2022年《量子力学》考试知识点

1、名师整理 精华知识点量子力学考试知识点 第一章：绪论经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波粒二象性 考核要求：（一）、经典物理困难的实例 1. 识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。2. 领会：微观粒子的波粒二象性、德布罗意波。第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程 考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释 1. 识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2. 领会：微观粒子状态的描述、（二）、含时薛定谔方程Born 几率解释、几率波、态叠加原理1. 领会：薛定谔方

2、程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2. 简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题名师整理 精华知识点一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1. 领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2. 简明应用：定态薛定谔方程的求解、第四章 量子力学中的力学量 一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“ 归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核

3、要求：（一）、表示力学量算符的性质 1. 识记：算符、力学量算符、对易关系波函数的连续性条件、反射2. 领会：算符的运算规则、 算符的厄密共厄、 厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1. 识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2. 领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。（三）、连续谱本征函数“ 归一化”坐标算符和动量算符的本征1. 领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系名师整理 精华知识点（四）、力学量的平均值随时间的变化 1. 识记：好量子数、能量时间测不准关系2. 简明应用：力

4、学量平均值随时间变化 第五章 态和力学量的表象 一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述 二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换 1. 领会：幺正变换及其性质2. 简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和 Schrodinger equation 的矩阵形式 1. 简明应用：平均值、本征方程和 Schrodinger equation 的矩阵形式2. 综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论 一、考核知识点 : （一）、定态微扰论（二）、变分法

5、（三）、量子跃迁二、考核要求 : （一）、定态微扰论1. 识记：微扰 2. 领会：微扰论的思想名师整理 精华知识点3. 简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数 4. 综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。（二）、变分法 1. 领会：变分原理 2. 简明应用：用 Ritz 变分法求体系基态能级及近似波函数（三）、量子跃迁 1. 识记：跃迁、跃迁几率、自发辐射、受激辐射、费米黄金规则 2. 领会：跃迁理论与不含时微扰的关系 3. 简明应用：简单微扰体系跃迁几率的计算、常微扰、周期微扰 第七章 自旋与全同粒子 一、考核知识点：（一）、电子自旋（二）、总角动量（三）

6、、碱金属的双线结构（四）、自旋单态和三重态（五）、全同粒子交换不变性 二、考核要求：（一）、电子自旋 1. 识记：自旋存在的实验事实、二分量波函数 2. 领会：电子自旋的内禀磁矩、对易关系、泡利表象、矩阵表示（泡利矩阵）、自旋态的表示 3. 简明应用：考虑自旋后，状态和力学量的描述、考虑自旋后，电子在中 心势场中的薛定谔方程（二）、总角动量 1. 识记：自旋轨道耦合名师整理精华知识点jz)的共同本征值问题2. 领会：总角动量、力学量完全集(H l2,j2,（三）、碱金属的双线结构 1. 领会：碱金属原子光谱的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因（四）、自旋单态和三重态 1.领会：自旋单态和三

7、重态(2 S?, S?z)表象中两自旋为12的粒子的自旋波2. 简明应用：在(S 1 z,S 2z)和函数（五）、全同粒子交换不变性1. 领会：全同粒子体系与波函数的交换对称性、费米子和玻色子体系的描述、泡利不相容原理2. 简明应用：两全同粒子体系、全同粒子体系波函数的结构1、 波函数与薛定谔方程 理解波函数的统计解释，态迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子 数守恒定律 定态薛定谔方程。掌握一维无限深势阱，线性谐振子。2、 力学量的算符表示 理解算符与力学量的关系。掌握动量算符和角动量算符，厄米算符本征 函数的正交性，算符的对易关系， 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系，力学量平均值随时

8、间的变化 守恒定律。氢原子3、 态和力学量的表象 理解态的表象，掌握算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述 么正变换，了解狄喇克符号，线性谐振子与占有数表象。4、 定态近似方法 掌握非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，理解薛定鄂方程的名师整理 精华知识点变分原理及变分法。5、 含时微扰论 掌握与时间有关的微扰理论，跃迁几率，光的发散和吸收及选择定则。6、 自旋与角动量 理解电子自旋，掌握电子的自旋算符和自旋函数。7、 全同粒子体系 理解两个角动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒子的特性。掌握全同。粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋函数。了解氦原子（微扰法）周世勋，量子力学教程，高等

