2001-10武汉理工大学高等代数

1、武汉理工大学2001年硕士研究生入学考试试题专业应用数学 课程 高等代数（共 2 页，共 8 大题，答题时不必抄题，标明题目序号）（考试时间 3 小时，满分 100分，武汉理工大学数学与物理系。）一、（15分）计算下列各题：1设A为3阶方阵，A*为伴随矩阵，|A|=8，计算|（3 A）-1 - 8A* |。（5分）2已知4阶行列式D的第3行元素分别为-1, 0, 2, 4,第4行元素对应的余子式依次 是5，10，a，4,求a的值。（5分）3设 A, B 均为 4 阶方阵，|A|=2, |B|=1, A = （a,Y2,Y3,Y4），B = （P,Y2,Y3,Y4），a, /3, Y2, Y3,

2、 Y4均为4维列向量，计算|A+B|。（5分）二、（13 分）设A=（aj）是3阶实矩阵，Aj为元素a#的代数余子式，若aij = Aij并且 a33 =-1,求：（1） A|； （8 分） （2）方程AX= （0, 0,1）的解。（5 分） 三、（12分）设方程组23x1 + a1x2 + a1 x3 = a12x1 + a2 x2 + a2 x3=a2x1 + a3x2 + a3 x32x1 + a4 x2 + a4 x3（1）证明若ai, a2, a3, a两两不等，则此方程组无解；（4分）（2）设ai = a3 = k, a2 = a4 = k, （kHO）；且已知0，B2是该方程组的

3、两个解，其中J3i =（-1,1,1）,02 =（1, 1,-1），试写出此方程组的通解。（8分） 四、（13分）设AW （pnxn表示n阶方阵的全体）（1）证明 C（A） = Bp | AB = BA 是pnxn 的一个子空间；（5 分）（2）当A = E （E为n阶单位阵）时，求C（A）;（3分）（3）当A为对角阵，对角线元素a”，i = 1,2,均不为0时，求C（A）的维数与一组基。 （5 分）五、（12分）设厂是p2x2 上的线性映射，T定义如下：对任意2阶方阵:齐P 有T (:北（1）证明：T是p22上的一个线性变换；（5分）（2）求T在基下的矩阵；（5 分）（3）求线性变换T的迹。

4、（2分）六、（10 分） 设xn = xn-1 + 2yn-1yn = 4xn-1 + 3yn-1且 x0 = 2, y0 = 1, 求 x100 。七、（10 分）设Rnxn表示全体n阶实矩阵所构成的线性空间，在Rnxn上定义一个2元实函数（，）：（A, B） = Tr（AB） VA, B e R力表示方阵的迹。（1）证明函数（，）满足内积条件，从而Rnxn构成一个欧氏空间；（5分）（2）求这个欧氏空间的一组标准正交基；（5分） 八、（15 分）（1）设。为非零的n维列向量，E为n阶单位阵，证明矩阵H = E aoC a a 为正交矩阵；（7 分）（2）设A为mxn的实矩阵，且秩A = n,

5、证明AA是正定矩阵。（8分）武汉理工大学2002年研究生入学考试试题课程髙等代数（共2页，共8题,答题时不必抄题，标明题目序号）、（15分）计算下列各题；设A为3阶方阵，A为伴随矩阵，己知| A |=1/2,计隽（3A） l-2A*lo （5 分）已知4阶行列式D的第四行元素分别为一1、念各飙 第三行元素 对应的余子式依次为5 10 a. 4.求a的值耳鸟分3设A. B均为4阶方阵，|A|=1,匕Bj老倂（“皿匕，Q）， B= （mm, m E ）, 口、8、扒i計蹑为4维列向量；计算f AB j 0 （5分）二（10分设2 （孤L为m介卖方阵，Aij是元素引的代数余子式， 若 8jj=Ajj

