12.2全等三角形的判定(SSS)(SAS)(ASA)(HL)(微信支付)课件

1、全等三角形的判定（一）12.2.1三角形全等的判定 （SSS）知识回顾AB=DE BC=EF CA=FD A= D B=E C= FABCDEF 1、 什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫 全等三角形。2、 全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等；对应角相等寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；问题一：根据全等三角形的性质，两个三角形全等，它们的三个角、三条边分别对应相等，那么反过来，如果两个

2、三角形上述六个元素对应相等，是否一定全等？问题二：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述一部分条件，是否我们也能说明他们全等？1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。只给一条边：只给一个角：606060探究：4cm4cm4cm结论：满足一个条件相等的两个三角形不一定全等。2.给出两个条件：一边一内角：两内角：两边：303030303050502cm2cm4cm4cm结论：满足两个条件相等的两个三角形不一定全等。如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？三边；两边一角；两角一边；三角。探究2：画出一个ABC ，再画一个ABC使AB=AB,BC=BC,CA=

3、CA。把画好的ABC剪下，放到ABC 上，他们全等吗？画法: 1.画线段BC=BC;2.分别以B、C为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A;3. 连接线段AB 、AC.在ABC与DEF中BACDEFAB=DEAC=DFBC=EFABCDEF（SSS）结论:三边对应相等的两个三角形全等.可简写为边边边或SSS判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。如何用数学符号来表达呢? 如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架。求证ABDACD证明： D是BC的中点 BD=CD在ABC和ACD中，AB=AC （已知）BD=CD （已证）AD=AD （公共边） AB

4、DACD （SSS）例题1例题1 如图, ABC 是一个刚架,AB = AC ,AD是连结点A与BC中点D的支架. 求证: AD BCACD12B 1 = 2证明:在ABD 和ACD中AB = ACAD = ADDB = DC ABD ACD ( SSS )(已知)(公共边)(已知)(全等三角形的对应角相等) 1 = BDC = 90 12 AD BC(平角定义)(垂直定义)例2：已知AOB求作： AOB使AOB=AOB作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；2、画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C； 3、以点C为圆心，CD长为半径画弧，与

5、第2步中所画的弧交于点D； 4、过点D画射线OB，则AOB=AOB 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。证明：BD=CE BD-ED=CE-ED，即BE=CD。CABDE练一练在AEB和ADC中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss)已知: 如图,AB = CD ,AD = CB .求证: A = C证明:在BAD 和DCB中AB = CDAD = CBBD = DB BAD DCB( SSS ) A = C(已知)(已知)(公共边)(全等三角形的对应角相等)ABCD连结 BD你能说明ABCD，ADBC吗？小结三角形全等判定一：三边对应相等的两个

6、三角形全等简写：“边边边”或“SSS”ABCDEF用数学语言表述：在ABC和 DEF中 ABC DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD全等三角形的判定（二）12.2.2三角形全等的判定 （SAS） 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在ABC和 DEF中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为： 三角形全等判定方法1知识回顾:除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.思考(2) 三条边(1) 三个角(3) 两边一角(4) 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:SSS不能!?

7、探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABC在图中， A是AB和AC的夹角，符合图中的条件，称为“两边及其夹角”探究探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABC图二在图中,B是边AC的对角探究C是边AB的对角符合图中的条件，常说成“两边和其中 一边的对角”两边及其夹角 先任意画出一个ABC,再画一个ABC,使AB=AB,AC=AC, A=A,把画好的ABC,放到ABC上,它们能全等吗?探究结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等？思考： ABC与ABC

8、 全等吗？画法: 1.画 DAE= A；2.在射线AD上截取AB=AB,在射线 AE上截取AC=AC;3. 连接BC.ACBAECD 这两个三角形全等是满足哪三个条件？B 三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在ABC与DEF中ABCDEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“ 边角边 ”或“ SAS ”)FEDCBAAC=DFC=FBC=EF练习：1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立在AOB和DOC中 A0=DO（已知）=（对顶角相等）BO=CO（已知） AOBDOC( ).ABODCAOBDOCSAS(已知）A=A（公共角） =ADCBEAECADB

9、（ ）2.在AEC和ADB中ABACADAESAS注意：SAS中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。A45 探索边边角BBC10cm 8cm 8cm 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?已知：AC=10cm,BC=8cm, A=45 .ABC的形状与大小是唯一确定的吗?10cm ABC45 8cm BA8cm 45 10cm CSSA不存在显然：ABC与ABC不全等探索边边角ABDABCSSA不能判定全等两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？S

10、SS,SASSSA 不成立 例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连结AC并延长至D使CD=CA，连结BC并延长至E使CE=CB，连结ED，那么量出DE的长，就是A、B的距离，为什么？BADEC证明：在ABC和DEC中，AC=DC(已知)ACB=DCE(对顶角相等)BC=EC(已知)ABCDEC（SAS）AB=DE(全等三角形的对应边相等)分析：已知两边(相等） 找第三边（SSS）找夹角 （SAS）练习 1.已知：AB=CB ， ABD= CBD ABD 和 CBD 全等吗？分析: ABD CBD边:角:边:AB=CB(已知)ABD= CBD(

