第六章-数值分析模型§6.1插值法

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业课 题第六章 数值分析模型 6.1插值法 教学内容1、插值定义，常用的插值函数是多项式与样条函数：拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，三次样条插值。2、曲线拟合定义，常用的三种拟合准则：最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则。教学目标理解插值定义和曲线拟合定义掌握拉格朗日(lagrange)插值，埃尔米特插值，了解三次样条插值掌握最小二乘准则，最小一乘准则，极小极大准则的计算方法。教学重点 插值法和曲线拟合教学难点 三次样条插值双语教学内容、安排 Nume

2、rical analysis model 数值分析模型 Inserting value method 插值法Spline function 样条函数教学手段、措施 以板演为主，多媒体与课堂讨论为辅作业、后记讨论体：P163: T1教学过程及教学设计备注 6.1插值法插值1、插值定义由实验或测量得到的某一函数 在一系列点处的值，需要构造一个简单函数作为函数 的近似表达式：，使得 (6-1)这类问题称为插值问题。称为被插值函数，称为插值函数 ， 称为插值节点；式(6-1)称为插值条件。2、常用的插值函数是多项式与样条函数。（1）拉格朗日(lagrange)插值取次多项式作为插值函数 （6-2） 利

3、用插值条件有： （6-3）其系数行列式为阶范德蒙行列式，因插值节点互不相同，所以方程组的解存在且唯一。其系数行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式：由于插值节点互不相同，所以上述行列式不等于0，故由克莱姆(Cramer)法则知，方程组(6-3)的解存在而且是唯一的。实际上比较简单的方法不是解方程组(6-3),而是构造一组插值基函数.为此,首先求满足条件 （6-4）的次多项式。因为式（6-4）表明，除点以外，其他所有的节点都是次多项式的零点，故设 其中A为待定常数。由可得所以 （6-5）称之为拉格朗日插值基函数。利用插值基函数（6-5），可以构造多项式 （6-6）就是满足插值条件，的拉格

4、郎日插值问题的解，称式（6-6）为拉格朗日插值多项式。特别地，当时称为线性插值，其插值多项式为：满足 从几何上看， 为过两点 的直线。当时，称为抛物线插值，其插值多项式为： 满足。从几何上看为过点和 的一条抛物线。插值的误差估计见书中138页。（2）埃尔米特插值许多插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式被称为埃尔米特（Hermite）插值多项式设在节点上，要求插值多项式，满足条件 （6-7）由于（6-7）式给出了个条件，因此可以唯一确定一个次数不超过次多项式，其形式为。 根据（6-7）式来确定显然非常复杂。仿照拉格朗日

5、插值多项式的基函数方法，可先求插值基函数及。共个，每一个基函数都是次多项式，且满足条件 （6-8）于是满足条件（6-7）的插值多项式可写成 （6-9）由条件（6-8）式显然有 利用拉格朗日插值基函数，令 其中为（6-5）式所表示的基函数。 由条件（6-8）式可得整理得： 解出对两边取对数求导可得 于是 同理仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若在内的阶导数存在，则其插值余项为其中，。（3）三次样条插值分段线性插值，具有良好的稳定性和收敛性，但光滑性较差。在数学上若函数（曲线）的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。易见，分段线性插值不光滑，这影响了它在某些工程技术实际问题中的应用。例如：在

6、船体、飞机等外形曲线的设计中，不仅要求曲线连续而且还要求曲线的曲率连续，这就要求插值函数具有连续的二阶导数。为解决这一类问题，就产生了三次样条插值。所谓样条（Spline），本来是指一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的节点上，在其他地方任其自然弯曲，然后依样画下的光滑曲线，就称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连续点即节点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。从数学上加以概括，可得到样条函数的定义如下：三次样条函数记作，满足： 在每个小区间是三次多项式。 在每个内节点上

7、具有二次连续导数。 由三次样条函数中的条件知，有个待定系数。由条件知，在个内节点上具有二阶连续导数，即满足条件： （6-10）共有个条件。由条件，知，共有个条件。因此，要确定一个三次样条，还需要外加个条件，最常用的三次样条函数的边界条件有两类：第一类边界条件：第二类边界条件：特别地，称为自然边界条件。第三类边界条件： 称为周期边界条件。 三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。样条插值函数的建立。构造满足条件的三次样条插值函数的表达式可以有多种方法。下面我们利用的二阶导数值表达，由于 在区间 上是三次多项式，故在上是线性函数，可表示为 （6-11）其中对积分两

8、次并利用及，可定出积分常数，于是得三次样条表达式 （6-12）上式中是未知的，为确定，对求导得 （6-13） 由此可得。类似地可求出在区间上的表达式，从而得利用 可得 （6-14） 其中 （6-15）对第一类边界条件，可导出两个方程 （6-16） 如果令， 则式（6-14）及其（6-16）可写出矩阵 （6-17） 通过求解上述三对角矩阵可求得。对于第二类边界条件，直接得端点方程 （6-18）如果令，则式（6-14）及式（6-18）也可以写成矩阵（6-17）的形式。对于第三类边界条件，可得 （6-19）其中， 则式（6-14）及式（6-19）可以写成矩阵形式 求解上述矩阵可得 。二、曲线拟合拟合

9、函数定义通过实验等方法观测到反映某个函数的数据，要求利用这些数据构造出的近似表达式，上面介绍的插值法就是寻求近似函数的方法之一。但由于实验观测数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，所以使用插值法是不合适的，它会保留数据的误差。因此，不必要求近似函数满足，而只要求偏差按某种标准最小，以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响，这就是曲线拟合问题。这样的函数称为拟合函数。2、拟合的准则衡量一个函数同所给数据的偏差的大小，常用的准则有如下三种：(1)最小二乘准则：使偏差的平方和最小，即。(2)最小一乘准则：使偏差的绝对值之和为最小，即。(3)极小极大准则：使偏差的最大绝对值最小，即。3、计算的

10、方法(1)最小二乘准则的计算方法设为个线性无关的函数，对给定的数据，求，使。 最小。利用极值的必要条件。 得到关于的线性方程组则方程组可表示为，其中，由于线性无关，所以是列满秩，是可逆矩阵，方程组的解存在且唯一，并且。常用的拟合曲线(a)取，得直线拟合。(b)取，得多项式拟合。(c)取，得多元线性拟合。(d)取 ，则得曲线拟合。还有许多非线性拟合，例如，S曲线，可通过变量代换，令，化为对的线性函数。一般地，已知一组数据，先画出数据的散点图，在直观判断的基础上，选几种曲线分别作拟 合，选择偏差平方和Q最小的曲线。(2)最小一乘准则下的计算方法设为个线性无关的函数，对给定的数据，求，使得达到最小。 易见式中目标函数含有绝对值，为了去掉上式中的绝对值，令，则，且 （6-21）此时（6-20）式可改写