《理论力学》第八章_刚体的平面运动习题解

1、 #2 2 #第八章刚体的平面运动习题解习题8-1椭圆规尺AB出曲柄0C带动，曲柄以匀角速度叫绕0轴匀速转动。如0C=BC=AC=r,并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。解：椭圆规尺AB的平面运动方程为:Xc=tcos0=rcosqtyc=rsiii(p=rsiiicoJi(P=-Ofat(顺时针转为负)o习题8-2半径为的齿轮由曲柄0A带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。如曲柄0A以匀加速度。绕0轴转动，且当运动开始时，角速度转角=0,求动齿轮以中心A为基点的平面运动方程。解：dco=adtdw=adtco=ttt+C0=ax0+GC=0co=at=CD=(Acltd(p=otdt1(p

2、=-at+C2-1“0=ax0+Cc2-C.=0(p=-cdatxA=(R+t)cos0=(R+r)cos2yA=(R+i)sin0=(R+r)sill弓vA=OA-co=(R+r)m=rcokR+r=&tcitrd(pA=R+01dt0=冬兰axO+Cs212r故，动齿轮以中心A为基点的平面运动方程为:Xa=(R+i)cos牛yA=(R+r)sin0A=R+r2r6Zt2 #2 # 2 #T习题8-3试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。已知：如图所示，AC=CB,vA,vBT1TT求证：vc=-(VA+VB)证明：TTTTTvB=vA+Vba=

3、vA+ABcoTTT-TTTTITT%=Va+Vca=Va+亍ABB=Va+亍(Vb_Va)=，(Va+Vb)o本题得证。习题8-4两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：Vx=6m/s,v2=2m/So齿条之间夹有一半径=05m的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心0的速度。A6m/sT0.5m0.5m2m#/-V2I #2 # #2 #vo-20.56-2T%=丄x4+2=4(111/s)(齿轮中心0的速度，方向如图所示。)2AL6V6-2AI=1.5(ni)齿轮的角速度为:V1669=4(rad/s)AL1.5习题8-5用具有两个不同直径的鼓轮组成的饺车來提升一圆管，设BECD,轮轴的转速n=

4、10r/min,r=50mm,R=150mm,试求圆管上升的速度。解:CD=2加1602x3.14x1060=1.047(rad/s)vE=R69=150 x1.047=157.05(nmi/s)(向上)vD=rco=50 x1.047=52.35(mm/s)(向下)钢管作平面运动，其中心的速度(习题83结论)为：%=丄(157.05-5235)=5235(mm/s)(方向：向上。)2习题8-6两刚体N用饺C连结，作平面平行运动。己知AC=BC=600mm,在图示位置，va=20Omm/s,vB=100mm/s,方向如图所示。试求C点的速度。解:TTTVc=VB+VcBTTVBIbC=(VCI

5、bC0=VCxVCx=TTTVC=VA+VCAVaLc=VcLcvAcos30=-vcos30vcy=-vA=200(nmi/s)%=-200111111/s(方向沿着负y轴方向)习题8-7题8-6中若与BC的夹角为60,其它条件相同，试求C点的速度。 2 # #2 # 2 #解：运动分析如图所示。TTTVC=VB+VCBTTVBIbC=%IbCVBcos60=.x7j=100 x0.5=50(nun/s)TTTVC=Va+%ATTVaLc=%LcvAcos30=-vcycos30+vcxcos60200 x0.866=-vrvx0.866+50 x0.5cy173.2=7/0.866+252

6、5173.2w/、v=-171.13(mm/s)cy0.866Vc=Jvj+vj=3+(-171.13)，178.29(nmi/s)VAVa=arccos=aiccos50178.29=73.71习题8-8杆OB以3=2rad/s的匀角速度绕O转动，并带动杆AD：杆AD的A点沿水平轴Ox运动，C点沿铅垂轴Oy运动。已知AB=OB=BC=DC=120mm，求当4)=45时杆上D点的速度。 2 #解：vB=OEco=120 x2=240(111111/s)备涪箸2)ED=7lC2+CD2-2ICCDcosl35(120V2)2+1202+2xl20/2xl20 x=1205=268.33(nmi)

