大学课件电磁学-第一章集锦

1、4.点电荷的场强公式 e = q2 er4 n0 r $5.场强叠加原理例 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为 R 的 细圆环均匀带电，总电量为 q，P 是轴线上一点， 离圆心O的距离为x ,求P点的场强。dE 丄=dE sin0(4) 积分求解:由于对称性E = JdE = 0 E = E / = JdE / = J勝血dq在积分过程中，r和cos&保持不变，可以提到积分号外，即COS04 ns0 r2q cos04 ns0 r2/ cos& = , r = l R1 + x2 rE=qx4 ns0( R2 + x 2)3/2xQE =一 4 neo （x 2 + R 2 f（4）dE

2、= 0, x = dx讨论M（1）环心处，x = 0, E = 0（2）当Q 0时，E沿轴线指向远离轴线的方向;当x R时，E = 相当于的个点电 4neox2荷产生的电场。A思考如果把圆环去掉一半， P 点的场强是否 等于原来的一半？思考求均匀带电圆盘轴线上一点的场强，如何取微元？正方形带电线框中垂线上一点的场强?长方形带电板中垂线上一点的场强？例均匀带电圆盘轴线上一点的场强。半径为R的圆 盘均匀带电，面电荷密度为b(b 0)。P为轴线 上一点，离圆心O的距离为x，求P点的场强。解：带电圆盘可分割成许多同心圆环，取半径为r , 宽度dr的圆环，其电量为 也兀rdr，它产生的场强为:dE =a

3、2 nrdrx4 ns0( r2 + x 2)3/2由于不同圆环在P点产生的场强方向相同，因此P 点的合场强为：E = J dEa2 nrdrxEn0( r2 + x J32_ ax 严rdr=2T J) (r2 + x2)3/2 a讨论2s0 (r2 + x2)3/21 - (R 2 + x 2)1/2(1)当 xR 时，(RR + x= x一1 (1 + R2/x2)% -xE q 兀 R2a/ (4兀0 x2 )= q/ (4兀qx2 ) 式中q =兀R2a是圆盘所带的总电量，说明在远离圆 盘处的电场也相当于点电荷的电场。无限大带电平面a 0ao点电荷电偶极子条件r r 无限大带电面X叠

4、加原理 1.3| 高斯定理(Gauss Theorem) 131电场线(electric line of force or electric field line)1.dN匀强电土E场/dSiA些静电场的电场线图形点电荷E=e- 1电偶极子 E =3-P + 3r -p)er4 ns0 ra0 1.3.1 电场线(Electric field line)2. 性质电场线起自正电荷(或无穷远处)，止于负 电荷，不会在没有电荷处中断；若体系正、负电荷一样多，则由正电荷发 出的全部电场线都终止于负电荷；电场线不会形成闭合曲线；没有电荷处，两条电场线不会相交。 1.3.2 电通量(Electric F

5、lux)1.定义：通过任一面的电场线条数dp = EdS 丄=EdS cos0 dS = dS盘E dS = E endS = EdScos0 dp = E dS2. 通过任意曲面的电通量怎么计算？把曲面分成许多个面积元 每一面元处视为匀强电场 p = Jdp = JE - dS(1) dp = EdS可正可负取决于面元的法线方向的选取0是锐角，左-dS 00是钝角，左-dS V 0通过闭合曲面的电通量0e = jdS规定：面元方向 由闭合面内指向面外电场线穿入EdS V 0电场线穿出E - dS 0通过整个闭合曲面的电通量就等于净穿出封闭面的 电场线的总条数。(A)在电场中把任 思一T咼斯面

6、 分成许多小方 形面兀。島鹤度矢量情况。用电通量的概念给出电场和场源电荷之间的关系在真空中的静电场内，通过任意 封闭曲面的电通量等于该封闭曲 面所包围的电荷的电量的代数和 的1/的倍。_ Z Q 内萨血=七TGauss面上的场强，是所有电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关通过任意闭合曲面的电通量0e = f E-dS =甲1 内0高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天 文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电 的研究、利用绝对单位(长度、质量和时间)法 则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像

7、，建立高斯光学。天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概 率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引 入高斯误差曲线。高斯还创立了电磁量的绝对单位制。二、推导1.只有一个点电荷且闭合曲面为以点电荷为球心的球面半径为 r 的球面上的场强：E=*e通过面元 dS 的电通量：陀=E -亦=EdS=超岀通过球面 S 的电通量： 0空= E - dS = J dS e RR 4 ns0 r2这一结果与球面 半径 r 无关，只=J 4 dS = J 4 nr24ns0r4ns0r与它所包围的电荷电量 q 有关。3. 点电荷在闭合曲面

