条夹角的边在中间“+”上；第二幅图的三角形在右上的方格内，且三角形的两条夹直角的边也在中间“+”上；第三幅图的三角形在右下的方格内，且三角形的两条夹直角的边也在中间“+”上。就是说，这幅图是按顺时针方向旋转的。

10、再看阴影部分是梯形的，也符合按顺时针方向旋转的变化规律。 （2）运用上述观察方法，可以发现，它是按逆时针方向旋转变化的。 解： （1） （2）【例五】 找不同。在下面两组图中，每组中有一个图形与其他三个不同，是哪一个图形？（1）【分析与解答】 （1）粗粗一看，以为这四个图形是一样的。如果从运动的角度来看，例如拿第一个图形来做实验，把它作旋转运动，那么，第一个图形可以旋转变换成第二个图形，也可以变换成第三个图形，却不能变换成第四个图形。所以，第四个图形与该组其他图形不同。 （2）从图的形状看，有2个直线形和2个曲线形，不能确定哪一个图形与其他三个不一样；从图的大小来看，每个图中的两个阴影部分都分

11、别相等；从图的位置看，每幅图中的两个阴影部分都在直线的两旁；怎么办？能不能动手拆一拆，就是沿着中间的一条直线折一折。可以发现、三幅图，两个阴影部分完全重合。这样，就能断定图与众不同。 解：（1） 图 （2）图【例六】 在下图中，沿虚线把它剪开，通过哪些几何变换手段变换出哪些图形？请把这些图形画出来：【分析与解答】 根据题意，它是要求我们剪一剪、拼一拼。这里的“拼一拼”，实质是在进行几何变换。由于拼法很多，也就是有很多种几何变换手段，我们就要有序地思考。 （1）平移变换。把剪下的小三角形分别向左、向下、向右移动，可得到下列一些图形：等 （2）旋转变换。把减下来的小三角形分别向左、向右旋转，可得到

12、下列一些图形：等 （3）对称变换。把剪下的小三角形分别向左、向右翻转，可以得到下列一些图形：等 所以答案不是唯一的。练习二1、画一画。任意一个长方形，然后分别把长和宽10等分，最后把对应的两点（类似例2）用直线连接起来。2、下列各组的两个图形，把它们重叠起来是什么图形？把这个图形画出来。(1)(2)3、观察图形的变换规律，根据这个规律，画出第四个图形。（2）4、找不同。哪一个图形与其他三个图形不同？5、在下图中，沿虚线把它剪开。通过哪些几何变换，能变换出哪些图形？请你把它画出来。6、下图是小明设计的美丽图案，你也能自行设计出一些美丽的图案吗？请你试一试。第三讲 趣味24点 小丁参加学校口算比赛

13、得了奖，他得意极了。爸爸看在眼里，建议与小丁展开一次“24点口算比赛”。小丁一口答应。爸爸讲明了比赛规则：任意出示四张扑克牌，进行加、减、乘、除计算，也可以用括号，每张牌只能用一次，谁先算出24，谁就获胜；也有可能出示的四张牌无论怎么样计算，都无法得到结果是24，这时可以换一张牌，继续比赛。不料，一连十多次的较量，小丁总及不上爸爸的反应快。小丁有点泄气了，爸爸劝告他：“成功时不要太得意，失败时不要太灰心。”小丁点点头。紧接着小丁缠着爸爸，要爸爸教他一点“24点口答赛”的技巧。亲爱的小朋友，你有兴趣吗？一起来参加吧！【例一】 下面两组牌，都能算出24点吗？如果能，写出计算过程。【分析与解答】 根

14、据题目所提供的第（1）组图四张牌，我们发现要算出24点，只要将牌3、牌6两张上的数相乘得出18，再依次加上另外两张牌上的数1、5，就得到24.同样道理，根据题目所提供的第（2）组四张牌，无论怎样运算，都无法得到结果24，也就是说，它不能算出24点。解： （1）36+1+5=24； （2）不能算出24点。想一想，第（1）组四张牌你还有什么不同的算法吗？【例二】 给出四张牌2、4、6、8，你能有几种不同的24点算法？【分析与解答】 根据提供的2、4、6、8这四张牌，每张牌只能用一次，进行加、减、乘、除计算，也可以用括号，只要结果是24，即达到目的。当然，方法可能是多种的。 解： 8+4+62=24