6、 （i、j=l、2、3jj anT 求 | A | 三、10）设戸-申汐，J是线性方程AXP的一个基础解系，3产X j+t沁外.pptw严twr B尸匚+心。“其中切。是实常数勺试 问：体怎满足什么关系时，Bi,弘，匕也是AXP的一个基础解系。3x3x+2ax2xi（a0）通迄正 交变换化为标准形件代吃此+5几 求参数a及所用的正交变换短阵饨六、（15 分）设 A= 0 1（1）证明：Pk中与A可交换的矩阵集合W是pm的罄空闻了（5分）（2）写出W中矩阵的一般形式；（5分）（3）求W的基与维数。6分）七、（15分设。是!1维线性空吐V的缽变换.EEV,如果。哥E HO，证明：J尸E是V的一组基

7、，并求。在这 组基下的矩阵。八、（10）设唇（驹2是斥盼实矩阵，如果对于内积（a B） -aXPA a P eR股作成一间，证明A定是正定矩阵课程一高等代数（共1页，共8题，答题时不必抄题标明题目序号）计算下列各题（25分，每小题5分）设d阶矩阵A的行列式|A|=a0,而为A的伴随矩阵，求|A牛设3阶矩阵/士( 、 a2n,B =r.g0丿2.已知琦|B|=2,求3.设A为3阶矩阵，且|Af=2,求|4A4+A*|O6.2 6 求秩（AB）。Qr 14.设A为4X3矩阵，且秩A=2*而By 6设A为！1阶可逆矩阵，将A的第佛筝丿行变换后得到矩阵B,求AB二（15分）设A是n （n2）阶琳電勰阵

8、;負元素与其代数余子式鈿相， 等，求|A|三、设方程组（20分）i禹古处时屯=al证胡親、為、4两两不等，则此方程组无解：右设N丄码二匕 込二迅| = 一痕工0且已知岛=（-），尽=（口厂认暹该方程组的二个解，试求出此方程组的通解。（共20分，第1题8分，第2题12分）, （2 -1 2、L己知 =（!,）是矩阵/= 5 Q 3的一个特征向量，试确定参 J b -2丿数拓b及特征向量冬所对应飽特征值J已知3阶矩陈A的特征值为U -1； 2,设矩阵B=2A3+A （!）求B的特征值及其相似的矩阵;求|B|；（3）求|A+E|五、（2Q分）_fl 1、设J住於证明：CA）BeR2ABBa是炉心的子

9、空间;求C0）中元素B的一般形式；求C（/）的维数及一组基 六、（15分）设/= ； ； e胛,史任意2用巴 定义T （B） -BA；1-证明：T是7?说上的线妙换/（I炉N求T在基&严 A氐的矩阵.七、（15分厂巳知二茨型/&汁工力巧上凸丰3衣+3#+2心內（00）通过正奎变换牝为标准形/ = z2 + 2加+ ”；,求参数a及所用的正交变换.人 0分）设A暹n阶实矩阵，证明：疋对于内积依/）=曲风疣/丘必作 成一个欧氏空间的充要条件是A为正定矩阵.武汉理工大学2004年研究生入学考试试题03课程 _高等代数 _ 一 （共1页，共8题、答题时不必抄題、标開题目序号一、计算下列各题45分）01

10、)2* I -Hl|l L +坨：一月4,( 2 / Gi 扌+ 切M中人是川1中元素的代建余了式匚?4 m阵月与0删以用邛仁】的恃征值为晦必计注丿宀时H?l E为4阶单位阵；1000卩0340200O100也求.1 J为3拆非零那阵丿=心 求i的fj农2I)一 2),3维列向筮口二（匕匕！八 已知 2 ?; 口线悝杓匚m】o分）设卅维向墾&二（氐CL2卫），c2.试讨论心h为何值时.方魁级便有零鮮/f把空 多傑？井&许无穷多解村*求具全部馆，般用星础解系我F全備解四、（WZ已綿打是3阶实对称世阵，崗足月2.0,秩3）沁求行列云快讹G 心lTb具4 w R , F为3阶皿位肘仁”-1.13阶实