9、教育出版社， 1979 年第 1 版 曾谨言，量子力学教程，科学出版社， 20XX 年版 参考书目：量子力学导论，北京大学出版社，曾谨言我认为考试前要清楚报考单位对量子力学这门课的基本要求以及主要考查内容是什么，应当按照其要求出发，有目的性、针对性的进行的复习。中科院量子力学考试的重点是要求熟练把握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。把握量子力学中一些非凡的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处

10、理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。再者，中科院对量子力学这门课考查主要包括以下 9 大内容：波函数和薛定谔方程 一维势场中的粒子力学量用算符表示中心力场量子力学的自旋定态问题的近 似方法量子跃迁多体问题，复习过程中应当主要对这些内容下功夫。第一阶段：首先按照中科院硕士研究生入学考试量子力学考试大纲中的要求将参考书目看了一遍。中科院量子力学考试大纲中指定的参考书目是量子力学教程 ，这本书是由曾谨言编著的。此阶段看书以理解为主，不必纠缠于细节，将不懂的知识点 做上记号。名师整理 精华知识点第二阶段：我对大纲中要求了解的内容，熟练把握的内容以及理解的内容进行了分类，并且按相关

11、要求对将这门课进行了第二轮复习。另外我认为在这一遍复习中一定要把历年试题弄到手并且仔细分析，因为真题体现了命题单位的出题特点以及出题趋势等。另外，我认为真题要比大纲更有用，因为从大纲中看不出的有价值的东西可以从真题中得到。当然，需要注重的是，单纯把握真题也是不理智的做法，假如一个考生仅仅把握了历年真题的内容，那么考试后他会得出这样一个结论：今年的题真偏。其实，不是题偏，而是他没有把参考书上的东西完全把握好。所以在这个阶段中我仍然以看指定的参考书为主，着重解决了在第一遍复习中留下的疑问和在做真题中自己不会的题目。对了，此轮复习一定要做一份笔记，将主要内容归纳出一份比较简洁的提纲，以便于下轮复习。

12、第三阶段：将专业课过第三遍，这一轮注重结合上一轮的笔记和提纲有重点的，系统的理解和记忆，由于专业课要求答的深入，所以可以找一些专业方面的期刊杂志来看下，扩大下自己的视野范围。这一阶段大家也可以找些习题集来做下，不断巩固自己把握了的知识点。第四阶段：这一轮要将参考书快速翻几遍，以便对整个知识体系有全面的把握并且牢记于心，同时要进行查缺补漏，不要放过一个疑点，要注重的是此时不能执着于细小的知识点，要懂得抓大放小，把握最重要的知识点。另外可以根据对历年试题的分析以及对本年度的专业考试做出一些猜测，并对考试的时间安排及如何进行考中心理调节做下演练。（中科大 2003）一、试证明：（1）投影算符 P |

13、 n n | 是厄密算符；它在任意态 | 中的平均值是正定的，即 | P | 0。（2）设 | 是归一化波函数，对于线性厄密算符 A 以下等式成立i d A A , H i A。dt t证明：（1）因为 P (| n n |) | n n | P 所以 P 是厄密算符或|P|名师整理n|精华知识点*n|*|P|*|n|n2| P | | n n | | n | | 0（2）因为 A , A 则d A, A , A , Adt t t t再由 S-eq得 i d A A , H i Ad t t*或 因为 A A dx 所以*d A A dx *A dx * A dxdt t t t1 *HA

14、dx 1 *AH dx * A dxi i t1 *( AH HA ) dx * A dxi t即 i d A A , H i Ad t t二、对于一维谐振子，求消灭算符 a 的本征态 |，将其表示成各能量本征态 | n 的线性叠加。已知 a | n . n | n 1。解：设 | C n | nn 0由于 a | | 且利用 a | n . n | n 1得 a | C n a | n C n n | n 1 C n | nn 0 n 0 n 0以 n 1 | 左乘上式 并利用 n | n n n 得名师整理 精华知识点nC n C n 1 依次递推得 C n C 0n n !2 n2 2由

15、归一化条件 | C n C 0 1n n n !2 n21 2因为 e C 0 e 2 ie 为实数，可取为 0n n !1 2 n所以 | e 2 | nn 0 n !三、给定 ( , ) 方向的单位矢量 n (sin cos , sin sin , cos )，在 z表象中求 n n 的本征值和归一化本征矢。解：因为 n x s i n c o s y s i n s i n z c o s 所以icos sin en i n n的本征值为 1sin e coscos sin e i a a由本征方程 i 求得sin e cos b bi / 2cos cos e对于 1 1 2 或 1