11、已知)ABCD(SAS) 现在例1的已知条件不改变,而问题改变成: 问AD=CD吗？ BD=BD(公共边)BD平分ADC吗？ABCD练习2 ： 已知:AD=CD， BD 平分 ADC 。求证：A= C 要证明两个三角形中的边或角相等，可以先证明两个三角形全等。两直线平行，内错角相等 FABDCE练习3：点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF 求证（1）AFDCEB 分析：证三角形全等的三个条件A=C 边 角 边 AD / BCAD = CBAE = CFAF = CE？（已知）证明：AD/BC A=C又AE=CF在AFD和CEB中，AD=CBA=CAF=CE AFDCEB（SAS

12、）AE+EF=CF+EF即 AF=CE 摆齐根据写出结论指范围准备条件(已知）(已证）(已证）FABDCE（两直线平行，内错角相等）ABCDO补充题： 1 如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明AOBCOD的理由。 2 如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。ABCD归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。课堂小结:2. 求证两个三角形中的边或角相等时，一般要先证明这两个三角形全等。三角形全等的判定2： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (边角边或SAS)1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？边角

13、边（SAS）2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？SSS、SAS、注意哦！“边边角”不能判定两个三角形全等反思 小结 如图，已知AC、BD互相平分交于点O，求证：AOBCOD学以致用证明：AC、BD互相平分 _=_，_=_ 在_和_中 _=_ _=_ _=_ _( ) CDBOAABC DE学以致用 如图AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，求证：BC=DE证明：BAD=CAE _+_=_+_ _=_ 在_和_中 _=_ _=_ _=_ _( ) _=_如图：如果AB=AC , BAD=CAD求证：ABDACDABCD学以致用DABC如图,AB=CB,ABD=CBD,ABD和CBD全等

14、吗？学以致用 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C求证：A=DECDBFA学以致用证明：BE=CF BE+_=CF+_ _=_ 在_和_中 _=_ _=_ _=_ _( ) _=_如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。ABCD证明:在ABC与BAD中 AC=BD CAB=DBA AB=BAABCBAD（SAS）(已知)(已知)(公共边)BC=AD (全等三角形的对应边相等）学以致用如图ADBC,AE=CF,AD=BC,E、F都在直线AC上，试说明DEBFFCBEDA学以致用 已知:如图,AB=CB,ABD=CBD,问AD=CD,BD 平分ADC

15、吗？DABC学以致用ABCD已知:AD=CD，BD平分ADC，问A=C吗？学以致用学以致用如图EAAD于A，FD AD于D，且AE=DF，AB=DC.求证：CE=BF.已知：如图OP平分MON，OM=ON，MD=ND.求证： OMP ONP ； PMD PND；PMD=PND.学以致用已知：如图，ACBD，C为垂足，AC=DC，CB=CE.求证：DF AB.学以致用ABEFCD如图,AB=AC,AE=AD, 1= 2,求证:BD=CE.ABCED12学以致用DACBE点C是线段AB的中点，CE=CD, ACD=BCE,求证：AE=BD学以致用如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE.求

16、证：DACEABEADCB学以致用如图等边AEB与等边BCD在线段AC的同侧。 求证： ABDEBCABCED学以致用CDEBA如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D在BC上，AD与BE相等吗？试说明理由。学以致用EDCBA如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D在ABC内，AD与BE相等吗？试说明理由。学以致用EDCBA如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D.E在ABC外，AD与BE相等吗？试说明理由。学以致用已知如图ABD与ACE均为等边三角形，求证：DC=BE B AC DE学以致用如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形ECF，试说明BE=DF。ABCDEF学以致用1.学习了三角形

17、全等的又一个判定公理:边角边公理，到目前为止，我们已经学习了三种判定三角形全等的方法（一个定义，两个公理）.2.证明两个三角形全等时若缺条件： 找图形的隐含条件； 根据其它已知条件推出所缺条件.3.添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.反思 小结 谢谢全等三角形的判定（三）12.2.3三角形全等的判定 （ASA） （AAS）如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?想一想怎么办？可以帮帮我吗？AB除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.思考(2) 三条

18、边(1) 三个角(3) 两边一角(4) 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:SSS不能!?SAS继续探讨三角形全等的条件：两角一边思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角与这条边的位置上有几种可能性呢？ABCABC图1图2在图1中， 边AB是A与B的夹边，在图2中， 边BC是A的对边， 我们称这种位置关系为两角夹边 我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。 已知ABC，画一个A B C ，使A B =AB , A = A， B = B结论:全等三角形的判定方法2：两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).探索？观察：A B C 与 ABC 全等吗？怎么验证？