15、， 2684=24 ， （62）4824 684224， 842624， 842624 842624， 462824， 862424 【例三】 给出四张相同的牌，能算出24点吗？【分析也解答】 四张相同的牌算24点，实质上就是在这四个相同数中间填上“+、”的符号，也可以用括号，使计算结果是24.经尝试后发现有的四个相同的数经过一定的运算，结果等于24；有的四个相同的数，无论怎样计算，结果不等于24.具体地说：四张1、四张2、四张7、四张8、四张9、四张10、四张J、四张K都不能算出24点。其他四张相同数的 都行。解： 333324 444424 555524 666624 1212121224

16、【例四】 给出一张Q与任意三张相同的牌能算出24吗？【分析与解答】 经过尝试，你一定能发现任意三张相同的牌经过计算，一定能得出结果2，只要再将2与Q（Q=12）相乘，最后结果必然等于24，所以Q与三张相同的牌一定能算出24. 解：（1+11）12=24， （22）21224， （33）31224， （44）41224， （55）51224， （66）61224， （77）71224， （88）81224， （99）91224， （1010）101224， （1111）111224， （1212）121224， （1313）131324。练习三1、判断题：下面每组四张牌中能否算出24，如果能算，

17、在（ ）内打“”，不能则打“”。 （1）10、10、10、10（ ） （2）A、2、3、4 （ ） （3）5、6、7、8 （ ） （4）8、8、8、8 （ ） （5）4、4、4、4 （ ） （6）7、7、7、Q （ ） （7）J、J、J、Q （ ） （8）10、J、Q、K （ ） （9）1、6、7、J （ ） （10）2、3、4、5 （ ）2、用4、3、3、9四张牌，算出24。3、用4、4、10、10四张牌，算出24。4、用7、8、8、10四张牌，算出24。5、用1、3、4、6四张牌，算出24。6、用1、6、7、J四张牌。算出24。7、用4、5、7、K四张牌，算出24。8、用Q、8、2、3四张

18、牌，算出24。9、用4、6、8、四张牌，你能用不同的方法算出24吗？10、用Q、K、K、K四张牌，算出24。11、给出四张连号的牌，你能算出24吗？12、同桌两人，进行24点比赛，看谁能获胜！第四讲 趣味图形【例一】 下图中的图形各有几条对称轴？等腰三角形正方形长方形等腰梯形圆形等边三角形【分析与解答】 要知道图形有几条对称轴，首先我们要明白什么是轴对称图形。把图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能能完全重合的，这种图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 解：等腰三角形有1条对称轴； 正方形有4条对称轴； 长方形有2条对称轴； 等边三角形有3条对称轴； 等腰梯形有1条对称轴； 圆有无数条对称

19、轴。等腰三角形正方形长方形等腰梯形圆形等边三角形【例二】 用对角线（彼此不相交）把一个五边形划分成三角形，有几种情况？【分析与解答】 将五边形划分为若干三角形，为了不遗漏不防先选择一个五边形的顶点着手划分，然后再依次选择其他顶点，进行同样划分，不难发现共有5种情况。解： 【例三】 用13根木料组成6个同样大小的长方形，如下图把这6个长方形看成6个小花圃，如拿走1根木料，问：下面的12根还能不能做成6个大小相等，形状相同的小花圃呢？（不能将木料锯断，各根木料应连接）【分析与解答】 在这里，我们要发挥思维的创造性，不要受思维定势的束缚，对图形思考的角度要多样化，打破小花圃是四方形状的固定概念。解：

20、【例四】 如图，把一个沿边是阿拉伯数字的圆片剪成6块，要求每块的数字加起来都一样，该怎么划分呢？【分析与解答】 问题要求将圆片剪成6块，每块的数字和要求相等。为了满足这个要求，我们可以先将图片上的12个数相加，算出其平均数，它就是分成6块后每块的数字和。根据圆片上告诉我们的12个数字，我们可以计算出：（2+4+6+22+24）6=26，这个26就是每块上的数字和。根据这个结论，将圆片剪成符合要求的6块就不成问题了。练习四1、下面字母中，是对称轴图形的请画出对称轴。 A B C D E F G H I J K L M N O P Q I S T U V W X Y Z2、育才小学后操场有一块如下

21、所示的草地，要分给四个护绿小组，并且要把这块地分得形状、大小都一样，该怎么分？3、用24根小棒搭成3个正方形（如图），怎样移动改变这三个图形的位置，就可以多出四个小正方形？4、一块蛋糕上有7颗樱桃，现在只能切三刀，但要把它分成7块，每块上面有一颗樱桃，怎么分？5、如图，从16个小圆片中拿走6个，但留下的圆片必须横行、竖列都是偶数个。6、如图，游乐园内有迷宫，一名游客小雨从入口进入，她要走遍每个交叉口，但不能走重复路线。你知道小雨是怎样行走的吗？ABFECDLRKQUTJIHGMSNOP入口7、你能将下面的正六边形等分成12个菱形吗？8、用20根小棒搭成如下两个图形甲和乙，且甲图的面积是乙图的3