11、対称用旳淞足才-讨-皿E丿炉险单沽肘L洩聖r I - r A A；.rr、.五、25分）设_,次型 = tn： +工：一2斗鼻；：2如k 辺/ 0 ）具中；：；翟 怕血阵岀的特征逬Z和为1持征值乙瞅1戈，门）求小列勺值：（2）利用F交变險尚承型”化为柿准妙并求听呗勺 F交变换所对网的正龙业阵几六5爪设“。！11） iiF/OI： C（A）站史丄初-滋是Rg的了空训；忘川旳-曲是R :fj :J内职防充要条件是A为疋定迫!出课程代码483 课程名称离等代数（共页，共7题，答题时不必抄题，标明题目序号）一填空题（共25分,每小题5分）p 1 PE设矩阵显=121J 1耳为a的伴随矩阵*则+小（i2

12、r卡小（1丄3）=2 3 42. 6 / 2 宀6 3；8= 3(2,3,4)F 若R b丿(A+AB)=2(则怦3, A n阶矩阵，对于齐决线性方程组= 若A申每行元黨之和均为零，且R（A）n-,剜方程组的通解是4.若四阶矩阵AB相似，矩阵A的特征斷?坯兀%，%，则行列式5.若矩阵fQ0有3个缘性无莫的特征向，则丿a=二（15分）设n阶矩释求I上丨中所有元素的代数余壬期和龙竝三 15(2 1 0试问:昭工! -a2X2 +日3尤3 + 口4X4 =偽勺凤+妇幻+傀羽+乞工4 =2*营竝宜5的通解是W內 + C2X2 + 5 羽 + t?4X4 = G占禺 +爲冷+ 可+ 耳=久0）7.若令込

13、=（碣勺 J ）7（/ = 1,23.4,5）+ A（1 -1 （能否由勺，旳，勺线性叢示？（2）。4能否由兌厂厲幻线性乘示?井说明理由-2xr + （2 4- 口）屁寺十 2xn = 0 H （20分）设齐次线性方程组（n2）g 十 nx2 + + （” + a）xn = 0试问尬取何值时.该方程组有非零解.并求其通解.1 2 -五（20分） 设矩阵/= -1 4 -3的特征方程有一个二窶根，求乳的爲 井讨论A、1 a 5 星否可相似于対角陈.A （15分）已知实二次型fxx,x2,x3） = （斗笛*#理疣乃+ 4旺兀+牡出经正交变换尤=/化为标准形求口的值;勞求出所朋的正交娈换R七共40

14、分，每小题1Q分） .罐证明：评是尸的子宇射求肖的基和维数；3.对任意胫咛饬卢护求-氐切其中B =门、对任意胫咛EQ0卢护其中证明cr是谒上的线性变换;I。1/銀 求线性a）=BrX-X!B在（2）中所求基下的矩阵武汉現兀丈学武汉理工大学2006年研究生入学考试试题课程代码483课程名称高等代数(共1页，共8题，答题时不必抄题，标明题目序号)填空题(25分，毎小题5分)I，设 A,B 均为 n 阶方阵，且曲 7 BBT 1/11 + 11=0,则+设/ = (%)为三阶方阵，如=3吋列为引的代数余子式，已知A有特征值为i 1人=1,乂2 = 3,则 J-Z-T-3J-%9I设向量纽2 =(6卫

15、+ 1,7卩，/5 =(2.2)kQ)r性栢关，且a工4则a =己知二次型/(兀，备壬帀彳+2迟+(1-約2召並選正空的，则参数k应满足的条件是二，(15分设矩阵A杓伴鶴矩阵.2 0 0 00 2 0 0 *1 00Q1(0 0 2 0,且矩阵A, B满足(射曲=2川9 + 12,求矩阵B。三，(20 分)确定向量03 = (2, a, bf,使向量组Z?. =(1,1, 0/.=(1J,1) A 与向銀组=(0,1,1/, a2(l, 2,1) a3-(U0,-l)r的秩相同，且爲可由叭宀5线性 表示。f 2 3、 四，(20分)已知三阶方阵A的第一行是(a,b,c) ab,c,不全为零，矩