7、带动杆AC在套管B内滑动，套管B及vD=EDcDq=26&33x2=563666(mm/s)习题8-9图示一曲柄机构，曲柄0A可绕0轴转动,与其刚连的BD杆又可绕通过B狡而与图示平面垂直的水平轴运动。已知：OA=BD=300mm,OB=40Omm,当OA转至铅宜位置时，其角速度32rad/s,试求D点的速度。解： # 2 #BD杆与AC杆的角速度相同，即：捡=%,确定了3心问题便可解决。AC杆作平面运动。0A与BD作定轴转动。如图1所示，I为AC杆此时的速度瞬心，图中Vb为AC杆上此瞬时与狡B重合的B的速度。OA300AB500cosa=-AB500ALAL25003(nun)vA=OA-q=

8、300 x2=600(rad/s)=BD=300 x0.72=216(nmi/s)习题8-10图示一传动机构，当0A往复摇摆时可使圆轮绕O|轴转动。设OA=150mm,0IB=10Omm,在图示位置，a)=2rad/s,试求圆轮转动的角速度。解：0A作定轴转动，AB作平|何运动。圆轮作定轴转动。vA=OA-co=150 x2=300(nmi/s) # A解：0点作定轴转动，AB作平面运动。圆轮0及0B作定轴转动。Va=OA=750 x6=4500(inin/s)TTTVB=VA+VBAVbIab=vaabvB=vAcos30=4500 x0.866=3897(mm/s)=-=22?=3.75(

9、rad/s)OB2x300馆AL=3000(mm)sill300.569=胡Al=4500=1.5(rad/s)3000两轮啮合点(OB的中点)的速度：vilhd=(BIr3)-co=(3000 x0.866-300 x1.732)x1.5=3117.6(nnn/s)3117.61一1Uxd-1】习题8-12=6(rad/s)300 x1.732活塞C由绕固定轴0转动的齿站带动齿条而上下运动。在题8-12附图所示位置，曲柄OA的角速度30=3rad/s,己知r=20Omm,a=10Omm,b=200mm,求活塞C的速度。解：vA=OA-列=200 x3=600(rad/s)TTTVB=vA+v

10、BA嵐AB=应山vBcos30=vA=600vB=6000.866=692.84(nun/s) # # # # #=v=r=3-464(rad/s)方向向上）vc=v啮合点=a%B=lx3464=3464(inm/s)(活塞的速度,习题8-13在图示机构中，杆OC可绕0转动。套筒AB可沿OC杆滑动。与套筒AB的A端牵连运动：AC杆上与A相重点相对于地面的运动。相狡连的滑块可在水平直槽内滑动。已知3=2rad/s200mm,求“=30时套筒B端的速度。解:动点:A点。动系:固连于AC杆的坐标系。静系:固连于地1何的坐标系。相对运动：A对于AC的运动。绝对运动：A相对于地面的运动。VA=Ve+Vr

11、b200 x2=x2=462(nun/s)cos304620.866=533(nnn/s)TTTVB=VA+VBA%=ABft?=200 x2=400(min/s)VB=7va2+VBA2-2vavbaCOS1500=a/5332+4002+2x533x400 x0.866 # # #q902（nnii/s）习题8-14图示矩形板BDHF用两根长0.15m的连杆悬挂，已知图示瞬时连杆AB的角速度为4rad/s,其方向为顺时针。试求：板的角速度；（2）板中心G的速度：（3）板上F点的速度：（4）找出板中速度等于或小于015m/s的点。(J4H0.2mI # # # #解：（1）求板的角速度Vb_

12、AB%0.15x40.2=3(rad/s)(2)求板中心G的速度U=0.2cos30=0.1732(ni)IG=0.1732一=0.0482(m)vG=IG=0.0482X3=0.1446(111/s)求板上F点的速度IF=7012+(0.25-0.1732)2=0.1243(ni)vF=IF1243x3=0.373(m/s)求板中速度等于或小于0.15n)/s的点vx=x-网(20.15x0.15/3=0.05(m)板中速度等于或小于0.15m/s的点在以瞬心I为圆心，半径为0.05m的圆内：圆周上速度为0.15111/s圆内速度小于0.15m/so习题8-15图示一静定刚架，设G支座向下沉