22、倍。如果从甲图拿走一根小棒到乙图，并且对这两个图形略作改动，使甲图的面积仍然是乙图的3倍，你行吗？甲乙第五讲 变与不变【例一】 填写下表，说出哪个数变化了，是怎样变化的？加数加数和505050304060加数加数和506070302010（2）（1）【分析与解答】 先计算填表，再仔细观察表格。可以从左往右看，也可以从右往左看，探索和与加数的变化规律。加数加数和5050503040608090110解：（1）我们发现和的变化规律：一个加数不变，另一个加数增加几或减少几，它们的和也增加或减少相同的数。加数加数和506070302010808080 （2） 我们发现和的变化规律：一个加数增加几，另一

23、个加数减少相同的数，它们的和不变。【例二】 （1）甲、乙两数相加，甲数增加4，乙数减少4，和发生了什么变化？ （2）甲、乙两数相加，甲数减少15，要使和减少3，那么乙数英发生什么变化？ （3）甲、乙两数相加，乙数增加8，要使和减少4，那么乙数应发生什么变化？【分析与解答】 （1）甲数增加4，和酒增加4；乙数减少4，和就减少4.我们发现和的变化是先增加4，接着又减少4，因此和没有发生变化。 （2）甲数减少15，和就减少15，现在要使和减少3，那么，乙数应该增加153=12. （3）乙数增加8，和就增加8，现在要使和减少4，那么甲数应减少8+4=12。【例三】 填写下表，说出哪个数变化了，是怎样变

24、化的？因数因数积9279060206因数因数积31530202020（2）【分析与解答】 先计算填表，再仔细观察表格。可以从左往右看，也可以从右往左看，探索因数与积的变化规律。因数因数积3153020202060300600解：（1） 我们发现积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍，积就扩大或缩小相同的倍数。因数因数积9279060206540540540 （2） 我们发现积的变化规律：一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数缩小或扩大相同的倍数，它们的积不变。【例四】 （1）A、B两数相乘，如果因数A扩大5倍，另一个因数B缩小3倍，积将发生什么变化？（2）A、B两数相乘，如果一个因数

25、A扩大18倍，另一个因数B缩小3倍，积将发生什么变化？（3）A、B两数相乘，一个因数扩大8倍，要使积缩小4倍，另一个因数B应该发生什么变化？【分析与解答】 （1）因数A扩大5倍，积就扩大5倍；因数B缩小5倍，积就缩小5倍。我们发现积先扩大5倍，接着再缩小5倍，因此积没有发生变化。 （2）因数A扩大18倍，积就扩大18倍，因数B缩小3倍，积就缩小3倍，也就是积先扩大18倍，再缩小3倍，因此积扩大183=6（倍）。 （3）一个因数A扩大8倍，积就扩大8倍，现在要使积缩小4倍，另一个因数B应该缩小84=32（倍）。【例五】 填写下表，说出哪一个数变化了，是怎样变化的？被减数减数差4050601010

26、10 （1） 被减数减数差505050403020 （2）被减数减数差405060203040 （3） 【分析与解答】 先计算填表，再仔细观察表格。可以从左往右看，也可以从右往左看，探索差的变化规律。被减数减数差405060101010304050 解：（1） 我们发现差的变化规律：减数不变，被减数增加几或减少几，差也增加或减少相同的数。被减数减数差505050403020102030 （2）我们发现差的变化规律：被减数不变，减数增加几或减少几，差反而减少或增加相同的数。被减数减数差405060203040202020 （3） 我们发现差的变化规律：被减数增加几或减少几，减数减少或增加相同的数

27、，它们的差不变。【例六】 （1）两数相减，如果被减数减少17，减数增加17，差将发生什么变化？ （2）两数相减，减数增加12，如果要使差增加12，被减数应发生什么变化？ （3）两数相减，被减数减少18，如果要使差减少23，减数应发生什么变化？【分析与解答】 （1）被减数减少17，差就减少17；减少增加17，差反而减少17.我们发现差的变化是先减少17，接着又减少17，最后共减少17+17=34。 （2）减数增加12，差反而减少12，现在要使差增加12，那么被减数应增加12+12=24. （3）被减数减少18，差就减少18，现在要使差减少23，那么减数应增加 2318=5。【例七】 填写下表，说

