精品最全圆方程-圆的方程典型例题

1、. z.-圆与程- 圆的程典型例题类型一：圆的程例 1 求过两点A(1 , 4) 、B(3 , 2) 且圆心在直线y = 0 上的圆的标准程并判断点P(2 , 4) 与圆的关系分析： 欲求圆的标准程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系， 只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，假设距离大于半径，则点在圆外；假设距离等于 半径，则点在圆上；假设距离小于半径，则点在圆解法一： 待定系数法设圆的标准程为 (x a)2 + (y b)2 = r2 圆心在 y = 0 上，故b = 0 圆的程为 (x a)2 + y2 = r2 又该圆过A(1 , 4) 、 B(3 ,

2、2) 两点(|(1 a)2 +16 = r 2|(3 a)2 + 4 = r2解之得： a = 1 ， r2 = 20 所以所求圆的程为(x +1)2 + y2 = 20 解法二： 直接求出圆心坐标和半径因为圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为kAB = 1 3 = 1 ，故 l 的斜率为 1 ，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线 l 的程为： y 3 = x 2 即x y +1 = 0 又知圆心在直线y = 0 上，故圆心坐标为C(1 , 0)半径 r = AC = (1+1)2 +42 =

3、20 4 2故所求圆的程为(x +1)2 + y2 = 20 又点P(2 , 4) 到圆心C(1 , 0) 的距离为d = PC = (2 +1)2 + 42 = 25 r 点P 在圆外说明： 此题利用两种法求解了圆的程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据 圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，假设将点换成直线又该如来判 定直线与圆的位置关系呢. z.-例 2 求半径为 4，与圆 x2 + y2 4x 2y 4 =0 相切，且和直线 y = 0 相切的圆的程分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准程求解解： 则题意，设所求圆的程为圆C：(x a)2 + (y b

4、)2 = r2 圆C 与直线 y = 0 相切，且半径为 4，则圆心C 的坐标为 C (a , 4) 或C (a , 4) 1 2又圆 x2 + y2 4x 2y 4 =0 的圆心 A 的坐标为(2 , 1) ，半径为 3假设两圆相切，则 CA= 4 + 3 = 7 或CA= 4 3 = 1(1) 当 C (a , 4) 时 ， (a 2)2 + (4 1)2 = 72 ， 或 (a 2)2 + (4 1)2 = 12 ( 无 解 ) ， 故 可 得 1a = 2 士 2 10 所求圆程为 (x 2 2 10)2 + (y 4)2 = 42 ，或(x 2 + 2 10)2 + (y 4)2 =

5、 42 (2) 当 C (a , 4) 时 ， (a 2)2 + (4 1)2 = 72 ， 或 (a 2)2 + (4 1)2 = 12 ( 无 解 ) ， 故 2a = 2 士 2 6 所求圆的程为 (x 2 2 6)2 + (y + 4)2 = 42 ，或(x 2 + 2 6)2 + (y + 4)2 = 42 说明： 对此题，易发生以下误解：由 题 意 ， 所 求 圆 与 直 线 y = 0 相 切 且 半 径 为 4 ， 则 圆 心 坐 标 为 C(a , 4) ， 且 程 形如 (x a)2 + (y 4)2 = 42 又圆 x2 + y2 4x 2y 4 = 0 ，即 (x 2)

6、2 + (y 1)2 = 32 ，其圆心为 A(2 , 1) ， 半 径 为 3 假 设 两 圆 相 切 ， 则 CA = 4 + 3 故 (a 2)2 + (4 1)2 = 72 ， 解 之 得 a = 2 士 2 10 所 以 欲 求 圆 的 程 为 (x 2 2 10)2 + (y 4)2 = 42 ， 或 (x 2 + 2 10)2 + (y 4)2 = 42 上述误解只考虑了圆心在直线y = 0 上的情形，而疏漏了圆心在直线y = 0 下的情形另外，误解中没有考虑两圆切的情况也是不全面的例 3 求经过点A(0 , 5) ，且与直线x 2y = 0 和2x + y = 0 都相切的圆的

