§22曲面的第一基本形式

1、 2.2曲面的第一基本形式2.2.1第一基本形式我们来考察曲面上邻近两点之间的距离设PQ是曲面S:r=r(u,v)的两个邻近点，对应的径矢分别为r(u,v),r(u+Au,v+Ay),应用Taylor展开式，有PQ=rwAu+o(|Au|+|Ai|)t故帀长度的平方为PQ2=rAu2+2rurvAuAv+rAv2+o(|Aw|2+|Ai|2),当P与Q无限接近时，按通常的理解，有du=Au,dv=Av,故沪动2的主要部分(记为/)就是I=rdu2+2rurvdudv+rvdv2,令E=rl,F=ru-rv,G=r?,则I=Edu2+2Fdudv+Gdv2.称为曲面的第一基本形式,它是曲面上点和

2、方向的函数，在给定点处它是方向的函数.E,F,G称为曲面的第一类基本量.在给定点处都是常数.容易验证EG-F20,所以第一基本形式是如曲的正定二次形式，且E0,G0.【例1】求柱面r(u,v)=/?()+ub的第-基本形式.【解】由参数方程计算得九=rv=by且E=rl=0(饥)F,F=rurv=p(u)b、G=r=b2,所以，止螺面的第基本形式为I=pf(u)2du2+2p(u)bdudv+b2dv2.【例2求xy平面的第-基本形式.【解】可设Hi/平面的参数表示为r(x.y)=卩/0,则第一基本形式为I=dx2+dy2.【例3求球面2+y2+以=0的笫一基本型.【解】在球坐标参数下，球面有

3、表示旷(仇0)=acos0cosacos0sinasin6;容易求出它的第某本形式为I=a2(dO2+cos20d(l)2在球极投影参数下，球面有表示r(uv)=(2a2uu2+V2+a252a2vu2+v2+a2*a(u2+v2-a2)饥2+护+以 # #容易求出它的第某本形式为4a4(u2+v2+a2)2(du2+dv2)4(1+召(泌+2)2(du2+dv2). # 【例4】旋转曲面r(uyv)=/(v)cosu,f(v)sinu,g(v)的第一基本形式为I=frM2du2+(/(v)2+gv)2)dv2.2.2.2第一基本形式的性质定理21曲面的第某本形式是参数变换的不变量.(a匕(“

4、j是曲Iffls:r=r(u,v)的任-容许的参数变换，并记在参数v=v(a,v)(u,V)和伍,V)下的第一基本形式分别为I=Edu2+2Fdudv+Gdv2I=Edu+2Fdudv+Gdv首先我们得到第某本形式系数之间的如下关系:du九亍+UUdudv丽+%丽丿dudvdudv丿dudvdv0(%dudvdu0訂+dudv)=Erv=Erv=E2我们用丿=又因为即于是我们有c)uc)v表示参数变换的Jacobi矩阵，则上述关系式可以写成如下矩阵的形式du=dv=jtdudu冠血+丽加Ovdv加+肆dudv=du.dvj=du.FFGEFFGdddvJdddvEFduFGdvI=du,dv=

5、du,dvOu3叭丽丽丿+ # 【注1当曲面选取容许参数(u,v)时，所得到的第一基本形式系数F,G一般将 与参数仏研下的第一基本形式系数E.F.G不同，但从定理2.1的证明可以看出EG-F2=d(u,v)2d(u,v)(EG-F2). # 定理2.2曲面的第一基本形式是观彳的合同变换下的不变量.证明设厂/(P)=PT+P0是皿的任-合同变换，曲面S:r=ru,v)在f下的像为S*:r*(w,I?)=for(u.v).则=rT,ry=rv-T,设E：Fg是曲面S*的笫基本形式系数，由于是止交矩阵：所以E*=r*r*=(九T)(ruT)=ru-ru=E、同理尸=F,G*=G,这时S与S*的第一基