28、出哪个数变化了，是怎样变化的？被除数除数商102040222 （1）被除数除数商50505052550 （2）被除数除数商6306021020 （3）【分析与解答】 先计算填表，再仔细观察表格。可以从左往右看，也可以从右往左看，探索商的变化规律。被除数除数商10204022251020解：（1） 我们发现商的变化规律：除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也扩大或缩小相同的倍数。被除数除数商505050525501021 （2） 我们发现商的变化规律：被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。被除数除数商6306021020333 （3） 我们发现商的变化规律：被除数扩大或缩小几

29、倍，除数也扩大或缩小相同的倍数，它们是商不变。【例八】 （1）两数相除，如果被除数扩大6倍，除数扩大6倍，商将发生什么变化？ （2）两数相除，如果被除数扩大12倍，除数缩小6倍，商将发生什么变化？（3）两数相除，如果被除数扩大4倍，要使商缩小8倍，除数将发生什么变化？【分析与解答】 （1）被除数扩大6倍，商就扩大6倍；除数扩大6倍，商反而缩小6倍。这样我能发现商先扩大6倍，后又缩小6倍，即商没有发生变化。 （2）被除数扩大12倍，商就扩大12倍；除数缩小6倍，商反而扩大6倍。商的变化是先扩大12倍，再扩大6倍，也就是商扩大了126=72（倍）。 （3）被除数扩大4倍，商就扩大4倍，如果要使商缩

30、小8倍，那么除数应扩大84=32（倍）。【例九】 两个数的商是123，如果被除数和除数都增加3倍，商发生什么变化？【分析与解答】 思考方法一：因为被除数和除数都增加3倍，相当于扩大了4倍，所以商随着被除数的变化，先扩大4倍，再随着除数的变化反而缩小4倍，这样两数的商仍然是123。思考方法二：此类问题也可以采用例举法。 假设：1231=123， 被除数=123（1+3）=492 除数=1（1+3）=4 4924=123。 所以，我们可以发现被除数和除数都增加3倍，商不变。练习五1、填写下表，观察规律：加数加数和增加A减少A增加A减少A不变不变被乘数乘数积扩大A倍缩小A倍扩大A倍缩小A倍扩大A倍缩

31、小A倍扩大A倍缩小A倍被减数减数差增加A减少A不变不变增加A减少A增加A减少A不变被除数除数商扩大A倍缩小A倍扩大A倍缩小A倍扩大A倍缩小A倍扩大A倍缩小A倍不变不变2、判断题： （1）两个数相乘，一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，积扩大100倍。（ ） （2）两个因数相乘的积是1000，一个因数扩大100倍，另一个因数缩小100倍，积是1000。（ ） （3）两个数的商是45，如果被除数减少3，除数也减少3，那么商不变。（ ） （4）如果被减数增加8，减数不变，那么它们的差增加8。（ ） （5）两个数的差是15，被减数增加8，减数也增加8，差是15。（ ） （6）两个数的和是230，

32、第一个加数减少20，第二个加数增加20，差是250。（ ） （7）在除法里，被除数扩大5倍，除数增加5倍，商不变。（ ） （8）如果减数增加9，被减数不变，它们的差反而减少9。（ ） （9）9900200=491。（ ） （10）两个数相除商200，如果被除数扩大100倍，除数扩大4倍，商就变为5000。（ ） 3、回答下列问题： （1）两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加50，那么另一个加数应发生怎样变化？ （2）两个数相加，如果一个加数增加10，要使和减少35，那么另一个加数应发生怎样变化？ （3）两个数相减，被减数增加15，如果要使差增加20，减数应发生怎样变化？ （4）两数相减

33、，减数增加40，如果要使差减少21，被减数应发生怎样变化？ （5）两数相乘，一个因数缩小4倍，要使积扩大20倍，另一个因数应发生怎样变化？ （6）两数相乘，一个因数扩大5倍，要使积扩大25倍，另一个因数应发生怎样变化？ （7）两数相除，被除数与除数分别扩大6倍、3倍，商将发生什么变化？ （8）两数相除，除数缩小10倍，如果要使商缩小5倍，被除数将发生什么变化？4、在减法中，XY，把被减数与减数的变化情况，与差的变化情况用线连起来： （1）被减数增加X，减数减少Y （A）差减少X+Y （2）被减数增加X，减数增加Y （B）差增加XY （3）被减数减少X，减数增加Y （C）差减少XY （4）被减数