7、程分析： 欲确定圆的程 需确定圆心坐标与半径， 由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标 又 圆与两直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线x 2y = 0 与2x + y = 0 相切，圆心 C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x 2y = 0 和2x + y = 0 的距离相等. z.-x 2y x + 2y = 5 5两直线交角的平分线程是x + 3y = 0 或3x y = 0 又圆过点A(0 , 5) ，圆心C 只能在直线3x y = 0 上设圆心C(t , 3t) C 到直线2x+ y = 0 的距离等于 AC ， 2t + 3t = t2 + (3t 5)

8、2 5化简整理得 t2 6t +5 =0 解得： t = 1 或t = 5圆心是(1 , 3) ，半径为 5 或圆心是(5 , 15) ，半径为5 5 所求圆的程为(x 1)2 +(y 3)2 =5 或(x 5)2 + (y 15)2 = 125 说明： 此题解决的关键是分析得到圆心在两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的 程，这是过定点且与两直线相切的圆的程的常规求法例 4 、 设圆满足： (1)截y 轴所得弦长为 2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x 2y = 0 的距离最小的圆的程分析： 要求圆的程，只须利用条件求

9、出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准程满足两个条件 的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，假设能求出这轨迹的程，便可利用点到直线的距 离公式，通过求最小值的法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的程解法一： 设圆心为P(a , b) ，半径为 r 则P 到x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90 ，故圆截x 轴所得弦长为 2r r2 = 2b2又圆截 y 轴所得弦长为 2 r2 = a2 +1 又P(a , b) 到直线x 2y = 0 的距离为- 5d 2 = a - 2b 25当且仅当 a = b 时取=号，此时 dmin

10、= 5 (a = b这时有l2b2 - a2 = 1(a = 1 (a = - 1 或lb = 1 lb = -1又 r2 = 2b2 = 2故所求圆的程为(x - 1)2 +(y - 1)2 = 2 或(x +1)2 + (y +1)2 = 2解法二： 同解法一，得a - 2bd = 5 a - 2b = 土 5d a2 = 4b2 土 4 5bd + 5d 2 将 a2 = 2b2 - 1代入上式得：2b2 土 4 5bd + 5d 2 + 1 = 0 上述程有实根，故编 = 8(5d 2 - 1) 0 ， d 555将 d = 代入程得b = 土1 5又2b2 = a2 + 1 a =

11、土1 由 a - 2b = 1知a 、 b 同号故所求圆的程为(x - 1)2 +(y - 1)2 = 2 或(x + 1)2 + (y + 1)2 = 2 说明： 此题是求点到直线距离最小时的圆的程，假设变换为求面积最小呢.类型二：切线程、切点弦程、公共弦程例 5 圆 O ：x2 + y2 = 4 ，求过点P(2，4)与圆 O 相切的切线. z. z.-解： 点P(2，4)不在圆 O 上，切线PT 的直线程可设为y = k(x 2)+ 4根据d = r 2k + 4 = 21+ k2解得所以即3x 4y +10 = 03k = 4y = 3 (x 2)+44因为过圆外一点作圆得切线应该有两条

12、，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x = 2 说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解此题还有其他解法，例如把所设的切线程代入圆程，用判别式等于0 解决也要注意漏解还可以运用 x x + y y = r 2 ，求出切点坐标 x 、 y 的值来解决，此时没有漏解0 0 0 0例 6 两圆 C ：x2 + y2 + D x + E y + F = 0 与 C ：x2 + y 2 + D x + E y + F = 0 相交于 A 、 B 两1 1 1 1 2 2 2 2点，求它们的公共弦AB 所在直线的程分析： 首先求A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线AB

13、的程，但是求两圆交点坐标的过程太 繁为了防止求交点，可以采用设而不求的技巧解： 设两圆 C 、 C 的任一交点坐标为(x , y ) ，则有：1 2 0 0 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 0 0 1 0 1 0 1x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 0 0 2 0 2 0 2得： (D D )x +(E E )y + F F = 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A 、 B 的坐标满足程(D D )x +(E E )y + F F = 0 1 2 1 2 1 2程(D D )x +(E E )y + F F = 0 是过 A 、 B 两点

