初三二次函数系数与点的特征答案研

1、二次函数系数与点的特征参考典题探究1、解：二次函数的图象开口向上， a 0，二次函数的图象交 y 轴的负半轴于一点， c 0，对称轴是直线 x=-1， - ac 0， 2a-b 0，当 x=1 时，图象在第一象限，可知 y 0，即 a+b+c 0；当 x=-2 时，图象在第三象限，可知 y 0，即 4a-2b+c 0故值大于 0 的个数为 2 个 故是 23. 解：称轴为 x=-3解：抛物线开口向下，a0，2a0，对称轴 x=1，b2a，2a+b0，故选项正确；b2a，b2a0a，令抛物线式为 y= x2+bx ，此时 a=c，欲使抛物线与 x 轴交点的横坐标分别为 和 2，则=，解得：b=

2、，抛物线 y= x2+ x ，符合“开口向下，与 x 轴的一个交点的横坐标在 0 与 1 之间，对称轴在直线 x=1 右侧”的特点，而此时a=c，（其实 ac，ac，a=c 都有可能），故选项错误；1mn1，2m+n2，抛物线对称轴为：x=1，2，m+n，故选项正确；当 x=1 时，a+b+c0，2a+b0，3a+2b+c0，3a+c2b，3ac2b，a0，b0，c0（图象与y 轴交于负半轴），3c|=3ac2b=2|b|，故选项正确故为：4解：由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则=b24ac0，b24ac，故正确抛；物线开口向上，得：a0；抛物线的对称轴为 x=1，b=2a，故 b0

3、；抛物线交 y 轴于负半轴，得：c0；所以 abc0；故正确；抛物线的对称轴为 x=1，b=2a，2a+b=0，故 2ab=0 错2根据可将抛物线的式化为：y=ax 2ax+c（a0）；由函数的图象知：当x=2 时，y0；即 4a（4a）+c=8a+c0，故错误；根据抛物线的对称轴方程可知：（1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当 x=1 时，y0，所以当 x=3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故正确；所以这结论正确的有故为：5解：抛物线开口向下，a0，对称轴为直线 x=1，b=2a0，所以正确；抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，c0，所以正确；x=1 时，y0，a+b+c0，即

4、a+cb，而 a+c0，ba+c0，|a+c|b|，所以正确；抛物线与x 轴的一个交点在原点和（1，0）之间，抛物线与x 轴的另一个交点在（2，0）和（1，0）之间，x时，y0，即 4a2b+c0，所以错误故为6解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=1，与 y 轴交点在正半轴，与 x 轴有两个交点，a0，b0，c0，b24ac0，选项正确；当 x=1 时，y=a+b+c0，选项错误；图象过A 点（3，0），对称轴为 x=1，另一个交点的横坐标为1，即坐标为（1，0），又=1，2a+b=0，选项正确；x=1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，选项正确，确的序

5、号有为：故7解：正确，由函数图象开口向下可知，a0，由图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴可知，c0，由函数的对称轴 x=10，a0，可知，b0，故abc0；错误，因为 x=1，x=1，故x=1 时，y=a+b+c=0，即a+c=b；正确，由函数图象可知对称轴 x=1，所以 2a=b，即 4a=2b，故 4a+2b=0，因为 c0，所以 4a+2b+c0；正确，由函数图象的对称轴及与 x 轴的一个交点为 3 可知，与 x 轴的另一个交点为1，故 x1x2=3，c=3a，a0，c2a；正确，当 x=12 时，y=a+b+c，当 x=m 时，y=am +bm+c，当 x=1 时，y 取最大值，a

6、+b+cam2+bm+c（m1），a+bam2+bm（m1）故填8解：正整数a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且 abc，a 最小是 2，y1y2y3，2.5，解得 m 故为：m 9解：x=2m+n+2 和 x=m+2n 时，多项式x2+4x+6 的值相等，二次函数y=x2+4x+6 的对称轴为直线 x=，又二次函数 y=x2+4x+6 的对称轴为直线 x=2，=2，3m+3n+2=4，m+n=2，2当 x=6（m+n+1）2 =6（2+1）=6 时，x +4x+6=（6） +4（6）+6=18故为 1810解：二次函数y=x2+bx+c 的图象的对称轴为过点（1，0）且与 y 轴平行的直