16、2sin ie sin e i / 22 2i / 2sin sin e对于 1 1 2 或 1 2cos ie cos e i / 22 2四、设一定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处于沿 x 方向的均匀磁场 B 中，哈密顿量为 H e Bx L x L eB 拉莫尔2 c 2 c（Larmor）频率设t0名师整理精华知识点时，电子自旋 “ 向上 ”（Sz/2）。求t0时（1）电子自旋态(t ；（2）电子自旋 S 的平均值。解：（1） 方法一令( t)a(t)初始条件( 0 )a(0 )1b ( t)b ( 0 )0由薛定谔方程得(aaaiid dttabLtLa)tb(t)a(0)

17、abbeiLtL(aib)bbiLbLaabiLb)积分得0)eiLti ea(t(0 )ieLta(t)b (t)(0 )b(b (t)is i nLt由此可得a(t)c o sL( t)tcosLisinL方法二体系能量本征态即x的本征态，本征值和本征态分别为111EEL1x121EEL1x12电子自旋初态( 0 )名师整理(精华知识点11)02T 时刻电子自旋态为( t)1( eiLti eLt)cosLttisinL2（ 2）电子自旋各分量的平均值S y( tS x(t)( t)S x(t)Lt2cosLtisinLt01LtcosLt20Lt10isinLt0i) S y2cosis

18、inLtcos2sini0isinLtS z( t) S z( t)2cosLtisinLt10cosLt2cos 2Lt01isinLt五、已知系统的哈密顿量为H2020020求能量至二级近似，波函数至一级近似。解： （1）HH0HH020000020H000可见所设表象为非H 表象，为将0200H 对角化，先由H 的本征方程求其本征值和本征矢。求得结果为：本征值( E 10)E(0)2E(0)323相应本征矢名师整理精华知识点0|311|1110|210221011 0 1（2）利用 S 10 2 0 转到 h 表象（将 H 对角化）21 0 10 0 2 02h 0 S H 0 S 0

19、2 0 h S H S 0 0 00 0 3 02 2在 h 0 表 象 中 E n ( 1 ) h nn E n ( 2 ) |( 0 h) nm | 2( 0 )m n E n E m( 1 ) h nm ( 0 )n ( 0 ) ( 0 ) mm n E n E m( 1 ) ( 1 ) ( 1 )则 E 1 / 2 E 2 0 E 3 / 22 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )E 1 E 2 0 E 38 8( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )1 3 2 0 3 14 4量子力学测试题（2）1、一质量为 m 的粒子沿 x 正方向以能量 E 向 x=0 处势垒运

20、动。当 x 0 时，势能为零；当x0时，势能为V 03E。问在 x=0 处粒子被反射的几率多大？24解： S-eq为12 k 110 x0其 中k22mE/2k2 220 x01k22 m (EV0)/2k2/4名师整理精华知识点21由题意知 x 0 区域 既有入射波，又有反射波；x 0 区域仅有透射波故方程的解为 1 e ik 1 xre ik 1 xx 0ik 2 x2 te x 0在 x=0 处，及 都连续，得到 1 r t k 1 ( 1 r ) k 1 t 由此解得22 1R r92注意 透射率 T t 因为 k 2 k 1将 e ik 1 x，re ik 1 x，te ik 2 x

21、 分 别 代 入 几 率 流 密 度 公 式i * *j2 m x x得 入射粒子流密度 j 0 k 1m反射粒子流密度 jR k 1 r 2m透射粒子流密度 jT k 2 t 2m由此得 反射率 R j R r 2 1j 0 9透射率 T j T k 2 t 2 8 R T 1j 0 k 1 92、计算（1）L,r2,p?是x,p的整函数，则p,F?(x)（2）设F解：（1）L,r2L,xx名师整理x精华知识点ixxixx0 xL,L,xx因为将第二项哑标作更换ixxiinxxixx所以L,r20 xx（ ）式（2）先由归纳法证明p,xninxn1in1上式显然成立；设nk时上式成立，即p,

22、xkxkikxk1则p,xk1p,xkxxkp,xikxkixk(k)1显然，nk1 时上式也成立，（ ）式得证。因为F(x,p )C mnxmpnm,n0则p,FCmnp,xmpnCmnp ,xmpniCmnmxm1pnrlixFnlmm,nm,nm,n3、试在氢原子的能量本征态nlm 下，计算r1和r2的平均值。1解：处于束缚态nlm下的氢原子的能量l2E n2e42e21a2 enn2n2an2（1）计算r11VTn方 法1 相 应 的 维 里 定 理 为m2En1Vn l m2所以r12En12e2EnHn l man方法 2 选 Z 为参量相应的 F-H 定理e2e2H222名师整理