14、的直线程1 2 1 2 1 2又过 A 、 B 两点的直线是唯一的两圆 C 、 C 的公共弦 AB 所在直线的程为(D D )x + (E E )y + F F = 0 1 2 1 2 1 2 1 2说明： 上述解法中，巧妙地避开了求A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去 求它，而是利用曲线与程的概念到达了目标从解题的角度上说，这是一种设而不求的技巧，从 知识容的角度上说，还表达了对曲线与程的关系的深刻理解以及对直线程是一次程的本质认识它 的应用很广泛例 7、过圆 x2 + y2 = 1 外一点M(2,3) ，作这个圆的两条切线MA 、 MB ，切点分别是 A 、 B ，求

15、直线AB 的程。. z.-练习：1求过点M (3,1) ，且与圆 (x 一 1)2 + y2 = 4 相切的直线l 的程解：设切线程为y 一 1 = k(x 一 3) ，即kx 一 y 一 3k +1 = 0 ，圆心(1,0) 到切线l 的距离等于半径2 ， | k 一 3k +1| = 2 ，解得 k = 一 3 ，k 2 +(一 1)2 4切线程为 y 一 1 = 一 (x 一 3) ，即3x + 4y 一 13 = 0 ，34当过点M 的直线的斜率不存在时，其程为x = 3 ，圆心(1,0) 到此直线的距离等于半径2 ， 故直线x = 3 也适合题意。所以，所求的直线l 的程是3x +

16、4y 一 13 = 0 或x = 352、过坐标原点且与圆 x 2 + y 2 一 4x + 2y+ = 0 相切的直线的程为25解：设直线程为 y = kx ，即kx 一 y = 0 . 圆程可化为 (x 一 2)2 + (y + 1)2 = ，圆心为2，-1，210 2k + 1 10 1 1半径为 .依题意有 = ，解得k = 一3 或 k = ，直线程为 y = 一3x 或y = x .2 k 2 + 1 2 3 33、直线5x + 12y + a = 0 与圆x 2 一 2x + y 2 = 0 相切，则a 的值为.5 + a = 1，解得a = 8 或a = 一18 .解：圆(x

17、一 1)2 + y 2 = 1 的圆心为1 ，0，半径为 1，52 + 122类型三：弦长、弧问题例 8、求直线l : 3x 一 y 一 6 = 0 被圆 C : x2 + y 2 一 2x 一 4y = 0 截得的弦 AB 的长. 例 9、直线 3x + y 一 2 3 = 0 截圆x 2 + y 2 = 4 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d = 3 ，故弦长 AB = 2 r 2 一 d 2 = 2 ，从而OAB 是等边三角形，故截几得的劣弧所对的圆心角为三AOB =3 .例 10、求两圆 x2 + y2 一 x + y 一 2 = 0 和 x2 + y2 = 5 的公共弦长类

18、型四：直线与圆的位置关系例 11、直线 3x + y 一 2 3 = 0 和圆x 2 + y 2 = 4 ，判断此直线与圆的位置关系 .例 12、假设直线y = x + m 与曲线y = 4 一 x2 有且只有一个公共点，数m 的取值围.解：曲线 y = 4 一 x2 表示半圆 x 2 + y 2 = 4(y 0) ，利用数形结合法，可得实数m 的取值围 是 一 2 共 m 0) 没有公共点，则 a 的取值围是. z.-解：依题意有 a 1 a ，解得 2 1 a 0 ， 0 a 2 1 .2练习 2：假设直线 y = kx + 2 与圆(x 2)2 +(y 3)2 = 1 有两个不同的交点，

19、则k 的取值围是.解：依题意有 1 ，解得 0 k ， k 的取值围是(0, ) .2k 1 4 4k 2 + 1 3 33 、 圆 x2 + y2 +2x +4y 3 = 0 上到直线x + y +1 = 0 的距离为 2 的点共有 A 1 个 B2 个 C 3 个 D4 个分 析 ： 把 x2 + y2 +2x +4y 3 = 0 化 为 (x +1)2 +(y + 2)2 = 8 ， 圆 心 为 (1， 2)， 半 径为r = 2 2 ，圆心到直线的距离为 2 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2 ，所以选 C4 、 过点P( 3， 4)作直线l ，当斜率为值时，直线l 与圆 C：