34、减少X，减数减少Y （D）差增加2X （5）被减数增加X，减数减少X （E）差减少2X （6）被减数增加X，减数增加X （F）差增加X+Y5、两个因数相乘，积是35，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小5倍，则两数积是多少？6、在乘法中，一个因数扩大x倍，另一个因数扩大y倍（x0，y0），积将发生怎样的变化？7、两数相除，商为50.如果被除数扩大9倍，除数缩小5倍，商比原来增加多少？8、在计算除法时，如果把除数240末尾“0”漏写了，结果得到30，正确的商的多少？第六讲 找隐蔽图形从右边的图形里找出与左边图形完全一样的图形来，并用笔把它勾出来。【分析与解答】 观察一下左边的图形的形状、大小和方

35、位，想一想右边图形中那些线条有可能组成左边图形？哪些线条是不可能组成左边图形的？排除后一类线条的干扰，找一找前一类线条中哪些可以组成左边的图形？ 解： （1） （2）【例二】 从右边的图形里找出与左边完全相同的图形，用笔把它勾画出来。（1）(2)【分析与解答】 当图形复杂时，更要注意分清图形的形状、大小、方位。寻找相同图形时，可以先找出部分图形的方位着手。 想一想：第（1）题，你能先找出哪里有形状是“ ”的这一部分图形吗？与左图比较大小一样吗？方位呢？现在你能找出整体图形吗？第（2）题中，又从什么部分着手呢、你能在右图中找到图形左上侧的“ ” 这一形状吗？利用了图中哪几根线条？现在你能进一步找

36、出隐蔽的图形吗？【例三】 请你在下面图形里找出和上面完全相同的图形。【分析与解答】 （1）要从较复杂的图形找出隐蔽的简单图形，需要边观察、边比较、边研究的方法。 （2）研究时，既要考虑需要找的简单图形的形状、大小、特征，还要考虑简单图形在复杂图形中的位置与比例关系。 （3）排除复杂图形中其他线条的干扰，在复杂图形中想象出简单图形的轮廓，并用笔勾画出来。【例四】 在（1）、（2）、（3）、（4）四个图形里，找出中间这样的图形，看看谁找得多？（1）（3）（2）（4）【分析与解答】中间图形有一个直角三角形与一个正方形组成。直角三角形与正方形组合时，要注意位置、方向、大小和形状。找时可以通过旋转图形，

37、变换位置，从各个角度去分析。图（1）有8个，图（2）有4个，图（3）有24个，图（4）有12个。练习六你能在右边的图形里找出和左边的图形完全一样的图形吗？并用粗笔把它勾画出来。（1）（2）（3）2、在每一个框中，将左边的图作为标准图形，在右边的各图形中分别找出标准图，并用粗笔把它勾画出来。3、在每一个框中，下面的图形里隐藏着上面的图形，把它找出来，并用粗线勾画出来。4、请你在下面的图形中找出和上面完全一样的图形，并且用粗线勾画出来。5、从右边的图形里找出与左边完全相同的图形。并用粗笔把它勾画出来。 （2）（1）6、请你在下面的图形中找出和上面完全一样的图形，并且用粗线勾画出来。(2)（3）(4

38、)7、下面各组图形中，上边的图形中都包含着与下边完全一样的一个图形，请你找一下，然后用粗线把它勾画出来。8、右边的小图是大图中的一部分，是哪一部分，请你找出来。9、请你找一找下面哪几个图形分别隐藏着A或B标准图形，并把它用粗线勾画出来。BA10、右图是由几何图形拼成的踢球人，下图这样的踢球人一共有几个？你能把它们全部找出来吗？第七讲 巧算计算题【例一】 计算： （1）84093521 （2）54249627824【分析与解答】 这两题都可以运用除法运算性质，使运算简便。 解： （1）84093521 =84021935因为840是21的40倍，可根据 =40593 abcdadbc =2009

39、3 进行简便运算。 =18600； （2）（542496）（27824） =（5427）（248）（9624） =234 =24。【例二】 计算： （1）2596125 （2）750001255【分析与解答】 在乘法计算时，尽量根据乘法的交换律和结合律，使两数的乘积为整十、整百、整千数。常见的有52=10,254=100,1258=1000等。第（1）题，可以把96分解成438，以便把4与25,8与125结合起来；第（2）题，虽然是一道乘除题，但可以将75000分解成751000，然后分别算出755、1000125的商，再将两个商相乘。 解 （1） 2596125 = 25438125 = 2