23、精华知识点nlmr1122 e11ran2ran（2）计算r22F-H2HH2d22 el(l1 )2等效的一维哈密顿量2dr2r2r2取 l 为参量相应的定理EnHln l m注意llnnrl1rH0r2(l1/1a2n3e2(2l1 )an322 )H4、有一个二能级体系，哈密顿量为，H 和微扰算符 H 的矩阵表示为H0E 10H01E 12E20E210其中表征微扰强度，E1E2。用微扰法求 H 的本征值和本征态。解：由于是对角化的，可见选用表象为H 表象对于E1E2，由非简并微扰论计算公式EnE(0)Hnnm|Hnm|2)nE( n0 )E( 0m(0)Hmn(0)nnmE(0 )E(

24、0)mnm得E(1 )0E(2)E(H1220)110)( E 21( 1 )( E 10H210)(0)E 1名师整理精华知识点01)( E 22E 21( 1 )EE(1 )0)(0)E2E 11E(2)EH1220)E22E 122(0)( E 1H1222(0)E 1 (0102所以 ，二级近似能量和一级近似态矢为2 1 0 2 0 1E 1，；E 2，。E 1 E 2 0 E 1 E 2 1 E 2 E 1 1 E 1 E 2 0对于 E 1 E 2，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为E 1，1 1；E 1，1 1。2 1 2 15 、 自 旋 投 影 算 符 Sn n，

25、为 泡 利 矩 阵 ， n 为 单 位 矢 量2（sin cos , sin sin , cos）。（1）对电子自旋向上态 ( zs / 2 )，求 S 的可能值及相应几率；（2）对 n的本征值为 1 的本征态，求 y的可能值及相应几率。cos sin e icos sin e i a a解：（1）由 S n2 sin e icos 2 sin e icos b m sb得1(s n)cos21( s n)sin2i ei e2sin22cos2对于电子自旋向上态名师整理/2 )精华知识点，S 取值2的几率分别为(zs101(2sin2ie122 cos2111cos2022cos2ie12s

26、in221sin202（2）y的本征值和本征态1 i；1，(y)1，(y)122i1 的本征态 ( 即S 的本征值为电子处于n的本征值为2的本征态ns)，2则 y的可能值及相应几率为12(y)1(n)211icos21( 1sinsin)2sin22i e221(y)1(n)211ic o s 211(s i ns i n)22s i n 2i e26、设质量为m 的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为1a(x1x 2)2(a0 )。2（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；（2）若粒子自旋s1 /2，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。名师整理 精华

27、知识点解：体系的哈密顿量为H2222221a (x 1x 2)2xx 1x2m/2m2 x 1m2 x 22引入质心坐标 X 和相对坐标 x：X1(x 1x2)2在坐标变换x 1,x 2X,x下，体系的哈密顿量变为H22222221ax2MMX2 x2m2相对运动哈密顿量为nH r22d21ax222d212x2adx22dx22（ 1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为Enn1n(x)Nne12x2Hn(x )220,24, ,是为了保证波函数对交换1x 和x 是对称的 。限定n0 ,24,（ 2）若粒子自旋s1/2，则相对运动态的能量和波函数为Enn1n0 ,1,2,2(x ,S

28、 z)Nne12x2Hn(x|)00n,02 ,42)Nne12x2Hn(x)|11n,15,3 ,(x ,S z2|10|11其中|11()1(2)|101( 1 )(2 )(2)(1 )2|11()1名师整理|精华知识点( 1 )(2 )(2)( 1 )(2)0012体系基态能量和波函数E1(x ,S z)N0e12x2|0022体系第一激发态能量和波函数E3(x,S z)N 1e12x2H1(x)|112|102量子力学测试题（4）11（复旦 2002）1、已知一维运动的粒子在态(x 中坐标 x 和动量p 的平均值分别为x 和p ，求在态(x)eip0 x/(xx0)中坐标 x 和动量p

