数字图像处理：Ch4 频率域滤波-3

1、Ch4 频率域滤波本章学习目标：掌握离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT）以及基于DFT滤波的图像增强方法。4.1 基本概念（Fourier Series、Fourier Transform of Continuous variables、Convolution theorem）4.2 取样和取样函数的傅里叶变换4.3 一维离散傅里叶变换4.4 二维离散傅里叶变换4.5 频率域滤波Before that.复习&补充4.2 取样和取样函数的傅里叶变换4.3 一维离散傅里叶变换正变换公式逆变换公式正变换公式其中u=0,1, M-1， v=0,1, N-14.

2、4 二维离散傅里叶变换逆变换公式 式中 m = 0,1, , M-1，n = 0,1, , N-1空间域频谱4.4 二维离散傅里叶变换空间域频谱4.4 二维离散傅里叶变换离散傅里叶变换的性质平移周期性思考：如何将F的原点平移到图像中心？（0,0）（0,0）离散傅里叶变换的性质FFT(快速傅里叶变换)傅里叶变换计算复杂度高，实际编程实现时采用快速傅里叶变换。自行阅读第4.11节，并尝试matlab函数fft, fft2, fftshift。注意：为了方便进行FFT运算，通常图像宽高为2的整数次方。Ch4 频率域滤波本章学习目标：掌握离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transfo

3、rm，DFT）以及基于DFT滤波的图像增强方法。4.1 基本概念（Fourier Series、Fourier Transform of Continuous variables、Convolution theorem）4.2 取样和取样函数的傅里叶变换4.3 一维离散傅里叶变换4.4 二维离散傅里叶变换4.5 频率域滤波傅里叶变换的频率分量和图像空间特征之间的联系 低频对应着图像的慢变化分量，如图像的平滑部分 较高的频率对应图像中变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分 变化最慢的频率成分（u=v=0）,对应一幅图像的平均灰度级4.5 频率域滤波4.5 频率域滤波DFTf(x,y)g(x

4、,y)H(u,v)IDFTG(u,v)F(u,v) 频率域低通滤波器框图f(x,y)：含有噪声的原始图F(u,v)：是f(x,y)的傅里叶变换H(u,v)：根据需要选择的低通滤波器传递函数，在低通滤波器中， H(u,v)使 F(u,v)的高频分量衰减，使低频通过。这里要求该滤波器的传递函数对F(u,v)的R(u,v)和I(u,v)产生同样的影响，以保证不改变变换的相位，所以称这种滤波器为零相位移滤波器。G(u,v)：F(u,v)经滤波后的频域函数，G(u,v)=F(u,v)H(u,v) (u,v=0,1, N-1)g(x,y)：处理后的空域函数。实例课本图4.29原图傅里叶谱原图课本图4.30

5、去除直流分量后低通课本图4.31高通?1. 理想低通滤波器（ILPF）1) 传递（转换）函数H(u,v)=1 若D(u,v)D00 若D(u,v)D0 式中D0是一个规定的非负量，称为截止频率。 D(u,v)是u,v平面上某点(u,v)距原点(0,0)的距离。D(u,v)=(u2+v2)1/2理想滤波器：以D0为半径的圆内的所有频率分量无损地通过，圆外的所有分量完全衰减（是一个分段函数）。4.5 频率域滤波2) 三维透视图和剖面图0D0D(u,v)H(u,v)1H(u,v)是距离函数D(u,v)的函数的截面图4.5 频率域滤波3) 关于图像在频域的能量分布问题理想低通滤波器的截止频率的设计用E

6、T(u,v)表示图像在频域的全部能量；E(u,v)表示能量谱： 则总能量用表示以原点(0,0)或以(N/2,N/2)为圆心，以截止频率D0为半径的圆内包围的能量与总能量ET之百分比。4.5 频率域滤波Q: 如果选择小些的D0时，滤波后的图像的样子？A: 亮度足够（因能量损失不大），但图像变模糊了。 空域 f(x,y) * h(x,y) = g(x,y)DFTIDFTIDFT频域 F(u,v)H(u,v) = G(u,v) 频域中剧烈的滤波（也就是选择小的D0），则在h(x,y)的NN区域中产生大量的环，因此，在g(x,y)中产生明显的振铃效应。4) 振铃效应 振铃效应理想低通滤波器的一种特性H

7、(u,v)h(x,y)卷积f(x,y)h(x,y)振铃效应例子：2. 巴特沃思（Butterworth）低通滤波器（BLPF） 由于理想低通滤波器截止频率D0突然截止，引起振铃效应，使图像模糊。巴特沃思低通滤波器可以克服这一缺点，对应于截止频率D0处的H(u,v)不等于零，逐渐衰减。即传递函数H(u,v)中不存在一个骤然的截止频率，通常把H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率。 n是阶数 D0 是截止频率，通常D0值对应于H(u,v)下降到0.5（归一化后，最大值为1）的D(u,v)值。 其中1) 传递函数（两种选择） 其中 n是阶数 D0 是截止频率，通常D0值对应于H(u

8、,v)下降到 （归一化后，最大值为1）的D(u,v)值。2) 剖面图Butterworth低通滤波器的截面图02D(u,v)/D0H(u,v)1H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图130.53) 空间图 Butterworth低通滤波器的三维透视图H(u,v)作为u、v的函数的三维透视图 对Butterworth低通滤波器的分析 在任何经BLPF处理过的图像中，都没有明显的振铃效应，因为这种滤波器的传递函数H(u,v)在低频和高频之间是平滑过渡的。Butterworth低通滤波器处理结果理想低通滤波器处理结果（有明显的振铃效应）课设上的有趣课题：基于图像的定位，基于DFT、DCT的数字图像水印嵌入与提取，基于图像的人机交互，互动3D游戏The End届时欢迎给出建议：Best Poster, Be