40、5438125 = 10031000 = 300000 （2） 750001255 = 7510001255 = 7551000125 = 158 =120 乘、除法的运算定律与运算性质在简便运算中非常有用。如果你能灵活地用好它们，就能算得又对又快！除了我们已经学过的乘除法运算性质外，我再向你介绍一些：abc=acb=abc;abc=acb=bca;abc=abc=acb;abc=abc=acb;ab=anbn=anbnn0。【例三】 计算 （1） 8888111144447778 （2） 72534124 （3） 4663046037【分析与解答】 （1）如果直接乘，数字较大，容易出错。不妨

41、将8888变成44442，就可以利用乘法分配律进行简便运算了。 = 44442111144447778 = 444422227778 = 444410000 = 44440000（2）粗一看这个算式中没有相同的因数。仔细观察，我们可以发现72和24是有联系的。我们可以把72分解成243，就可以出现相同的因数了。 72534124 =243534124 =243534124 =241594124 =2415941 =24200 =4800（3）因为460是46的10倍，我们可以运用积不变规律，把46037转化成46370，这样两个积中就出现相同因数46，再用乘法分配律进行简便运算。 466304

42、6037 =46630+46370 =46（630+370） =461000 =46000【例四】 计算 （1） 43218+34218+93618 （2） 8805402722【分析与解答】 （1）在除数相同的情况下，可以先将三个被除数相加，然后用它们的和除以18，这样可以使计算简便。 43218+34218+93618 =（432+342+936）18 =171018 =95（2）同时运用乘除混合运算的交换性质和结合性质，用880先除以22，再把除以540乘以27转化为除以540与27的商，这样计算就简便了。 8805402722=8802254027=8802254027=4020=2【

43、例五】 计算9981001【分析与解答】 你一定会想到这样做： 9981001=998（1000+1）=9981000+9981=998000+998=998998这的确是个好方法，不过还有一个更好更快的方法，一起来找一找。我们先来观察一下这些算式：32101=3232,45101=4545,78101=7878，你有什么发现？对了，一个两位数乘以101的积，就等于把这个两位数连写两遍所得的四位数。那么，三位数呢？一个三位数乘以1001的积，就等于把这个三位数连写两遍所得的六位数，所以，9981001=998998.不妨再想一想：3210101=323232,4510101=454545,78

44、10101=787878。练习七1、用简便方法计算下列各题：（1）1252584 （2）1252550284（3）27452+374+147274 （4）512564252、用简便方法计算下列各题：、（1）962324 （2）11425574（3）2800257 （4用简便方法计算下列各题：（1）4672273824 （2）16002716830016000（3）9999964611111 （4）9329945988299494、用简便方法计算下列各题：（1）5600（14008） （2）（115069）23（3）480322883216032（4）456246369

45、4561231235、用简便方法计算下列各题： （1）96101 （2）1001354 （3）4510101 （4）7361001001第八讲 新规则计算新规则计算与我们已经学会的加减乘除运算既有联系又有区别，它是用、等符号，表示一种特定的运算过程或运算顺序。计算时我们要明确定义所确定的运算规则，再把数值代入算式。按顺序正确计算。【例一】a、b都是自然数，规定ab=（a+b）2 计算：35【分析与解答】 因为本题规定ab=（a+b）2，也就是a与b和的一半。现在a=3，b=5，就把3和5分别代入（a+b）2的算式中，就可以求出这个算式的值。 解：35=（3+5）2=82=4。【例二】 x、y都

46、是自然数，规定xy=xy2 计算：（1）86 （2）684 （3）7（108）【分析与解答】 解：（1）86=862=83=5 （2）先算68的值，然后用同样的规则再把算出来的值与5进行运算。 68=682642 684=24222=0 （3）108=1082=104=6 7（108）=76=762=734也可以这样写：7（108） =7（1082） =76 =762 =4【例三】 m、n都是自然数，规定mn=m3n2。 计算：（1）23 （2）（54）+（45） （3）（48）（12）【分析与解答】解：（1）23=2332=6+6=12 （2）（54）+（45） =（5342）+（4352）

47、 =23+22 =45 （3）（48）（12） =（4382）（1322） =187 =4【例四】a、b都是自然数，规定ab=abab ab=a3b22计算：（1）56； （2）218； （3）（48）9【分析与解答】 解：（1）56=5656305619 （2）218=21382277 （3）这是一道两个规则运算的综合题 （48）9=（4848）9=209=203922=76【例五】x、y都是自然数，xy表示x和y 的和被4整除。计算：（1）2（35）； （2）a16=10中的a的值。【分析与解答】 根据题意可得xy=（x+y）4解：（1）2（35） =2354 =22 =（2+2）4 =1

