概率统计基础培训教材详细优化版本中级质量工程师用ppt课件

1、概率统计根底知识宁波南车时代传感技术质量平安部目录Page 2第二部分随机变量及其分布第一部分概率根底知识概率根底知识一、事件与概率一随机景象1、定义：在一定条件下，并不总是出现一样结果的景象称为随机景象。2、随机景象的特点： 随机景象的结果至少有两个； 至于哪一个出现，事先人们并不知道。3、样本点抽样单元：随机景象中的每一个能够结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。4、样本空间：随机景象一切能够样本点的全体称为这个随机景象的样本空间，常记为。认识一个随机景象首要的就是能罗列出它的一切能够发生的根本结果。Page 3例一天内进某超市的顾客数: =0,1,2,一顾客在超市购买的商品数: =0,1

2、,2,一顾客在超市排队等候付款的时间: =t:t 0一颗麦穗上长着的麦粒个数: =0,1,2,新产品在未来市场的占有率: =0,1一台电视机从开场运用到发生第一次缺点的时间: =t:t 0加工机构轴的直径尺寸: = 一罐午餐肉的分量： = Gg 概率根底知识Page 4二随机事件定义：随机景象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用 大写字母A、B、C 等表示。1、随机事件的特征任一事件A是相应样本空间中的一个子集；事件A发生当且仅当A中某一样本点发生；事件A的表示可用集合，也可用言语，但所用的言语应是明确无误的；任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是，它对应的事件就是必然事

3、件，仍用表示；任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不能够事件，记为。概率根底知识Page 52、随机事件之间的关系包含：【假设事件A发生必然导致事件B发生，那么事件B包含事件A，记为 B A 或 A B。】 互不相容： 【假设事件A与B不能同时发生，那么称事件A与B互不相容。】互斥 两个事件间的互不相容性可推行到三个或更多个事件间的互不相容。 概率根底知识A BBASA与B互斥ABPage 6相等：【假设事件A与B有一样的样本点，那么称事件A与B相等。】假设事件A包含事件B ，事件B 也包含事件A ，那么称事件A 和B相等。例掷骰子：=1，2，3，4，5，6，设

4、事件A =“等于小于4的数=1，2，3，4，事件B =“偶数=2，4，6，显然A与B有一样的样本点2，4，但事件A与B 并不相等。可定义为“假设事件A与B有完全一样的样本点，那么称事件A与B 相等。5概率根底知识Page 7三事件的运算对立事件又称为互逆事件或逆事件【在中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件互逆事件。记为 读非A。】概率根底知识互逆事件A补充：互斥事件与互逆事件的区别：互斥事件：假设事件A与B不能同时发生，即AB = ，那么称事件A与B互不相容。互逆事件：假设事件A+B=，AB=，那么称A与B为互逆事件对立事件。 两事件互逆，必定互斥；但两事件互斥，不一定互逆。 互斥事

5、件适用于多个事件,但互逆事件只适用于两个事件。 两事件互斥，只阐明两事件不能同时出现，即至多只能出现其中一个，但可以都不出现。两个事件互逆，那么表示两个事件之中有且仅有一个出现，即一定了至少有一个出现。 Page 8事件A与B的并又称为和事件【由事件A与事件B中一切样本点组成的新事件为A与B的并，记为AB或A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】概率根底知识ABABS事件A与B的交又称为积事件【由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为为事件A与B的交，记为AB，简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】ABABPage 9事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样

6、本点组成的新事件称为A对B的差，记为AB。】 概率根底知识A-BBA例：打靶，最高环数为10环。假设设事件A = 击中三环以上的事件=3，4，5，6，7，8，9，10，事件B = 最多击中4环的事件 = 0，1，2，3，4。那么 AB = 5，6，7，8，9，10 = 击中5环以上的事件；另 BA = 0，1，2 = 最多击中2环的事件Page 10Page 11概率根底知识事件运算具有如下性质：1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶律： 以上性质都可推行到多个事件运算中去。

7、例甲、乙、丙三人各向目的射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目的，试用A、B、C的运算关系表示以下事件：四概率 事件发生能够性大小的度量 一个随机事件A发生能够性的大小用这个事件的概率PA来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的能够性就愈大；概率愈小，事件发生的能够性也就愈小。 特别地，不能够事件的概率为0，必然事件的概率为1。即： P() = 0 P() = 1 概率根底知识Page 12二、概率的古典定义与统计定义一古典定义用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：1所涉及的随机景象只需有限个样本点，设共有 n 个样本点；2每个样本点出现的能够性是一样的等能够性