8、外0e =挣dS=0曲面为任意闭合面且点电荷在曲面内穿过球面 S 的每一条电场线必 然通过曲面,反之亦然，故 通过曲面&的电通量：e = dS = q进出S的电场线的条数相 等，净通量为零，故通过曲 面S的电通量：推论：对任意连续 电荷分布亦正确。4. 生场电荷为多个点电荷E = E1 + E 2 + + En =Y EiF- n F - i Te = jE - dS = Z ( Ei . dS=f ( Ei-dS +t % Ei-dS i=1i= j+1 isE i - dS= =7 力 q 内i =1i =100XLr*高斯定 理成立1.以上对高斯定理的证明并不严格，实际上，高斯定 理可从

9、库仑定律严格导出，它是平方反比规律的必 然结果。它源于库仑定律，高于库仑定律 （适用运 动电荷的电场）。2.高斯定理中的运是封闭曲面上各点的场强，是由面 内面外所有电荷共同产生的，并非只由封闭曲面内 的电荷所产生。只有封闭曲面内部的电荷才对通过封闭曲面的 总电通量有贡献，封闭曲面外部的电荷对这一 总电通量无贡献，即通过封闭曲面的总电通量 取决于它所包围的电荷。高斯定理中的Yq内叫做封闭曲面内的净电荷 当它等于零时，通过封闭曲面上的电通量就为 零，这并不意味着封闭曲面上的电场处处为 零，也不意味着封闭曲面内一定无电荷。静电场性质的基本方程，有源场。+q,发出q/0条电场线，是电场线的“头”-q,

10、吸收q/So条电场线，是电场线的“尾”思考题：1）若高斯面上场强处处为零，能否认为高斯面内一定无电荷？2）若高斯面上场强处处不为零，能否说明高斯面内一定有电荷？场强的通量与场强是两个不同的概念）3）若穿过高斯面的电通量不为零，高斯面上的场强是否一定处处不为零？q/(6o)4）一点电荷 q 位于一立方体的中心，立方体边长 为 L ，试问通过立方体一面的电通量是多少？若此电荷移动到立方体的一个顶角上，这时通 过立方体每一面上的电通量是多少？思考题 一点电荷 q 位于一立方体的一个顶角上，立方体边长为 L ，试问通过立方体每一面上的电通量是多少？答：点电荷的电场线是径向的。因此包食点 厶口电荷所在的

11、顶点的三个面上各点的E均 3 2 平行于各自的平面，故通过这三个面的 3 V 电通量为零。为了能应用高斯定理方便地求出电通量，必须使 q 位于一高斯面内，今在 q 周围再联接 7 个大小相同的立方体，使 q 位于中心，这时通过边长含 ）：$7 :Z:； 为 L 的立方体的另外三个面的电通量 各为（24坏）。1.3.4 利用高斯定理求静电场的分布高斯定律的成立条件是普遍的，但为EdS =丄Vq 了用高斯定理求场强，问题本身必须 坯厶内具有良好的对称性，以便将高斯定理 中面积分下的E提到积分号外。A常见的电量分布的对称性：称荷对电 球点面体球球例求均匀带电球面（0人）的电场强度。电场分布的对称性分

12、析A例求均匀带电球面的电场分布。设球面半径为人球 面上所带总电量为q (q 0)。解: 本例中电荷分布具有球对称性，可以判断，空间任 意点的场强一定沿着径矢方向，而且在与球心O等 距离处，场强E的大小应相等。设P是空间任意一 点，与球心O的距离为r。以点O为球心，通过P 点作半径为 r 的球面，以此作为高斯面 。当r R时，高斯面为S应用高斯定理:插-dS=2为q内E= -qlE -dS=2 qE 4 nr2 =丄 qE=(r R)方向沿径矢向外与整个球面的电量都集中在球心时的场强相同当r v R时，高斯面为S,应用高斯定理:E = 0(r v R)所以均匀带电球面场强分布0qE=(r v R