48、 （2）因为a16=10 那么（a+16）4=10 A+16=40 A=24练习八1、a、b都是自然数，规定ab=abab。 计算 ：（1）76 （2）882、a、b都是自然数，规定ab=（ab）2 计算 ：（1）71 （2）（151）3 （3）9（53）3、x、y都是自然数，规定xy=x2y3 计算 ：（1）1516 （2）（35）+（79） （3）（54）（41）4、m、n都是自然数，规定mn=mn1。 计算 ：（1）56 （2）43215、a、b都是自然数，规定ab=（a+b）2 ab=a3b计算：（1）（24）3 （2）6（24）6、m、n都是自然数，规定mn=m+n+1 m n=m+

49、n1计算：468 357、x、y都是自然数，xy表示x与y的2倍的和。 计算：（1）（53）（42） （2）15（76）8、a、b都是自然数，规定ab=（a+b）5 计算：9x=40中的x的值。第九讲 数字站队【例一】 用三个4和两个0写出满足下面条件的五位数。只读出一个零；只读出两个零；一个零也不读出来。【分析与解答】 两个零在一个五位数中会有各种读法，主要看零在哪个数位上。（1）读数时，中间有一个0或者连续有几个0，都读一个0.每级末尾的0都不读。因此，要写出只读一个零的数，有两种写法：一个把两个零连续摆在数的中间，不可放在每级的末尾。比如：40044,44004.另一种把两个0分开摆在数

50、的中间，一个在每级的末尾，使它不读出来，另一个不放在每级的末尾，使它读出来。比如：40440,44040.所以，本题只读一个零的数是：40044,40440,44004,44040.（2）要读出两个零的数，不能把两个连续写，应该分开写，要注意0不能写在每级的末尾。本题读出两个零的数只有40404。（3）零读不出来的数，可以把这两个0连续写，也可以分开写，但必须写在每级的末尾。本题只有五位数，这两个0只能连续写。这个数只有44400。【例二】 用6、8、0、5四个数组成最大的四位数是多少？最小的四位数是多少？【分析与解答】 写最大四位数时，可以把4个数字从大到小排列。然后，从高位到低位，分别把这

51、些数字写在各数位上，得到最大的四位数：8650。写最小四位数时，可以把4个数从小到大排列，由于最高位不能为0，只要把0与其他三个数中最小的数交换位置，然后从高位到低位分别把这些数字写在各数位上，得到最小的四位数：5068。【例三】 用5、6、4、9四个数字能写出那些数字不重复的四位数？【分析与解答】 写出所有的四位数，要做到一个不遗漏，一个不重复，必须有规律地选数与写数。选数时可以从小到大排列，（也可以从大到小排列）。写数时，先把一个数字固定在一个数位上，逐次改变其他数字的位置。如果先把4固定在千位上，这些数有4569、4596、4659、4695、4956、4965。如果先把5固定在千位上，

52、这些数有5469、5496、5649、5694、5946、5964。如果先把6固定在千位上，这些数有6459、6495、6549、6594、6945、6954。如果先把9固定在千位上，这些数有9456、9465、9546、9564、9645、9654。这样的四位数共有24个。要正确写出这些数，你能做到一个不漏、一个不重复吗？【例四】 用4、6、7、8四个数，可以组成多少数字不重复的四位数？【分析与解答】 本题要说出共有多少四位数，如果把所有四位数写出来，再数一数，显然太麻烦了，那该怎么办呢？同学们想一想，写数的顺序是怎样的呢？应该从高位到低位，逐一写出各数位上的数。那么，先写千位上的数，有几种

53、可能呢？千位上的数，可以在4、6、7、8中任选一个，所以有4种选法。百位上的数有几种可能呢？百位上的数只能从剩余的三个数中选一个，所以有3种选法，同样道理，十位上的数只能从剩下的两个数中选，所以有2种选法，个位上的数是各数位选定以后剩下的一个数，所以只有1种选法。 最后把各数位上确定是什么数字的个数相乘，得到的数就是共有多少个四位数的个数。4321=24（个）练习九1、你能用三个0，三个8写出一个零也不读的六位数吗？（把数填上 里）2、你能用三个0，三个7写出要读出两个零的六位数吗？（把数填上 里）3、你能用三个6和三个0写出只读出一个零的六位数吗？（把数填在 里）4、用两个5、三个0写出满足