20、(x 1)2 +(y +2)2 = 4 有公共点，如下 列图分析： 观察动画演示，分析思路解： 设直线l 的程为 y即根据d r 有*整理得 O解得40 k 3 E类型五：圆与圆的位置关系P问题导学四：圆与圆位置关系如确定.例 14、判断圆 C : x2 + y 2 +2x 6y 26 = 0 与圆1C : x 2 + y 2 4x + 2y + 4 = 0 的位置关系，2例 15：圆 x 2 + y 2 2x = 0 和圆 x 2 + y 2 + 4y = 0 的公切线共有条。解： 圆(x 1) 2 + y 2 = 1 的圆心为 O (1,0) ，半径 r = 1，圆 x 2 + ( y +

21、 2) 2 = 4 的圆心为 O (0, 2) ，1 1 2半径 r = 2 ， O O = 5, r + r = 3, r r = 1. r r O O r ， 直 线 与 圆 相 离 ， 圆 上 的点 到直 线的 最 大 距 离与 最 小 距 离的 差 是2(d + r) 一 (d 一 r) = 2r = 6 2 . z. z.4x - 1 cos9 - 3 cos9 - 3得sin9 - t cos9 = 2 - 3t ， 1 +t 2 sin(9 - 0) = 2 - 3t-例 19 (1)圆 O ：(x - 3)2 +(y - 4)2 = 1 ， P(x , y) 为圆 O 上的动点

22、，求d = x2 + y2 的最大、最小值1(2)圆O ：(x +2)2 + y 2 = 1 ， P(x , y) 为圆上任一点求 y - 2 的最大、最小值，求 x - 2y 的最2 x - 1大、最小值分析： (1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数程或数形结合解决 解： (1)(法 1)由圆的标准程(x - 3)2 +(y - 4)2 = 1 ly = 4 + sin9 ,可设圆的参数程为(x = 3 + cos9 , 9 是参数则 d = x2 + y2 = 9 + 6cos9 + cos2 9 + 16 + 8sin9 + sin 2 9= 26 + 6cos9 +

23、 8sin9 = 26 + 10cos(9 - 0) 其中tan0 = 3max min所以 d = 26 + 10 = 36 ， d = 26 - 10 = 16 (法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 1 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值 d2 等于圆心到原点的距离d 1 减去半径 1所以 d = 32 + 42 + 1 = 6 1d = 32 + 42 - 1 = 4 2max min(2) (法 1)由(x + 2)2 + y2 = 1 得圆的参数程： (x = -2 + cos9 , 9 是参数所以 d = 36 d = 16 ly = sin9

24、,y - 2 sin9 - 2 sin9 - 2则 = 令 = t ，亭 2 - 3t = sin(9 - 0) 施 1 亭 3 - 3 施 t 施 3 + 3 1 + t2 4 43 - 33 + 34，最小值为所以 t = ， t =max 4 min3 - 3 y - 2 3 + 3即 的最大值为4x - 1 4此时x - 2y = -2 + cos9 - 2sin9 = -2 + 5 cos(9 +0) . z.-所以x 一 2y 的最大值为 一2 + 5 ，最小值为 一2 一 5 (法 2)设 y 一 2 = k ，则kx 一 y 一 k + 2 = 0 由于P(x , y) 是圆上

25、点， 当直线与圆有交点时， 如下x 一 1列图，两条切线的斜率分别是最大、最小值由 d = =1 ，得k = 一 2k 一 k + 2 3 士 31+ k2 4y 一 2 3 + 3 3 一 3所以 的最大值为 ，最小值为 x 一 1 4 4令x 一 2y = t ，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值由 d = =1 ，得 m = 一2 士 5 一 2 一 m5所以x 一 2y 的最大值为 一2 + 5 ，最小值为 一2 一 5 例 20： A(一2,0) ， B(2,0) ，点P 在圆(x 一 3)2 +(y 一 4)2 = 4 上运动，则 PA 2 + PB 2 的最小值是.

