二次函数的对称性与增减性课件

1、二次函数的对称性与增减性基础知识点回顾二次函数y=ax+bx+c(a,b,c为常数且a0)此函数的对称轴为直线_（用a、b表示）若函数图象与x轴相交于点A（1，0）、B( 5，0)，则对称轴可表示为直线 ；x=3若函数图象与x轴相交于点A（x1，0）， B（ x2，0），则对称轴可表示为直线 ；若点(x1, n),( x2 ,n)在抛物线上，则抛物线 的对称轴可表示为_温故知新 探究总结 1、抛物线的顶点坐标为（0，4），与x轴的一个交点坐标为M（2，0），请写出抛物线与x轴的另一个交点坐标N( )2,0 若抛物线上有一点A的坐标为( -1 ，3)，在抛物线上与A关于对称轴对称的点B的坐标是(

2、 ).1,3 如果有一点C的横坐标为x，则C点坐标怎么表示？C（ ）.y=-x2+4x,-x2+4 在抛物线上与C点关于对称轴对称的点D的坐标是D（ ）-x,-x2+x总结：在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征纵坐标相等 2.如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象与x轴的一个交点坐标为M（1，0），请写出抛物线与x轴的另一个交点坐标N( )5, 0若抛物线上有一点A的横坐标为2，则A点坐标为( ).y=-(x-3)2+42, 3在抛物线上与点A关于对称轴对称的点B的坐标是 ( )4, 3如果有一点C在抛物线上,横坐标为x(x3)，则C点坐标为C（ ）x, -(x-3)2+4在抛物线上，

3、点D与点C关于对称轴对称，点D的坐标是( ）6-x, -(x-3)2+4明察秋毫 快速反应 如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的 函数值y与自变量x的对应值. x-5-3-20356. y2770-8-5716找出抛物线上关于对称轴对称的两点 。 写出抛物线的对称轴 。 抛物线与x轴的交点坐标是 。(-3,7)、(5,7)x=1(-2,0)、(4,0)抛物线上一点 (m,n) 关于对称轴对称的点为： 。(2-m, n)几个重要结论：1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线： 3、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线

4、对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线： 2、若抛物线与轴的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)，则抛物线的对称轴是： 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A(x1,0)，且其对称轴是x=m，则另一个交点B的坐标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象） x2=2m-x1x2=2m-x1 5、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，0与x1+x2关于 对称对称轴如图：巧用“对称性” 化繁为简抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,该抛物线在y轴右侧部分与

5、x轴交点的坐标是 _(1,0)(一)求点的坐标(函数值)1、如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点，B的坐标为（ ，0），则点A的坐标是_ 2、已知关于x的方程ax2+bx+c=3的一个根为x1=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A(2，-3 ) B(2，1) C(2，3) D(3，2)C 3、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( )A(0.5，0) B(1，0) C(2，0) D(3，0)B 4、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数y=ax2+bx+5(a

6、0)的图象上两点,则当x=x1+x2时,二次函数的值是( )A. 5 B、5+ C. 2013 D. 5ABB(x1+x2,0)点O与点B关于点A对称即：0与x1+x2关于 对称。D 5、若二次函数y=ax2+c ，当 x 取x1 ，x2 （x1 x2 ）时，函数值相等，则当x取 x1 +x2 时，函数值为（ ） A、a+c B、ac C、c D、cD0与x1+x2关于 对称。 6、抛物线y=ax+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标是_(1，-8) 1、已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的顶点坐标为（-1，-3.2）及部分图象如

7、图，由图象可知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根分别为x1=1.3，x2=_(二)求方程的根-3.3 2、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a0)与x 轴交于A(x1,0)、B(3,0) 两点，则线段AB的长度为（ ）A 1B 2C 3D 4D(三)求代数式的值(函数值) 1、抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线 x=1 ，且经过点 P（3，0），则ab+c 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 A若将对称轴改为直线x=2，其余条件不变， 则 a+b+c= .02、若y=ax2+5 与x轴两交点分别为（x1 ,0),(x2 ,0) ，则当x=x1

