自动控制理论：8第八章离散控制系统-1

1、1第八章采样控制系统第8章 采样控制系统8-1 采样过程与采样定理8-7 采样系统的稳态误差分析8-2 保持器8-3 差分方程8-4 z变换8-5 脉冲传递函数8-6 线性采样系统的稳定性分析返回主目录3基 本 要 求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。返回子目录4 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。熟练掌握Z域稳定性

2、的判别方法。熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。5图8-1 机载火力控制系统原理图基本概念信号的划分连续信号：时间上和幅值上都连续的信号离散信号：在时间上离散的脉冲序列数字信号：数字化的离散信号，即幅值经过量化编码。如二进制代码6采样控制系统典型结构图7图8-2 采样控制系统典型结构图脉冲控制器被控对象保持器反馈环节r(t)e(t)c(t)e*(t)-T88-1 采样过程与采样定理一、采样过程将连续信号转换成离散信号的过程该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示，其中载波信号 是一个周期为T，宽度为 )，的脉冲序列，如图8-

3、3（b）所示。幅值为幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。 调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为返回子目录(9图8-3 信号的采样过程10实现上述采样过程的装置称为采样开关 可用图8-3（d）所示的符号表示。（8-1）由于载波信号是周期函数，故可以展成如下Fourier级数（8-2）11则采样信号 可以表示为（8-4）（8-3）其中， 为采样频率，Fourier系数 由下式给出12 若连续信号的Fourier变换为 ，则采样信号的Fourier变换为连续信号 与离散信号 的频谱曲线如图8-4所示。 （8-5）13图8-414香农（Shannon）采样定理 若存在一个理想的

4、低通滤波器，其频率特性如图8-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的 ： 图8-5香农（Shannon）采样定理15如果采样频率 满足以下条件式中 为连续信号频谱的上限频率 则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。（8-6）16二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念 。载波信号 可以近似成如下理想脉冲序列（ ）（8-7）17再设当 时， 则采样过程的数学描述为 此时，采样过程如图8-6所示。 理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。 （8-8）18图8-6 理想采样开关的采样过程19 同样， 可以展成如下Fourier级数 其

5、中（8-10）则有（8-11）和（8-12）20图8-7 连续信号和采样信号的频谱21注 意 ： 上述香农采样定理要求满足以下两个条件： 频谱的上限频率是有限的； 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器； 228-2 保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。 可将展成如下泰勒级数时，（8-13）返回子目录23各阶导数的近似值 由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。

6、（8-14）24图8-8 信号的采样与保持过程零阶保持器的数学表达式为 （8-16）25零阶保持器的输入输出特性t0e*(t)T3T5Tt0eh(t)T3T5T零阶保持器e*(t)eh(t)图8-9 零阶保持器的输入输出特性零阶保持器的单位脉冲响应为26t10gh(t)Tt10gh(t)T-1它是一个高度为1，持续时间为T的矩形方波，可以分解为两个阶跃函数叠加图8-9 零阶保持器的单位脉冲响应27上式即是零阶保持器的 (8-20)传递函数其拉氏变换28零阶保持器的频率特性为29 相频特性为(8-22)(8-23)其幅频特性为30零阶保持器的频率特性曲线如图8-9所示，对比图8-4可知零阶保持器

7、是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。31图8-9 零阶保持器的频率特性曲线328-3 z变换与z反变换一、z变换连续信号 经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得（8-25）（8-26）返回子目录33引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得 z变换的定义式如下称 为 的z变换，记作 或 由此可看出 是关于复变量 的幂级数 。（8-28）34例8-1 求单位脉冲信号的z变换。 解：设 ，则 由于 在时刻 的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有35例8-2 求单位阶跃信号的z变换。 解： 设 ，则 该

8、级数的收敛域为 ，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式36例8-3 求单位斜坡信号的z变换。 设 ，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘 ，便得单位斜坡信号的z变换 解：37例8-4 求指数函数的z变换。解：设 ，则38例8-5设 ，求 的z变换。解：上式两边求Laplace反变换，得再由例8-2和例8-4有39注意：不能直接将 代入 来求 ，因为是针对采样信号 进行z变换。40二、z变换的基本定理其中 和 为任意实数。1线性定理：（8-30）若 和 z变换为 和 ，则41证明：422实数位移定理若 的z变换为 ，则（8-31）（8-32）43证明：证明式（8-31）由于

9、当 时， ，所以有44证明式（8-32）453复位移定理已知 的z变换函数为 ，则证明：464Z域尺度定理若已知 的z变换函数为 ，则证明：其中， 为任意常数。 （8-34）47三、z反变换z反变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数 求出所对应的采样脉冲序列 （或 ），记作 （8-35） z反变换只能给出采样信号 ，而不能给出连续信号 。 注意481 部分分式法若象函数 是复变量z的有理分式，且 的极点 互异，则 可展成如下形式：上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（8-37）（8-38）49例8-6 已知z变换函数求其z反变换。50解：首先将 展成部分分式 512 长除法对比式（8-29）可知 若z变换函数 是复变量z的有理函数，则可将 展成 的无穷级数，即（8-40）（8-41）52例8-7 已知z变换函数为求其z反变换。53解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成543 留数计算法由z变换的定义可知（8-43）55设 的极点为 ，则包围了的所有极点 （8-48）56例8-8 已知z变换函数为试用围线积分方法求z反变换。57解：上式有两个极点 和 ，且 所以58四 初值定理和终值定理1 初值定理： 设 的z变换为 ，并且有极限 存在， 则 （8-49 ）592 终值定理： 设 的z变换为 ，且 的极点均在z平面的单位圆内，则（8-50）60五