6、本形式相同.2.2.3第一基本形式的应用求曲面上曲线的弧长设C:r(t)=r(u(t),v(t)ta,b|是曲面S:r=r(u,v)一条曲线，按照曲线论中弧长的计算公式,则有=/v7Ja【例5求“平面上，曲线=x(ty=g(t)的弧长【解】熟知“平而的第一基本形式/=dx2+dy因此这与曲线论(或微积分)中平面曲线的弧长公式致.【例6试计算单位球面旷(仇0)=cos0sin(I).sin0sin(I).cos0Jt,曲线(0=logcot(7r/4t/2)0=7r/2_t的弧长(该曲线从赤道出发，围绕北极点呈“龙卷风”形状).【解】直接计算得到球面的笫一基本形式为I=sin2(/)d02+d/

7、、de_1dtsin（7r/2t）而且因此，所求曲线的弧长为tt/2/2dt=tv/2.求曲面上两条曲线之间的夹角曲面上两条曲线之间的夹角即两曲线在交点处切向量之间的夹角.设C与C*是曲面s“=r(“e)上两条交于H)(“oeo)点的曲线，并设其参数方程分别为u=u(t)yV=v(t);u=V=它们在心05)点处的切向量为(dudvI5+5儿(du*d：I(九乔+几乔儿。,因此C与C*在其交点Po(wo,t0)处夹角0的余弦为co(九瞬+九霜H九箫+筹)时=肌瞬+心11九黑+儿斜分了、分母同乘以dtd广得COS0=Edudu+Fdudv+dvdu)+Gdvdv/Edu2+2Fdudv+Gdv2

8、y/E(du*)24-2Fdu*dv*+G(dv*)2p因此,如果我们知道曲面的第类基本量（而无需知道曲面的方程和形状）及切平面上两个方向血:血及曲:dv便能按上式求出这两个切方向之间的夹角.【注2上述公式求夹角是针对有向曲线而言；对无向曲线，则公式右端应取正负两个符号，这表示曲线有两个夹角，它们之和为7T推论2.3切平而上两个方向dr=rudu+心曲及d旷=ru8u+九du垂直的必要充分条件是EcluSu+F（du8v+dv8u）+GdvSv=0.推论2.4曲而S:r=r（u,v）u-曲线和曲线之间的夹角0的余弦为COS&= # 进而参数曲线（网）止交的必要充分条件是尸=0.【例7】设-个曲

9、面的笫基本形式为ds2=du2+(u2+a2)dv2求它上面两条曲线u+v=0,u-r=0的交角（注意：解此题时，不需要知道曲面的方程和曲面的形状）.【解】关于曲线饥+勺=0,令=U1,v=V1,则血1=一血j；关于曲线-v=0,令“=W2,V=叫贝IJ血2=dv2设此二曲线交角为0,则八Edudu2+F(dudv2+dudvi)+Gdvdv2cos0=，一_:Eduf+Fdudvi+Gdvjy/Edu+Fdu2dv2+Gdv由ds2=du2+(u2+。2)曲2可知E=I、F=0,G=u2+a2代入上式得u2+a2-l以+左+厂。以+以一1cost/=a2把曲线tz+v=0与tz-v=0交点的

10、曲线坐标1/=0,=0代入上式得二曲线的交角余弦u2+a?+1u=0a2+1v=0求曲面（域）的面积现在我们来推导曲面S:r=r（u,v）,（U,v）GD（平面区域）上给定区域乡的面积.（以下用-线和-线划分曲面域纟成我们只是给出直观推导，详细的证明参见C.Goffman著多元微积分）完整曲边四边形.不完整._（/PP=r(u+色v)r(uv)=ru(w,v)+ejJAu,PP2=r(u,v+Av)r(u.v)=rv(u3v)+吻厶卩，其中limi=lime2=0.取其主要部分略kAu,Av的高阶项便得Au0Au*0PPa九PP-2rv(u,这时我们有S曲边四边形PP1巳卩3S平行四边形PPW