19、画法: 1.画 A B =AB；2.在A B 的同旁画DA B = A ,EB A = B, A D、B E交于点CACBAEDCB思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？如何用符号语言来表达呢?证明:在ABC与A B C 中A=A AB=A BABCABC（ASA）ACBACBB=B两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).例题示范，巩固新知证明：在ABE 和ACD 中，ABE ACD（ASA）AE =ADB =C，AB =AC ，A =A ，例1如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA =AC， B =C求证：AD =AE ABCDE如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可

20、以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?解决玻璃问题AB利用“角边角定理”可知,带B 块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。在ABC和DEF中， A=D, B=E,BC=EF, ABC和DEF全等吗？为什么？ACBEDF探索分析：能否转化为ASA?证明： A=D, B=E(已知) C=F(三角形内角和定理) B=E 在ABC和DEF中BC=EF C=FABCDEF（ASA）你能从上题中得到什么结论？全等三角形的判定方法3：两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。如何用符号语言来表达呢?证明:在ABC与A B

21、 C 中A=AABCABC（AAS）ACBACBB=BBC=B C例2.已知，如图，1=2，C=D 求证：AC=AD 在ABD和ABC中1=2 （已知）D=C（已知） AB=AB（公共边）ABDABC （AAS）AC=AD （全等三角形对应边相等）证明：12例题示范，巩固新知 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”（ASA）（AAS）归纳考考你1、如图，已知AB=DE， A =D， ,B=E，则ABC DEF的理由是：2、如图，已知AB=DE ,A=D，,C=F，则ABC DEF的理由

22、是：ABCDEF角边角（ASA）角角边（AAS）1、如图：已知ABDE，ACDF，BE=CF。求证：ABCDEF。ABCDEF考考你证明： BE=CF(已知) BC=EF(等式性质) B=E 在ABC和DEF中BC=EF C=FABCDEF（ASA） ABDE ACDF (已知) B=DEF , ACB=F判定两个三角形全等的方法1、SSS：三边对应相等2、SAS 两边及夹角对应相等3、ASA两角夹边对应相等 4、AAS 两角及一角的对边对应相等ABCDEF1、如图ACB=DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 - ，才能使ABCDEF （写出一个即可）。B=E或A=D或 AC=DF你能行吗?

23、（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以吗？ABDE小结(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”.(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.知识要点：（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。全等三角形的判定（四）12.2.4三角形全等的判定 （H L）回顾与思考1、判定两个三角形全等方法有_，_，_，_。SSSSASASAAAS2、如图，RtABC中，斜边_,直角边_、_.BCACABABC我们把直角ABC记作

24、RtABC。ABCDEF（2）若AB=DE，BC=EF，则ABC_DEF，根据_SAS（1）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC_DEF，根据_SSS3、如图，ABBE于B，DEBE于E，(3)若A=D，AB=DE，则ABC与DEF_（填“全等”或“不全等”），根据_ABCDEF全等ASA（4）若A= D，BC=EF，则ABC_DEF，根据_AASCBA思考：FED对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个三角形就全等了？ 任意画出一个RtABC,C=90。BCABA按照下面的步骤画RtABC 画MCN=90; 在射线CM上截取BC=BC; 以B为圆心,AB为半

25、径画弧，交 射线CN于点A; 连接AB.CMN请你动手画一画再画一个RtABC，使得C= 90， BC=BC，AB= AB。 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等数学几何语言： AB=AB 在RtABC和RtABC中 RtABC RtABCB CA B CA （HL）BC=BC（简写成“斜边、直角边”或“HL”）直角三角形的判定方法想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法: SSS 、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法“HL”.判断两个直角三角形全等的方法有：(1)： ；(2)： ；(3)： ；(4

26、)： ；SSSSASASAAAS(5)： ；HL 小结例题如图，ACBC，BDAD，AC=BD。求证：BC=ADDCAB证明：ACBC，BDAD C与 D都是直角在RtABC和RtBAD中 AB=BA(公共边), AC=BD(已知). RtABCRtBAD（HL）BC=AD(全等三角形对应边相等).变式训练：如图，ACBA，BDCD，AC=DB，求证：OC=OB.（练习册P39 5）BCDAO小结这节课你学到了什么？1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形的判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判定方法-“HL”;2.两个直角三角形中，由于有直角相等的隐含条件，所以只须找两个条件即

27、可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）. 如图， ACB =ADB=90，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。（1）_( )（2）_( )（3）_ ( )（4）_ ( )ABDCAD=BC DAB= CBABD=AC DBA= CABHL HLAASAAS小结这节课你学到了什么？1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形的判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判定方法-“HL”;2.两个直角三角形中，由于有直角相等的隐含条件，所以只须找两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）.教科书习题12.2第6、7、8题布置作业巩固1.小明家有一块直角三角形的玻璃破了，要到玻璃店配制