26、解：设P(x, y) ，则 PA 2 + PB 2 = (x +2)2 + y 2 +(x 一 2)2 + y 2 = 2(x2 + y 2 ) +8 = 2 OP 2 +8 .设圆心min为C(3,4) ，则 OP = OC 一 r = 5 一 2 = 3 ， PA 2 + PB 2 的最小值为 2 32 + 8 = 26 .练习：1：点P(x, y) 在圆 x 2 +(y 一 1)2 =1 上运动.1求 y 一 1 的最大值与最小值； 2求2x + y 的最大值与最小值.x 一 2解：1设 y 一 1 = k ，则k 表示点P(x, y) 与点2， 1连线的斜率. 当该直线与圆相切时， k

27、 取得x 一 2最大值与最小值. 由 2k = 1 ，解得 k = 士 3 ， y 一 1 的最大值为 3 ，最小值为 一 3 .k 2 + 1 3 x 一 2 3 32设2x + y = m ，则m 表示直线2x + y = m 在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时， m 取得最大值与最小值. 由 =1 ，解得m = 1 士 5 ， 2x + y 的最大值为1+ 5 ，最小值为1 一 5 .1 一 m52 设点P(x , y) 是圆 x2 + y2 =1 是任一点，求u = y 一 2 的取值围 x +1分析一： 利用圆上任一点的参数坐标代替x 、 y ，转化为三角问题来解决解法一： 设圆

28、 x2 + y2 =1 上任一点P(cos9 , sin9 ). z.lx2 + y2 = 1-则有 x = cos9 ， y = sin9 9 =0 , 2爪)cos9 + 1 u = sin9 _ 2 ， u cos9 + u = sin9 _ 2 u cos9 _ sin9 = _(u + 2) 即 u 2 + 1sin(9 _ Q) = u + 2 tan Q = u sin(9 _ Q) = (u + 2) u2 + 1又 sin(9 _ Q) 共 1 共1u + 2u2 + 13解之得： u 共 _ 4分析二： u = 的几意义是过圆 x2 + y2 = 1 上一动点和定点(_1

29、, 2)的连线的斜率，利用此直线与圆 x2 + y2 = 1 有公共点，可确定出u 的取值围x + 1解法二： 由 u = y _ 2 得： y _ 2 = u(x +1) ，此直线与圆 x2 + y2 = 1 有公共点，故点 (0 , 0) 到直线的距离d 共 1 共1u + 2u2 + 13解得： u 共 _ 4另外，直线 y _ 2 = u(x +1) 与圆x2 + y2 = 1 的公共点还可以这样来处理：由 消去 y 后得： (u2 + 1)x2 +(2u2 + 4u)x +(u2 + 4u + 3) = 0 ，(y _ 2 = u(x + 1)此程有实根，故 编 = (2u2 + 4

30、u)2 _ 4(u2 + 1)(u2 + 4u + 3) 0 ，3解之得： u 共 _ 4说明： 这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量 u 的围问题转化成三角函数的有 关知识来求解或者是利用其几意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷便3、点 A(_2,_2), B(_2,6), C(4,_2) ，点P 在圆 x 2 + y 2 = 4 上运动，求PA2 + PB 2 + PC2 的最大值和最小值.类型八：轨迹问题. z.|lx = x.-例 21、根底训练：点M 与两个定点O(0,0) ， A(3,0) 的距离的比为 1 ，求点M 的轨迹程.2例 22、线段AB 的端点B 的坐标是4

31、，3，端点A 在圆(x +1)2 + y 2 = 4 上运动，求线段AB 的中 点M 的轨迹程.例 23 如下列图， 圆 O：x2 + y2 = 4 与 y 轴的正向交于 A 点，点B 在直线 y = 2 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求编ABC 垂心H 的轨迹分析： 按常规求轨迹的法，设H(x , y) ，找 x , y 的关系非常难由于H 点随B ， C 点运动而运动，可考虑H ， B ， C 三点坐标之间的关系解： 设H(x , y) ， C(x , y ) ，连结 AH ， CH ，则 AH BC ， CH AB ， BC 是切线OC BC ，所以OC / AH ， CH

32、/ OA ， OA = OC ，所以四边形 AOCH 是菱形所以 CH = OA = 2 ，得(|y = y - 2,又 C(x , y ) 满足x2 + y2 = 4 ，所以 x2 +(y - 2)2 = 4(x 丰 0) 即是所求轨迹程说明： 题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹程做题时应 注意分析图形的几性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹程，可考虑代入 法例 24 圆的程为 x2 + y2 = r2 ，圆有定点P(a , b) ，圆上有两个动点A 、 B ，使PA PB ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹程分析： 利用几法求解，或利用转移法