8、；3假设被调查的事件A含有 k个样本点，那么事件A的概率定义为：概率根底知识乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，那么完成这件事共有n1n2种方法加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，那么完成这件事共有n1+n2种方法。可以推行到多个步骤和途径事件。Page 13二统计定义用概率的统计定义确定概率方法的要点如下：1此随机景象是能大量反复实验的；2假设在n次反复实验中，事件A发生kn 次，那么事件A发生的频率为 3频率 会随反复实验次数添加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。Page 14概率根底知识例投掷

9、一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右。概率根底知识实验的次数正面 /实验次数1.000.000.250.500.750255075100125Page 15三、概率的性质及其运算法那么一概率的根本性质及加法法那么性质1：概率是非负的，且数值介于0与1之间， 0 P(A) 1，特别，P() = 0, P() = 1性质2： 或 性质3：假设A B，那么性质4：性质5：概率根底知识Page 16Page 17二条件概率、概率的乘法法那么及事件的独立性1条件概率与概率的乘法法那么条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发

10、生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：性质6：乘法法那么对恣意两个随机事件A与B，有 PAB=P(B)PA|B P(B) 0 =P(A)PB|A P(A) 0 概率根底知识2独立性与独立事件的概率 设有两个事件A与B，假设其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，那么称事件A与B相互独立。 性质7：假设两个事件A与B相互独立，那么A与B同时发生的概率为 性质8：假设两个事件A与B相互独立，那么在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。概率根底知识Page 18Page 19例一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配

11、件，质量情况如下表所示 从这200个配件中任取一个进展检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率甲乙两个供应商提供的配件 正品数次品数合计供应商甲 84690供应商乙 1028110合计18614200概率根底知识Page 20概率根底知识解：设 A = 取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件 1 2 3 4Page 21例某厂消费的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。

12、求该厂产品的报废率。解：设 A=消费的产品要报废 B=消费的产品要调试知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，概率根底知识随机变量及其分布一、随机变量1、定义：用来表示随机景象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母 x、y、z表示 。例如，在灯泡寿命实验中，令X为“灯泡寿命(小时)，那么X为一随机变量。 X500，X1000，800X1200等表示了不同的随机事件。2、分类：Page 22离散型随机变量：假设一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，那么称此随机变量为离散随机变量。延续型随机变量：假设一个随机变量的一切能够取值充溢数轴上一个区间

13、a，b，那么称此随机变量为延续随机变量。二、随机变量的分布 随机变量的取值是随机的，但其内在还是有规律性的，这个规律可以用分布来描画。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布。分布包含如下两方面的内容：1 X能够取哪些值，或在哪个区间上取值。2 X取这些值的概率各是多少，或X在任一小区间上取值的概率是多少？ 随机变量及其分布Page 23Page 24一离散型随机变量的分布 假设随机变量X只能取有限个值或可列无穷多个值，那么称X为离散型随机变量。设X的一切能够取值为 ，为了描画随机变量 X ，我们不仅需求知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。 定义1 ：设xk(k=1,2, )

14、是离散型随机变量X所取的一切能够值，称为离散型随机变量X的概率分布简称分布列, 又称分布律。 其中 (k=1,2, ) 满足：1 k=1,2, 2随机变量及其分布Page 25例某篮球运发动投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布。解：X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1也可表示为：这就是X的概率分布列。随机变量及其分布二延续型随机变量 延续型随机变量的分布可用概率密度函数p(x)表示，也

15、可以用f(x)表示。延续型随机变量还可用概率分布函数F(x)表示。对延续型随机变量X，假设存在非负可积函数(x)，使得对恣意实数 x，有那么称(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。由上述性质可知，对于延续型随机变量，我们关怀它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关怀的是它在某一区间上取值的问题 假设知延续型随机变量X的密度函数为f(x),那么X在恣意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为：随机变量及其分布Page 26Page 27随机变量及其分布三、随机变量分布的均值、方差与规范差 随机变量X的分布概率函数或密度函数有几个很重要的

16、特征数，用来表示分布的集中位置中心位置和分布大小。两个最重要的特征数：1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的分布大小，Var(x)1、均值的计算公式随机变量及其分布Page 282、方差的计算公式3、规范差的计算公式随机变量及其分布Page 2930随机变量及其分布均值与方差的运算性质：1设X为随机变量，a与b为恣意常数，那么有： E(aX+b) = aE(X) + b Var (aX+b) = a2Var(X) 2对恣意两个随机变量X 1与X 2，有： E(X1 + X2) = E( X1 ) + E( X2 ) 3设随机变量X 1与X 2独立，那么有： Var(X1 X