8、+x2时，y值为_5(四)求函数解析式 1、已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为_;函数解析式为 。(-1,0) 2、已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0），且函数有最小值-8，试求 二次函数解析式.对称轴x=1设解析式为y=a(x+1)(x-3)或y=a(x-1)2-8y=2x2-4x-6(五)比较函数值的大小 1、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(-1，y1),(0.5，y2 ),(-3.5，y3)则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（） A、y1y2y3 B、

9、y2y3y1 C、y3y1y2 D、y3y2y1离对称轴越近函数值越小D 2、设A(2, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)是抛物线 y= (x+1)2+m上的三点，则 y1、y2、y3的大小关系为( ) A.y1y2y3 B. y1y3 y2 C. y3y2y1 D. y3y1y2离对称轴越近函数值越大A离对称轴越近函数值越小 1、如图函数 y=x2x+m(m为常数)的图象如图，如果x= a 时，y0；那么x= a1时，函数值（ ）Ay0 B0ym Cym Dy=m1a-1mCa(六)判断命题的真伪2、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬 说：过点(4，3)

10、；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截 得的线段长为2你认为四人的说法中，正确的有( )A1个B2个 C3个 D4个已知抛物线 y=ax2+bx+3与x轴交于(1,0).试添加一个条件，使它的对称轴为直线x=2.C抛物线过(1,0),(3,0)(1+3) 2=2.小华正确抛物线过(0,3),(4,3)(0+4) 2=2.小彬正确a=1时，0=1+b+3,b=-4小明正确被x轴截 得的线段长为2抛物线过(1,0)、(-1,0)或过(1,0)、(3,0)小颖错误巧用“对称性” 化线为点1、 求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。 方法一：将一般形式化为顶点式y=a(x-h)2+ky=

11、2(x-1)2-7抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线 的解析式为：y=-2(x-1)2+7开口向上变为开口向下顶点（1，-7）变为（1,7）点（x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的 抛物线解析式为：y=-2x2+4x+5 y=-ax2-bx-c1、 求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。 方法二：在抛物线 y=ax2+bx+c上任取一点(x,y)抛物线 y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线 的解析式为：-y=ax2+bx+c若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便若原抛物线是一般形式：选用方法二简便2、求抛物线y=2x2-4x-

12、5关于y轴对称的抛物线。在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y)y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线位y=2 (-x)2-4(-x)-5即：y=2 x2+4x-5在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)3、求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成 中心对称的抛物线。y=2x2-4x-5关于原点对称的抛物线为-y=2 (-x)2-4(-x)-5即：y=-2 x2-4x+54、求抛物线 y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180 得到的抛物线y=2(x-1)2-7化为顶点式：顶点坐标（1，-7）开口相反，顶点不变y=2x2-4x-5绕着

13、 顶点旋转180得到的抛物线为y=-2(x-1)2-7“将军饮马” 问题唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说： “ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”作点A关于河流的对称点AAB交河流于点P则AP+BP=AB最短巧用“对称性” 求距离和差最值如图,抛物线y0.5x2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D,且A(1，0).若点 M（m,0)是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值若点N(n,0)是对称轴上的一个动点，当NANC的值最小时，求n的值.在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得ACQ周长最小？在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？二次函数专题

14、训练之增减性yOx-1-212-33-112-21、若二次函数y=ax2+c，当x取x1,x2（x1x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是（ ）（A）a+c （B）a-c （C）-c （D）c练：一元一次方程y=ax2+bx+c的根为x1,x2且x1+x2=4，点A（3，-8）在二次函数y=ax2+bx+c上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 。 2、抛物线y=a(x+1)2+2的部分图像如图所示，该抛物线在y轴右半部分与x轴的交点坐标是（ ）（A）（0.5，0） （B）（1，0） （C）（2，0） （D)（3，0）练：抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，若y0,则x的取值范围是 .113O