33、求解，或利用参数法求解解法一： 如图，在矩形APBQ 中，连结 AB ， PQ 交于M ，显然OM AB ， AB = PQ ，在直角三角形 AOM 中，假设设Q(x , y) ，则 M( x +a , y + b) 2 2由 OM 2 + AM 2 = OA 2 ，即( x + a )2 + ( y + b)2 + 1 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 ，2 2 4也即 x2 + y2 = 2r2 - (a2 + b2 ) ，这便是Q 的轨迹程解法二： 设Q(x , y) 、 A(x , y ) 、 B(x , y ) ，则 x 2 + y 2 = r 2 ， x 2 + y

34、 2 = r 2 1 1 2 2 1 1 2 2又 PQ 2 = AB 2 ，即. z.-(x a)2 + (y b)2 = (x x )2 + (y y )2 = 2r2 2(x x + y y ) 1 2 1 2 1 2 1 2又 AB 与PQ 的中点重合，故 x+ a = x + x ， y + b = y + y ，即1 2 1 2(x + a)2 + (y + b)2 = 2r2 + 2(x x + y y ) 1 2 1 2，有 x2 + y2 = 2r2 (a2 + b2 ) 这就是所求的轨迹程解法三： 设 A(r cosa , r sina ) 、 B(r cosb , r s

35、in b ) 、 Q(x , y) ，由于 APBQ 为矩形，故AB 与 PQ 的中点重合，即有x + a = r cosa + r cosb ，y + b = r sina + r sin b ，又由PA PB 有r sina brcosaa . r sin b brcosba = 1 联立、消去a 、 b ，即可得Q 点的轨迹程为 x2 + y2 = 2r2 (a2 + b2 ) 说明： 此题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几性质，否则， 将使解题陷入困境之中此题给出三种解法其中的解法一是几法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都

36、可以称为参数法解法二涉及到了 x 、 x 、 y 、 y 四个参数，故1 2 1 2需列出五个程；而解法三中，由于借助了圆 x2 + y2 = r2 的参数程，只涉及到两个参数a 、 b ，故只需列出三个程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几特征，借助数形结合的思想法 求解练习：1、由动点P 向圆 x 2 + y 2 = 1 引两条切线PA 、 PB ，切点分别为A 、 B ， 三APB =600 ，则动点P 的轨迹程是.解： 设P(x, y) . 三APB =600， 三OPA =300. OA AP ， OP = 2OA = 2， x 2 + y 2 = 2 ，化简得 x 2 +

37、y 2 = 4 ，动点P 的轨迹程是x 2 + y 2 = 4 .练习稳固：设 A(c,0),B(c,0)(c 0) 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值a(a 0) ，求P 点的轨迹.PA(x + c)2 + y 2 = a ，(x c)2 + y 2解：设动点P 的坐标为P(x, y) . 由 = a(a 0) ，得PB. z.-化简得 (1 - a 2 )x 2 +(1 - a 2 ) y 2 + 2c(1 + a 2 )x + c 2 (1 - a 2 ) = 0 .当 a 丰 1 时，化简得 x2 + y 2 + 2c(1+ a 2 ) x + c 2 =

38、 0，整理得 (x - 1 + a 2 c)2 + y 2 = ( 2ac )2 ；1 - a 2 a 2 - 1 a 2 - 1当 a = 1 时，化简得x = 0 .所以当 a 丰 1 时， P 点的轨迹是以 (1 + a 2 c, 0) 为圆心， 2ac 为半径的圆；a 2 - 1 a 2 - 1当 a = 1 时， P 点的轨迹是 y 轴.2、两定点A(-2,0) ， B(1,0) ，如果动点P 满足 PA = 2 PB ，则点P 的轨迹所包围的面积等于 解 ： 设 点 P 的 坐 标 是 (x, y) . 由 PA = 2 PB ， 得 (x + 2)2 + y 2 = 2 (x -

39、 1)2 + y 2 ， 化 简 得(x - 2)2 + y 2 = 4 ，点P 的轨迹是以2 ，0为圆心， 2 为半径的圆，所求面积为4爪 .4 、定点B(3,0) ，点 A 在圆x 2 + y 2 = 1 上运动， M 是线段 AB 上的一点， 且 AM = 1 MB ，问点M3的轨迹是什么.解：设 M(x, y), A(x , y ) . AM = 1 MB ， (x - x , y - y ) = 1 (3 - x,-y) ，1 1 3 1 1 3x - x1 = (3 - x) x1 = x - 1|ly - y1 = - y1 = y . 点 A 在圆 x 2 + y 2 = 1