17、2) = Var( X1 ) +Var ( X2 ) 随机变量及其分布Page 31四、常用分布一常用离散型分布 常用离散型随机变量的分布有：单点分布退化分布、两点分布0-1分布、几何分布、二项分布、泊松分布、超几何分布等，按教材重点引见后三种。随机变量及其分布Page 321、二项分布1反复进展 n 次实验；2 n 次实验间相互独立；3每次实验仅有两个能够结果；4胜利的概率为p，失败的概率为1-p； 在上述四个条件下，设x表示n次独立反复实验中胜利出现的次数，那么有 这个分布称为二项分布，记为bn，p。 均值：E(x)=np 方差： Var(x)= np (1-p) 随机变量及其分布Page

18、 33Page 34例有一忙碌的汽车站,每天有大量汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车经过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?解：设 1000 辆车经过，出事故的次数为 X，那么故所求概率为二项分布 泊松分布随机变量及其分布2、泊松分布 在一定时间内出如今空间给定区域的随机质点的个数为k的概率服从泊松分布：泊松分布可用来描画不少随机变量的概率分布。例如：1一块钢板上的气泡数；2一本书上面的印刷错误；3排队等候的人数；4某地域某月发生的交通事故；这个分布就称为泊松分布，记为P()。其均值、方差、规范差为： E(x) = Va

19、r(x)= (x) = 随机变量及其分布Page 35例一大批产品，其废品率为0.015，求任取100件产品，其中有1件不合格品的概率。解：此时 n = 100 p = 0.015， np = 1.5 假设按二项分布计算：假设按泊松分布计算： 比较两种计算结果可以看出，两者计算结果的误差不超越1%。 随机变量及其分布Page 363、超几何分布其中，r = minn，M，这个分布称为超几何分布，记为hn，N，M。其均值、方差为：超几何分布用于从有限的整体中进展不放回抽样。随机变量及其分布Page 37Page 38例在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，

20、这些球除颜色外完全一样.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。解：设摸出红球的个数为X,那么X服从超几何分布,其中 ,于是由超几何分布模型得中奖的概率 0.191随机变量及其分布常用离散型随机变量分布汇总名 称符 号均 值方 差二项分布b(n, p)npnp(1-p)超几何分布h(n,N,M)泊松分布P()随机变量及其分布Page 39二正态分布1、正态分布的概率密度函数它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。正态分布有两个参数和，常记为N ，2。随机变量及其分布Page 402、规范正态分布 = 0 且 = 1的分布称为规范正态分布，记为N0，1。也记为U。1规范

21、正态分布表 P( Ua ) = P(U a ) = 1-(a) ( - a) = 1-(a) P(a U b) = (b) -(a) P( |U|a ) = P( -a U a) = (a) -(-a) = 2 (a) -1随机变量及其分布Page 413、规范正态分布的分位数 分位数是一个根本概念，结合规范正态分布N0，1来表达分位数概念。 普通说来，对恣意介于0与1之间的实数，规范正态分布N0，1的分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为1-，用概率的言语来说， 分位数是满足以下等式的实数： P( U u ) = 关于分位数的正负符号问题：0.5分位数, 即50%分位数,

22、也称为中位数。在规范正态分布场所：u 0.5 = 0 当 0.5时, u 0.5时, u 0 (正数) 或1 - 永远为正概率必为正 u 与 - u对应下标一样，加负号 u 与 u1-对应下标不同，不加负号随机变量及其分布Page 424、有关正态分布的计算 正态分布计算是基于下面的重要性质：性质1：性质2：设 X N ， 2，那么对恣意实数 a、b有：随机变量及其分布Page 43例 某产品的质量特性 X N(16, 2 ) ,假设要求P(12 X 20)0.8，那么 最大值应为 A、u 0.9 / 4 B、4 / u 0.9 C、 u 0.9 / 2 D、2 / u 0.9 解：随机变量及

23、其分布Page 44产质量量特性的不合格品率的计算1、质量特性 X 的分布，在受控的情况下，常为正态分布；2、产品的规范限，常包括上规范限TU和下规范限TL。产质量量特性的不合格品率为： p = pL +pU随机变量及其分布Page 45例某厂消费产品的长度服从N(10.05 , 0.052) (单位cm)，规定长度在10.00cm0.10cm内为合格品,那么此产品不合格的概率是( ) A、(3) + (1) B、 (3) - (1) C、1- (1) + (-3) D、 (1)- (-3) 解: TL=10.00 0.10 =9.90 TU = 10.00+0.10=10.10 pL = P(X TU) = 1- (1) p =