7、线，抛物线的对称轴为x=1，直线 AB 与x 轴平行，点 A 和点 B 关于直线 x=1 对称，B 点坐标为（2， ）故为（2， ）11解：抛物线 y=2x2+3 上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且 x1x2，y1=y2，点 A（x1，y1）、B（x2，y2）关于抛物线 y=2x2+3 的对称轴对称对称轴为直线 x=0，x1+x2=20=0，2将 x=0 代入，得 y=20 +3=3故为 312解：设OB1A1 的边长为 a，则点 B1（a， a），x2 的图象上，B1 在二次函数y= （a）2= a，解得 a1=1，a2=0（舍去），设A1B2A2 的边长为 b，则点 B2（b，

8、 b+1），x2 的图象上，B2 在二次函数y= （b）2= b+1，整理得，b2b2=0，解得 b1=2，b2=1（舍去），同理，等边三角形A2B3A3 的边长为 3，A2013B2014A2014 的边长为 2014故为：1，2，201413解：设点 P 的坐标是（x，y）点 P 到 y 轴的距离为 2，当 x=2 时，y=x 2x+4=2 22+4=4；当 x=2 时，y=x22x+4=（2）22（2）+4=12所以点 P 的坐标是（2，4）或（2，12）|x|=2，x=2，22故为（2，4）或（2，12）14解：根据题意得：抛物线的对称轴为 x=1，并且抛物线的开口朝下，当 x1 时，

9、随着 x 的增大，y 值变大，211，y2故为：15解：由于 A（x1，1），B（x2，1）是抛物线 y=ax2+3（a0）上的两点，且两点纵坐标相等，则 A、B 两点关于对称轴（即 y 轴）对称，x=x1+x2=0，将 x 代入抛物线 y=ax2+3，：y=316解：函数 y=ax2bx+c 的图象过点（1，0），即 x=1 时，y=0，a+b+c=0，b+c=a，c+a=b，a+b=c，原式=+=111=3故为317解：（1）根据抛物线开口向上，则 a0，对称轴在x半轴可知0，b0，又与 y 轴交点在 y 轴负半轴，c0，故 a0，b0，c0；（2）抛物线 y=ax2+bx+c 过点（1，

10、0），（0，1），ab+c=0，c=1，即 ab=1，a=b+1，a+b+c=b+1+b1=2b，b0，2b0，a0，b+10，b1，2b2，故，2a+b+c018解：（1）当图象经过（1，0），（4，0）时，抛物线对称轴为：直线x=，图象经过1 与2 之间， ，b3a，3a+b0，故此选项错误；（2）当 x=1 时，ab+c0，图象经过（0，1），c=1，ab+10，a+1b，对称轴在xa，b 异号，图象开口向下，a0，b0，0ba+1，此选项正确；半轴，（3）图象经过1 与2 之间，以及（4，0）点，1，b2a，2a+b0，故此选项正确；（4）当图象过点（1，0），（4，0）时，设式为：y

11、=ax2+bx+1，则，解得：，当图象过点（2，0），（4，0）时，设式为：y=ax2+bx+1，则，解得：， a ，故此选项正确二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，以下结论，正确的有哪些？并说明理由（1）3a+b0；（2）0ba+1；（3）b+2a0；（4） a 19解：（1）抛物线开口向上，a0，所以正确；抛物线对称轴 x=在 y 轴右侧，x=0，b0，所以错误；抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，c0，所以错误；x=1 时，y=0，a+b+c=0，所以正确，正确的序号为；（2）a0，b0，c0，abc0，所以错误；01，2a+b0，所以正确；抛物线过点（1，2）和（1，0），b=1，