16、阵B= 2 4 6(3 6 k(k为常数)且AB=0,求线性方程组AX=0的通解五，（20分，每小题5分）已知二阶方阵A与三维列向HX,使向址组X.AX, /2_丫线 性无关且满足A3X3AX-2A2X令P = （XtAXfA2X）tt 求三阶方阵B,使 A = PBPX:求A的特征值；求可逆阵C,使CAC为对角形；求M + E|c六，（20 分）设 V = * =（6）乂0；+勺2 =0 证明：V是r2x2的一个子空艮h &分2求V的维数与一卜基：0分）七，（20分）设J（40!w R 2d ,対任童As R %：，定义：三決）UB；证明：丁是RE的-个线性变换；5兮3,求R 2上的一个基，

17、愷T在该基下的矩阵为对角矩阵八R分）*八，（10分）设n维欧氏空间V的两个子空间人和若汗的一个基为冏，心仃艺1）,匕的一个基为人,角，几1）.证明y与召正交的允要条件是（勺，A） =0, （i=l. 2,r; 戸 12,s）.武汉理兀大李武汉理工大学2007年研究生入学考试试题课题代码：483课程名称：高等代数(共I页，却题，答题时不必抄题，标明题目序号)、填空题(共5小题，每小题5分.共25分)1 0 P设矩阵0 2 0,且满足 如十才+趴 其中E为三阶是单位阵，则 、T 0 b TOC o 1-5 h z B=设用阶方阵貿= (a)満足冊为正整数，E为冷阶单位阵，又B = (A.)nt其中

18、A.为叫的代数余子式.则扩_.设A为4阶方阵税A=3, 为A的伴随矩阵，则A = 0的基础解系所含向量的个数为已知三阶方阵盘的朴行元累之和均为1S则A有特征值 ”特企向量一一匚设A为三阶可逆阵A交换第1列与第2列得到氐将B的第二列加到第3 列得到G则PA = C 1中的P =二、(15分 已知0 = (3、_2,_人厅不能由向量组隔=(1,-1再) 陽=(-6,10, a)r, cr4=(4,-L0,W)r 线性表示(D试求並f的值；(2求出向量组闵，吧,內,务的一个极大无关组，井将其杂向量由此极大无关组 线性表示。三、(20分)已知非齐次线性方程组JC|十也+可+石 =-4看+ 3工2 +

19、5兀-兀=一 1OC十眄+ 3心+叭=1有三个线性无关的解证明方程组系数矩阵A的秩R=2；求s仃的值及方程组的通解*四、（25分）设3阶实对称阵A的各行元素之和均为向量圧严（72-1厂 幻=（0, - J）r是线性方程纽Ax = 0的两个解（1求A的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵Q和对荊阵乩 使* （3）求冲及其中E为3阶单位阵五、（20 分）设W =X，3+=0kX2l X22 ）（1）证明职是1!嗣（二阶方阵的全体的子空间;（2）求护的基和维数；求A = P在所求基下的坐标-5 3A.（25分） 在多项式空间列小中（円山表示次数乞2的多项式全体）设fi）Xi+x2i + x/t定义变换

20、卩1/“）=（勺+西）+（舟+3V + U十勿片（1）证明T是珥厲上的线性变换；（2）求T在基lj.f2下的矩阵】（3）求鬥須的个基，使T在此基下的矩阵为对角阵七、（20分） 设门錐实线性空间V的一个基为口，旳，中向量並0在 此基下的坐标分别为佃形,工J, 4旳，必八定义（。0） = 兀为证 *1明；（1）V对（Z 0）构成欧氏空间；（2）在此内枳意义下.片禺，耳是欧氏空间的标准帀交基卩式汉理工大学丿武汉理工大学2008年研究生入学考试试应课程代码817（共2页.共7 答题时不必抄课程名称髙尊代数口 7 标明超目序号丿“r眾爲.其中沙矩勺2,设n阶可逆矩阵A满足伞| =网/0则1 0 0o昇，