13、陷一微小距离，求各部分的瞬时转动中心的位置及H与G点微小位移之间的关系。D&AB/Asc1lAse1勺GEFAsbHASHA # # # #解：整个刚架的瞬时转动中心如图所示。3勺ASb2AsA=vAAt=At=AsGaAt2血_Va_Asa%7=aAt2Al】AsrAsh=vHAt=HL=aAt=AsGaAt即*ASjj=ASq习题8-16机构在图示位置时，曲柄OA垂直于AB,AB平行于OO,试求A、D两点微小位移之间的关系。己知CD=400mm,BC=BO解:血_VD_ASD如玩CD“1Atsill30Asd800AtIiASc=%At=CI】捡At=(800 x-At800At=TASd

14、Asb=yAsc=-AsdSd：30/ZSa=VaM=Al?%&=cos304asdSd习题8-17桥由三部分组成，支承悄况如图所示。（1）当B支座有一微小水平位移；（2）A支座向下沉陷一微小距离：（3）C处发生一微小水平位移。试分别绘出三种悄况下桥各个部分的瞬时转动中心。解：v0+vB0=ve+vr在y轴上的投影为:vQsin30Q=yvr=v0siii30+vBO=0.2x0.5+Rou=0.1+0.5x0.5=0.3(m/s)由轮0的平面运动得:由B的复合运动得: # #aBD式中,=R=5J=0-4(rad/s)TTTTaB=ae+ar+ac故，ae+ar+ac=a0+a+aTTtTT

15、TTaj+a+ar+ac=ao+3bd+aeo式中，a0=0dt故,a；+a；+ar+ac=a：上式在x轴上的投影为：3eaC=aBOOB.%a-2%aS=-R&Rtaii60Qqa_2ftblAvr=R&1Rtan60 # # # #=0.0462(rad/s)-R號+2%逼Rtan60-0.5x0.42+2x02x030.5x1.732习题8-25等边三角板ABC,边长1=400mm,在其所在平面内运动。已知某瞬时A点的速度VA=800mm/s,加速度aA=320Omm/s方向均沿AC,B点的速度大小vB=400mm/s,加速度大小aB=800mm/s2o试求该瞬时C点的速度及加速度。解：

16、(I)求c点的速度TTTVB=VA+VBA上式在X轴上的投影为:vBcos=vacos60cos=vAcos60/vB=800 x0.5/400=10=0VbABtan30BI=400taii30=231(111111)CI=a/2312+4002-2x231x400cos150=611l(mm)vc=CLco=611.1x1.732=105&4(mm/s)(2)求C点的加速度假定角加速度顺时针转，如图所示。TTTTTaBx+aBy=aA+aRA+aL上式在X轴上的投影为：=aAcos60-a=3200 x0.5-400 x(a/3)2=400(nmi/s2)=73b(aBx)2=a/8002

17、-4002=692.82(mm/s2)TTTTTIBx+aBy=aA+aRA+aL在y轴上的投影为：-Hfiy=aAsill60a二aBy=-aAsiii6Oo+aaL=aBy+aasin60=692.82+3200 x0.866=3464.02(111111/s2)=346402=8.66(rad/s2)4003cA=ACft?=400 x(3)2=1200(111111/s3)赵a=ACa=400 x8.66=3464(nmi/s2)ac=7(aA-3cA)2+(aca)2=J(3200-1200f+3464?=4000(lllin/$?)假定角加速度逆时针转，如图所示。TTTTaB=aA

18、+aRA+3Bk=aAcos60-a=3200 x0.5-400 x(73)2=400(nmVs2)agy=aasill60+a曲=3200 x0.866+a：=2771.2+血a：=a；a；=8002400,=480000agy=692.822771.2+a：=692.82a=-2078.38(nmi/s2)(与图示方向相反)a=-=-5.2(rad/s-)AB400碍a=AC69?=400 x(3)2=1200(nmi/s2)aA=ACa=400 x(-5.2)=2080(nmi/s2)(与图示方向相反)ac=7(aA-acA)3+(aca)2=7(3200-1200)3+(-2080)2=2885.6(111111/s2)习题826反平行四边形机构中，AB=CD=40Omm,BC=AD=20Omm,曲柄AB以匀角速度3=3rad/s绕A点转动，求CD垂直于AD时BC杆的角速度及角加速度。 # #CE+ED=CD=400200cos6+400sin6=400cos&+2sin&=2cos&=2(1-siii071-sin20=2(1_sill6)1-sill204-8sin&+4siiF05sin2&-8sin&+3=