12、a+c=1，所以正确；a=1c，而 c0，a1，所以正确正确的序号为20解：（1）y= x2x+4= （x+1）2+ ；（2）由（1）顶点为（1， ）；对称轴 x=1；（3）图象开口向下，x1 时，函数为增函数，此时 y 随 x 增大而增大；当 x1 时，函数为减函数，此时 y 随 x 增大而减小21解：（1），抛物线的顶点坐标为（ ，）；（2）令 x2x6=0，解得x1=2，x2=3，点 B 的坐标为（3，0），又点 C 的坐标为（0，6），；（3）点 P（m，m）在这个二次函数的图象上，m22 m6=m，即 m 2m6=0，解得，22解：（1）将（3，0）代入 y=a（x1）24，得 0=

13、4a4，解得 a=1；（2）方法一：根据题意，得 y1=（m1）24，y2=（m+n1）24，y1=y2，（m1）24=（m+n1）24，即（m1）2=（m+n1）2，n0，m1=（m+n1），化简，得 2m+n=2；方法二：函数 y=（x1）24 的图象的对称轴是经过点（1，4），且平行于 y 轴的直线，m+n1=1m，化简，得 2m+n=223解：（1）当 x=0 时，y=2，A（0，2），抛物线的对称轴为直线 x=1，B（1，0）；（2）易得A 点关于对称轴直线 x=1 的对称点 A（2，2），则直线 l 经过A、B，设直线 l 的式为 y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线 l 的

14、式为 y=2x+2；（3）抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线在 2x3 这一段与在1x0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x1 这一段位于直线 l 的上方，在1x0 这一段位于直线 l 的下方，抛物线与直线 l 的交点的横坐标为1，当 x=1 时，y=2（1）+2=4，所以，抛物线过点（1，4），当 x=1 时，m+2m2=4，解得 m=2，抛物线的式为y=2x24x224解：（1）抛物线 y=a（x1）2+k 的对称轴为 x=1，而 C（1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，由抛物线的对称性可知，C、E 关于直线 x=1 对称，又C（1，2）与对称轴相距 2，E（4，2）

15、与对称轴相距 3，C、E 两点不可能同时在抛物线上；（2）假设点A（1，0）在抛物线 y=a（x1）2+k（a0）上，则 a（11）2+k=0，解得 k=0，因为抛物线经过 5 个点中的三个点，将 B（0，1）、C（1，2）、D（2，1）、E（4，2）代入，得出 a 的值分别为 a=1，a= ，a=1，a= ，所以抛物线经过的点是 B，D，又因为 a0，与a=1所以假设不成立所以 A 不在抛物线上；，（3）将 D（2，1）、C（1，2）两点坐标代入 y=a（x1）2+k 中，得，解得，或将 E、D 两点坐标代入 y=a（x1）2+k 中，得，解得，综上所述，或25证明：（1）将 A（1，0）代

16、入抛物线 y=2x22（a+1）x+2a（a0）右边=22（a+1）+2a=0，左边=右边，点 A（1，0）在此抛物线上；（2）点A（1，0）在此抛物线上，a0，抛物线的对称轴为x=，D（，0）AD=1，CD=，DA=DC，1=，解得 a= 或 0（不合题意，舍去）故所求 a= 26解：根据题意得ax 2+bx =ax 2+bx ，1122ax12ax22+bx1bx2=0，a（x1x2）（x1+x2）+b（x1x2）=0，（x1x2）（ax1+ax2+b）=0，x1x2，ax1+ax2+b=0，即 x1+x2=，当 x=x1+x2=时，y=a（ ）2+b（）=027解：A、B 为抛物线 y= x2+bx+c 上两点，抛物线的对称轴为y 轴，即b=0，抛物线的顶点在 CD 边上，抛物线的顶点在原点，即c=0，抛物线的式为y= x2，设 B 点坐标为（a， a2），a2 a2=8，解得 a=2，矩形的长为 4，宽为 228解：OC=3，C 点坐标为（0，3）或（02，3），把（0，3）代入 y=（x+1） +k 得 1+k=3，解得k=2；把（0，3）代入 y=（x+1）2+k 得 1+k=3，解得 k=4；k 的值为 2 或429解：方程 mx2+（m1）x+n=0 是关于x 的一元二次方程，m0（1）6m+n=2，n=26m=2