11、2P3=PPxP=|ruxrvuAv=Veg-f2aAv.进而我们可以把=VEG-F2uAv或亦=/EG-Fdudv作为曲也iS上的面积元素.求和、取极限作为曲面域面积的公式/EGF2cludv.D # #【注3由于E,F.G是刚性不变量：所以（7是刚性不变量.而且，7不受参数变换的影响.这是因为在参数变换（=包研下，IV=v（uv）d(u,v)d(u,v) 由二重积分的参数变换公式知7是参数变换的不变量.【注4对于一个平而区域勿：由于/不受坐标系选择的影响：我们可以选择直角坐标系，使那个平面区域在列/平面上；由于7不受参数选择的影响，可选择=xyv=y,这样，平而的第一基本形式为I=dx2r

12、dy2,于是面积公式化为-IIRdxdy.这和惯用的平面区域的而积公式一致.【例8设曲面的第一基本形式为力2=/+（护+匕2）血2,求出曲面上由三条曲线u=avyv=1相交所成的三角形的向积.【解】首先求得曲面上三条曲线=av,v=1相交于下列三点：A（u=0=O),B(u=ayv=l)yCu=-a,v=l).则曲边三角形ABC的面积是S=/EG-F2dudv=Jj/u2+a2dudv=2碍环心=2/(1-)/u2+a2duJoa=u/u2+a2+a2ln(w+/u2+a2)亍(以+2)32扌-+陀-1)2 # 【例9求环面的r(仇0)=(b+asin0)cosO,(b+asin0)s2nQa

13、cos0面积，其中a,b(ba)是正常数，参数0027v.0(l)27r.【解】首先求得环面的笫一基本形式为Z=(b+asin(I)2d02+Qd&、于是环面的面积为S=O02tc0f=广广JoJo=4tt26.2.2.4曲面的内蕴性质内蕴冒在上一部分中，我们已看到曲面上曲线的弧长、曲面上两个方向的夹角及曲面(域)的面积都可以用曲面的第类基本量来表示，这种仅由曲面的第类某本量所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质，把仅由笫类基本量所能表示出来的儿何量称为曲面的内蕴量.研究曲面内蕴量或内在性质的几何称为曲面的内在几何.2-2.5正交曲线族与正交轨线Mimi的儿何性质与曲面的参数表示显然是

14、无关的，在些特殊的参数选取下，我们可以简化许多几何问题中的计算过程.这里将阐明曲面上总存在正交参数曲线网的.为此先证明一个定理2.5设在曲面5:r=r(w,v)给出两个线性独立的向量场a(u,v)和b倣,e),则可选到族新的参数伍)：使在新的参数下，坐标曲线的切向最r与m分别平行于a.b.证明考察zb的表示式(*)eda=ary+a2rVyb=bru+b2rv,和两个次微分式bdubidva2(lu+adv那么，从常微分方程组理论得知，分别存在非零积分因了入和冷使这两个次微分式变成全微分,即有A(bdu加du)=du卩(一讪11+aidv)=dv其中D表示的两个函数,即忆=u(tz.u),v=

15、v(uyv).由于a,b是线性独立的，那么 # #所以石可以作为曲面S的新参数其次,从(*)有入“入“12bb2dv=Xbdv+fiadu # #bib2 所以dv+九五11bi(a1ru+a2rv)|a,b2dudvbl(bi九+byrv)|2b. # 推论2.6曲面上总存在正交参数曲线网.证明实际上，对任何参数（u.v）,取定a=r如b=-ril+rv.便立即得出，a.b构成S上的正交向量场.根据上述结果，在曲面S上存在参数伍,力），使%|a：rp|b,所以（込可构成曲面的正交参数曲线网.最后，给出曲面上两族曲线Adu+Bdv=0.C6u+D8v=0./TOC o 1-5 h z如果它们正交：则.、dv6v.dv8v小，、丘+尺五+制+咒顾“帥）即反乙如果给出一族曲线Adu+Bdv=0.则另族和它正交的曲线称为这族曲线的止交轨线.从（和）式不难看出正交轨线的微分方程是_”A6v.A.6v_+巩一万+呪）+。（-万）兀=0,8vBE-AF兀=BF-AG(例10求抛物ill!z=axy的直母线的止交轨线.【解】令r(u,v)=u.v.auv则-线的方程为r()=u,v0,av0,显然，九=1,0,v0是常向量，即-线是直线.同样-线也是直线.由解析几何的理论知，抛物面z=a理/只有两族直母线，