13、)4 neo r 2 耳(r R)对于 q 0 的情况 一样，但球外场强的方向指向带电球面。1.如何理解面内场强为0 ?过P点作圆锥则在球面上截出两电荷元di = bdSd2 = er dS 2dqi在P点场强 dE1 =dQ方向1 4 n0 r1 4 ns0如图dq2在P点场强dE2 =网与=dQ方向4 ns0 r 4 ns0如图dE = dE 2平面角eA!B9（弧度）立体角q =SF（球面度）2.如何理解带电球面r = R处E值突变？ 因为上面采用了面模型。例求带电球层 R R2, Q)的电场分布 解：f E - dS = E 4 nr2 =空内S0当 r v Rj 时，Z 9内 = 0

14、E = 0(43 43、当 Rx r R2 时，Z q内 =p( 3 nR2 _ 3 nRiE = p(r2_Ri) _q昭 _ 4ns0r2 5O RR厚度为零球面O R1 R2OR = R2r例均匀带电球体R, q(p)的场强。解：上题中0,3)宀eI4 n0rR2=Rq4 ns0 R 3(r R)解：大球+p场强E=r1小球-p场强E2 =-E = E + E 2=盒伉-爲)A用高斯定理求场强的一般步骤isEdS =丄力q内根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性；选择适当的闭合积分曲面作为高斯面；分析高斯面的各部分上E的大小和方向以及cos0 的具体情况，将iEds积出来；利用高斯定理

15、，建立E和生场电荷的联系，并说 明E的方向；在有些问题中，闭合面内的净电荷也要用积分计例无限长的均匀带电直线，线密度儿 求场强。对称性的分析取合适的高斯面 计算电通量j E - dS = J E - dS + J ES 侧面 两底面 利用高斯定理解出 EE 2 nrl =细so22ns0 r半径为R,单位长度带电量为2(2 0)。解：由于电荷分布具有轴对称性， 可以确定电场分布也具有轴对 称性，即与圆柱面轴线等距离的各点的场强大小相等，方向 都垂直于圆柱面向外。设 P 是空间任意一点，与圆柱面轴线的距离为尸。通过P点以圆柱面轴线为轴作柱面高度为，再加上上下 底面形成闭合面作为高斯面。当r R时

16、，高斯面为5,应用高斯定理:叭= isE -d5=上底 E d5 + 下底 E d5 + 侧面 E d50e=iE dS =JEdS+匮dS+瞌dS高斯面上、下底面上各点场强与 底面平行，故上、下底无电通量叭=E dS = f E dSe 侧面侧面h=E J侧面 dS = 2 nrhEE = ：2nr(r R)方向垂直于圆柱面向外与整个圆柱面的电量都集中在轴线上的场强相同。 当r R,取高斯面Si _j E dS = j E dS + jE dS + jE dS 侧上0下底工T=j E dS = j EdS = E 2 nrl=q内/ s0 = nR 2 Ip Io一袒 Si.、W MHS2V

17、idSjSiE外=R p2. r 人，取高斯面S2陥=窃r2s0 r个 Ej E - dS = E 2 nrlS220 s0_ q内 _ ntCp例巧克力碎屑的秘密I爆炸条件：电场的大小 30 xl06N/C。管道半 径为R = 5.0 cm；体电荷密度p= TlxlO-3 C/m3。(1) 求管道中的电场大小；(2)火花会出现吗？如果 会，在哪里？解： E int =（2）Eintmax =R= 3.1x106 N/C 3.0 x106 N/C故火花会出现在r = R处。例 求无限大均匀带电平面的电场分布。已知带电平面 电荷面密度为a(a 0)。解：由对称性可知，与平面等远处 的场强大小相等

18、，平面两侧场 强方向应垂直于平面，且指向 外。设 P 是空间中任意一点， 与带电平面的距离为尸。作如 图所示的柱状高斯面，其侧面 与带电平面垂直，两底面与带电平面平行且等距离，底面积为AS ,而P点就位于底面中心。应用高斯定理：0e = dS=:盘dS+盘dS+瞌dS二盘dS+盘dS+0 =2 EAS工q内 =沁所以2 EAS =些%E = 22%0即带电平面两侧的电场是垂直于平面的均匀场，当2 0时，左的方向远离平面;当 2 02 f J 亘例 求无限大，厚度为 d 的带正电厚壁的电场分布。已 建立坐标系如图所示，体电荷密度为p= kx (k为常数)。Lr-*rlv*W7解：(1) 场强叠加法。 厚壁 = 很多无限大薄x处dx/厚的薄板的面电荷密度