21、興S；0 0 0,3,设矩阵4,000、04、设A为4阶方阵，且秩侶2,/为A的 量的个数为.若n阶可逆矩阵A的每行元寮之 值为j,则矩阵3力-2肿有一个特征|+2,其中才是A的伴随矩设A为3阶方阵.A有三个不同的特征值对应的特征向盘依次为 耳,勺,勺令0=匕+勺+ 6，证明：,a2p线性无玄.四、（20分）设3阶实对称阵A蹄征伽=也吆右=-2如（W是A的属于入购一个特征向肚记力月、4力V其中E为3阶单佗阵. 求B的全部待征值和特征向Al （N分）-（2）求矩阵B（6分）五、（20分） 设 AeR六、（20分）（1）证明T地Rm上的一虑丫中定义（A2 2B)=工工叭,A.Rg R2-3 -i

22、/-IB）构成欧氏空间：（1（）分）山阳构成子空间一心虫），求肿的-组基；（10分）应用已知的妙和肿的基求肿的一个标准正沁逊分）武汉理工丸学武汉理工大学2009年研究生入学考试试题课程代码 817课程名称高等代數（共？页共7题，答题时不必炒艦 标胡題目序号）填空题（共导小JS*毎小麽磊分#共2聶分 仏设3砂矩阵4的特征值互不梅囲，若行列式口卜0則X的秩为2s 设（10-1）1 矩阵AaaTtar为既的转 界为iESSt Wl|2-|=3“设闵冋耳;你九爲是疋的两粗基*且p严a十 j 爲=2a严丐-硯0严创+2如-再剧由几第届到阿冋曲的过直矩莽为. 4、设儿B为3阶菲零矩阵，B的每个列囱量均为X

23、X = （1,0,0/ 驚轶_职设二次壁/（坷,引屯）=彳+喝+Xj +2（可巧-屯屯二件航）勒氐 炭HHWIHWW6 hM a -*二（30分冀3小IL毎小H10） 设“元嵯性方程給銘=6.其中 % 1a1 2a 1K用敷学卿纳漱呷挣敌魂M|=S+l）a%当囱为何恤时*井求和3*雷*浚何但畔该方程组有无劳多解.并求通Ik玉會0分.共2钿8.每小题怡分矽为3阶矩阵*的吗为虫的分别廉于特征值-1J 输特征向 向磅満足Aak il朗：apa2,tfe性无关2令pH(偽，函J *求PAP酿C2D分.共2力题.第丁小題8分，M2 48 12分） / 4 c设D = lc J为正定矩阵其中分别为肺毗 加

24、阶对称矩阵# C为mxn9ftf 阵.K计算严M其中尸耳C（1垃丿2利用本题（1）的结果料斷矩阵号-crc理否为正定矩阵，井谭爾称的緒论.五、（20分*共2小题.每小810）已知尸=（；）命护=“沪*府=刃j K证KB琢是田（2初障的全体的子卿h Z求胪的维效和一坦碁.沁（20分.共2小風 第1小题呂俗 尊2血F橹分）已知0 = ：时靜?聲曲7求=（；:*和+巧严0上的变换T为TX）二圧& 二丈工 X e W）K SfflrftfF的塞变1石2.求齊的一緝JL fefWT的矩降为対滋阵，七.世分*嶽g小脈第1小SR分.第2创H7分）沁辄护澜子空间刃R珂；:：卜 MVT = PJ0E吃。必*址！ 1K=fu leFF, EIF定义(Xt3 yn)证阴护对定义的（X, /）构成欧氏空间辛2、求护中的一组标准IE交基武汉理工大学武汉理工大学2010年研究生入学考试试题课程代码伯课程名称一葛尊代数共】页，其8题，答题时不必抄题，标明题目序号)填空题(共2$分.共5小题，每小题3分t-设虫均为2阶方阵” C分别为心8的伴随矩眸，若国=2,岡=3,则分块矩阵 (0 A TOC o 1-5 h