40、上运动， x12 + y12 = 1 ，( 4 x - 1)2 + (4 y)2 = 1，即 (x - 3 ) 2 + y 2 = 9 ，点M 的轨迹程是 (x - 3 ) 2 + y 2 = 9 .3 3 4 16 4 16例 5、定点B(3,0) ，点 A 在圆x 2 + y 2 = 1 上运动， 三AOB 的平分线交 AB 于点M ，则点M 的轨 迹程是.解：设 M(x, y), A(x , y ) . OM 是三AOB 的平分线， AM = OA = 1 ， AM = 1 MB . 由变式 11 1 MB OB 3 3可得点M 的轨迹程是 (x - 3 ) 2 + y 2 = 9 .4

41、 16练习稳固：直线y = kx + 1 与圆x 2 + y 2 = 4 相交于 A 、 B 两点，以OA 、 OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹程.解：设P(x, y) ， AB 的中点为M . OAPB 是平行四边形，M 是OP 的中点，点M 的坐标为( x , y ) ， 且 OM AB . 直 线 y = kx + 1 经 过 定 点 C(0,1) ， OM CM ， 2 2. z.1 1 2 2 lx2 + y2 + x 一 6y + m = 0 1 2-OM . CM = ( x , y ) . ( x , y 一 1) = ( x ) 2 + y ( y 一 1)

42、 = 0 ，化简得 x 2 +(y 一 1)2 = 1 . 点 P 的轨迹程是2 2 2 2 2 2 2x 2 + (y 一 1)2 = 1 .类型九：圆的综合应用例 25 、 圆 x2 + y2 + x 一 6y + m = 0 与直线 x + 2y 一 3 = 0 相交于 P 、 Q 两点， O 为原点，且 OP OQ ，数 m 的值分析： 设P 、Q 两点的坐标为(x1 , y1 ) 、(x2 , y2 ) ，则由kOP . kOQ = 一 1，可得x1x2 + y1 y2 = 0 ，y再利用一元二次程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为 ，由直线l 与圆的程构 xy造以 x

43、为未知数的一元二次程，由根与系数关系得出kOP . kOQ 的值，从而使问题得以解决解法一： 设点P 、 Q 的坐标为(x , y ) 、 (x , y ) 一面，由OP OQ ，得1 1 2 2kOP . kOQ = 一 1 ，即 1 . 2 = 一 1，也即： x1x2 + y1 y2 = 0 1 2另一面， (x , y ) 、 (x , y ) 是程组 的实数解，即 x 、 x 是程(x + 2y 一 3 = 05x2 +10 x + 4m 一 27 = 0 的两个根 x + x = 一2 ， x x = 4m 一 27 1 2 1 2 5又 P 、 Q 在直线x + 2y 一 3 =

44、 0 上， y y = 1 (3 一 x ) . 1 (3 一 x ) = 1 9 一 3(x + x ) + x x 1 2 2 1 2 2 4 1 2 1 2m +12将代入，得 y y = 1 2 5将、代入，解得m = 3 ，代入程，检验编 0 成立， m = 3 解法二： 由直线程可得3 = x + 2y ，代入圆的程 x2 + y2 + x 一 6y + m = 0 ，有x2 + y2 + 1 (x + 2y)(x 一 6y) + m (x + 2y)2 = 0 ，3 9整理，得(12 + m)x2 +4(m 一 3)xy +(4m 一 27)y2 = 0 由于 x 士 0 ，故可

45、得(4m 一 27)(y )2 + 4(m 一 3) y +12 + m = 0 x x- k OP ， k OQ是上述程两根故kOP . kOQ = 一 1 得12 + m = 一1，解得m = 3 4m 一 27经检验可知m = 3 为所求说明： 求解此题时，应防止去求P 、 Q 两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m 值进展必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P 、 Q 存在y解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线程构造出一个关于 的二次齐 x次程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种法给人以一种淋漓酣畅，一气呵 成之感例 26、对于圆 x2 +(y 一 1)2 = 1 上任一点P(x , y) ，不等式x + y + m