自动控制理论：5第五章 频率特性法-1

1、第五章 2022/7/13线性系统的频域分析2022/7/13第五章 线性系统的频域分析频率分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法，是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法，其特点是利用系统的开环频率特性去判断系统的闭环性能，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。 （2）系统的频率特性可用实验方法测出。 （3）用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。 2022/7/13本章内容 基本要求 第一节 频率特性 第二节 典型环节的频率特性 第三节 系统开环频率特性的绘制 第

2、四节 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 第五节 系统的频率特性及频域性能指标2022/7/13第一节 频率特性的基本概念 本节从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发，把握频率特性的基本概念。 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性（图5-1）。 图5-1 正弦信号对线性系统的作用一、系统对正弦输入信号的稳态输出 设r(t)为正弦信号， 作用于线性定常系统G(s) ，输出响应为c（t）， 则输出信号为同频率的正弦信号，但输出的振幅和相角一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如下页图5-2所示： 2022/7/132022/7/13图5-2 输入

3、输出信号的对比一阶RC网络2022/7/13一阶RC网络2022/7/132022/7/13对于一般的系统，设其传递函数为：已知输入 ，其拉氏变换A为常量，则系统输出为为G(s)的极点 (5-1)2022/7/13若系统无重极点，则（5-1）式可写为(5-2)对（5-2）式求拉氏反变换，则得系统的输出信号(5-3)待定系数 其中2022/7/13若系统稳定，均具有负实部，当时，上式中的暂态分量将衰减为零，这时，可得到系统的稳态响应：2022/7/13将代入稳态响应，并利用欧拉公式，可求得稳态响应为:2022/7/13以上分析表明，在正弦信号的作用下，系统的稳态响应仍然是一个正弦函数，其频率与输

4、入信号的频率相同，振幅为输入信号幅值的 倍，相移为同频、变幅、相移 响应2022/7/13解：考虑到频率特性的作用：同频、变幅、相移频率响应的幅值所以频率响应为：2022/7/13频率响应的相角2022/7/132022/7/13二、频率特性的定义1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应，记为c(t)。2、频率特性 系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比称为系统的频率特性，是随输入正弦信号角频率变化而变化的复变函数，记为G(j)，即2022/7/13式中： : 是稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比， 称为幅频特性。 : 是稳态输出信号的相角与输入信

5、号相角之差(相移)， 称为相频特性。 在系统传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率特性。有开环频率特性与闭环频率特性之分。2022/7/133、频率特性与传递函数、微分方程表示的关系频率特性与传递函数、微分方程表示的关系如图5-3所示。图5-3 系统表示法之间的关系注意：频率特性是从正弦的稳态响应求出的，但表示的是系统的动态特性。频率特性是指 时的频率响应，在某一个特定 下的频率响应不能表示系统的动态特性。从稳态响应测频率特性，给实验获取频率特性提供了方便，但不稳定的系统频率特性是观察不到的。2022/7/132022/7/13三、频率特性表示法频率特性可用解析式或图形来表示。（一

6、）解析表示系统开环频率特性可用以下解析式表示：幅频-相频形式： 指数形式(极坐标) ：三角函数形式： 实频-虚频形式：2022/7/13（二）系统频率特性常用的图解形式1. 极坐标图奈奎斯特图 （Nyquist） 系统频率特性为幅频-相频形式 当在0变化时，相量G(j)的幅值和相角随而变化，与此对应的相量G(j) 的端点在复平面 G(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 Nyquist曲线。 画有 Nyquist曲线的坐标图，称为极坐标图或Nyquist图。2022/7/13【例5-1】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特性图。解：写出频率特性的表达式对于本题，可以证明，G(

7、j )H(j )的实部和虚部满足下式：上式表明，系统幅相频率特性曲线是G(j )H(j )平面上以(1/2，j0)为圆心， 1/2为半径的下半圆（因相角总小于零）。 2022/7/13绘制出的幅相频率特性(nyquist)曲线如图5-4所示。或者：图5-4 惯性环节的幅相频率特性2022/7/132. 对数坐标图伯德图（Bode diagram ） 如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐 标图上，分别得到： 对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度） 对数相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后

8、进行分度）， 合称为伯德图(Bode图)。 对数幅频特性记为 ，单位为分贝（dB)。对数相频特性记为 ， 单位为弧度（rad)。2022/7/13（2）2022/7/13纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。2022/7/13半对数坐标图2022/7/13 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。2022/7/13在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。2022/7/13Bode图的特点

9、 Bode图在控制工程设计和综合中， 具有以下优点。 （1）横坐标按频率取对数分度，低频部分分辨率高，而高频部分分辨粗略。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。 （2）幅频特性取分贝数20Lg|G（s）H（s）|后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。2022/7/13（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。 （4）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。 202

10、2/7/13【例5-2】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的对数幅频和对数相频特性曲线(Bode图)。 解：由传递函数可得系统的频率特性：因此，其对数幅频和对数相频特性为：2022/7/13得：当从0变化到 时，分别绘制Bode图如下：2022/7/13 工程实践中，一般采用分段直线（渐近线）来绘制系统对数幅频特性曲线L( )，用取有限个频率点计算相角并描绘曲线的方法绘制()曲线 。必要时在一些特殊频段进行修正。 2022/7/13例如本例中，在低频时，即 时，可以近似认为 ，则有：低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线。在高频时，即 时，则有： 2022/7/13高频时：在高频时，即 时，则有： 高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程（20dB/Dec，即频率每增加10倍，幅值就下降20dB）的直线。 =1/T时，前述两条直线相交， =1/T称为交接频率，或称为转折频率，转角频率。 用ma