54、下面条件的五位数。 （1）读出一个零； （2）一个零也不读出来。5、用7、5、0、0、1五个数字组成最大的五位数是多少？组成最小的五位数是多少？6、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字写出最大的十位数，最小角的十位数。7、由2、3、4这三个数任选两个，组成每个数中数字不重复的两位数有多少个？然后你写出这些数，数一数个数，证实你的答案对不对。8、用6、4、2三个数字可组成哪些各数位上数字不相同的三位数？9、用3、7、9三个数字可组成哪些每个数中数字不重复的三位数？10、用4、0、5三个数字可组成哪些每个数中数字不重复的三位数？11、用6、0、4、9四个数字可组成哪些每个数中数字不重

55、复的四位数？12、用4、5、7、6、3五个数字可组成哪些每个数中数字不重复的五位数？第十讲 生活中的数学问题【例一】 平均分语文数学英语92分91分96分 小张交给小奇一张破损了的语文、数学、英语成绩积分单，从表中你能知道小奇的英语成绩是多少吗？【分析与解答】 这虽然是一张破损了的积分单，已经看不到英语分数的记载。但只要从平均成绩92分上深入思考，这样运用“平均数份数=总数”这个关系式，三门功课的总分就能轻易得出。再用总分分别减去语文、数学的分数，所得的结果即是小奇的英语的分数。 解：9239196=89（分） 答：小奇的英语的分数是89分。【例二】 5月份学校开展“节约用电”的宣传活动后，前

56、4天平均每天节约用电15度，后6天平均每天节约用电10度，问：5月份上旬该学校平均每天节约用电多少度？【分析与解答】 本题中没有明确给出总数量与总份数，需要用平均数的基本数量关系先求出总数量，千万不要将15+10当作节约用电的总数，它仅仅是两段时间内每天的平均节约用电数量。弄清这个问题后，只要将求出的钱3天节约用电的总数与后7天节约用电的总数相加，得出5月份上旬节约用电的总数，然后依据平均数的定义求出上旬平均每天节约用电的度数。 解：（154+106）（4+6）=12（度） 答：5月份上旬该学校平均每天节约用电12度。【例三】 一个学习小组由10个同学，在一次数学考试中小英因参加演出缺考，其余

57、9个同学平均成绩为89分，后来小英的补考成绩是99分。问：这个学习小组数学考试的平均成绩是多少？【分析与解答】 要求这个学习小组数学考试平均成绩，就要用这个小组的数学考试总分除以这个小组的总人数。根据已知条件，9个同学的平均成绩是89分，可求得9个同学的数学总分，再加上小英的补考成绩，就可求得这个小组10个同学的考试总分，从而求出这个小组数学考试的平均成绩。 解：（899+99）（9+1）=90（分） 答：这个学习小组数学考试的平均成绩是90分。【例四】 不计算，问：86、94、84、85、79这五个数的平均数大约在以下哪个范围内？ （1）7580 （2）8085 （3）8590 （4）909

58、5【分析与解答】 从已知的五个数中，我们看出只有一个数高于90低于95，一个数比80少1，其余三个数都在85左右，可初步判断这五个数的平均数范围不会在7580、9095之间，立即排除供选择答案（1）、（4）。继续分析，我们发现86、84、85三个数通过移多补少平均数位85,79笔85少6，而94笔85多9，由此我们可排除答案（2），本题平均数不会在8085之间，必然在8590这个范围内。解：86、94、84、85、79这五个数的平均数大约在8590这个范围内。【例五】 两份点心和两杯饮料共用28元，一份点心和三杯饮料共用18元。问一份点心和一杯饮料各需要多少元？【分析与解答】 从“两份点心和两

59、杯饮料共用28元。”我们知道“一份点心和一杯饮料共用14元。”另外，题目中又告诉我们“一份点心和三杯饮料18元”所以我们可以得出2杯饮料共4元，那么一杯饮料需2元。根据“一份点心和一杯饮料共14元”我们就可以知道一份点心需12元。 解：先求每杯饮料多少元？ （18282）（31）=2（元） 再求每份点心多少元？ 2822=12（元）答：每份点心需12元，每杯饮料需2元。【例六】 有一套书分上、下两册，售价是1元（100分）。现在上册买5本，下册买七本，共付6.10元（610分）。这套书的上册和下册的价格各是多少？【分析与解答】 题中告诉我们“一套书分上、下两册，共需1元”那么我们可以知道“5套书，即上下册各5本”共需15=5（元）。接着题目中又告诉我们“上册买5本，下册买7本，共需6.10元”比较这两个条件，我们可以看出2本下册需6.105=1.10（元），那么一本下册需1.102=0.55（元） 知道了一本下