29、 的平均值。解：已知粒子在态(x 中坐标 x 和动量p 的平均值分别为x*(x)x(x )dxx 0p x*(x )ix(x )dxp 0现粒子处在(x 态，坐标 x 和动量p 的平均值x*(x)x(x) dx*(xx0)x(xx 0) dx*(x)(xx0)(x)d xx 0 x 00px*(x )i名师整理精华知识点(xx 0)ixeip0 x/(xx 0)dxx(x )dxe ip0 x/*ip e0 x/*(x)x0)p 0eip0 x/)(xx 0)eip0 x/0ix(xx 0)dxp 0*(xix(xd xp 0p 02、一体系服从薛定谔方程2(22)1kr 1r22( r 1,

30、r2)E(r 1,r2)2 m122（1）指出体系的所有守恒量（不必证明） ；（2）求基态能量和基态波函数。解：（1）体系的哈密顿量为H2222221kr 1r22rr1r2m/2m1m22引入质心坐标 R 和相对坐标 r ：R1(r 1r2)2在坐标变换r 1,r2R ,r下，体系的哈密顿量变为2mH2222221kr2MMRr2容易得知系统的守恒量为E,L2,Lz。（中心力场）（ 2）相对运动哈密顿量为Hr2221kr222212r2krr22相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为EN3( r)332e12r2N0 1, ,2 ,/22名师整理 精华知识点3、设 t=0 时氢原子

31、处在态(r,0)121002102211321110（1）求体系能量的平均值； （2）任意 t 时刻波函数(r,t)；（3）任意 t 时刻体系处在l1 m1态的几率；（4）任意 t 时刻体系处在m0态的几率。解：氢原子定态能量和波函数为（1）E2E13Ene2nlm(r,)R nl(r)Y lm(,)2an2E11 e225540a（2）任意 t 时刻波函数(r,t)12 eiE1 t/100(r)eiE2t/210(r)2211(r)3211(r)10（3）任意 t 时刻体系处在l,1 m1态的几率为 1/5 ；（4）任意 t 时刻体系处在m0态的几率为 1/2 。4、一维谐振子受到微扰Hc

32、x2作用，式中 c 为常数。在粒子数表象中，1/2x2 m( aa)a,a分别为湮灭算符和产生算符，满足a|nn|n1a|nn1|n1（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比较。解：（1）由a,a1名师整理精华知识点得利用aHccx2c(acaa)2c2a2|(a)212aa |22|nnn1n1计算微扰矩阵元得n1|nHmnm|H|n1 )n2m|a(a)212 aa |n2)1(n(n( 2 nn1 )(n2 )m,n2mnm,2零级近似能量、一级和二级修正能量分别为( 0E n)n18c23E(1 )Hnn(nn12cc2n12c23n22E

33、(2)mnEHmn2(0)En(n1 )1 )(n2)2n(0)22nmEnn11c24精确到二级近似的能量值为22（2）现求能量精确值Hp2122x2cx2p2122x21022222c1/2c02本征能量E nn1n0,1,n112c1/2n111/2222202 ,2 c2视为微小量，则名师整理精华知识点其中2)Enn21n3122E( n0)E( 1 )nE n (2)n1c28n( En0)c1( 1 )E n2212( En22能量精确解的前三项与分别与零级近似能量、一级和二级修正能量相同。5、设a,a分别为湮灭算符和产生算符， 满足对易关系a,a1。体系的哈密顿量为H Aaa B

34、a a Ca a D（1）问 A , B , C , D 满足什么条件 H 才是厄密算符？（ 2）求体系的能量。解：（1）容易得知 H 是厄密算符的条件是 A , B , C , D 均为实数，且 A B，则2 2H A a ( a ) Ca a D（ 1）（2）由（ 1）式得22令bCaaa2(a)21(HD)（2）1则AAaabaa其中,为待定实数已知b,baa,aa2a,a2a,aa,a1则得b ,b22为 使b,b与a,a满 足 相 同 的 对 易 关 系b,b1bb(aa )(aa)2aaa2(a)22aa计算利用a ,a1名师整理aa精华知识点1aa得bb(22)aa)a2(a)2

35、2)2（3）442 A221(bb所以aaa2(a)2比较（ 2）式和（ 3）式，如令222C)则得A1(bb1(HD)2A（4）)由此可得HA(bbDD2Cn0,1,2,如果已知,，则 H 的本征值为EnA(n22现在来求,由于221解之得ACC24A2CC22C24A22C2A2An0 ,1,C24A2EnC24A2nCC244A2DC2A所以2C2A22 ,武汉大学 20XX 年度研究生入学考试量子力学试题选解一名词解释（ 4 分 5 题）名师整理精华知识点波长1德布罗意假设：微观粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E和动量P与波的频率和之间的关系，正像光子和光波的关系一样，为：hph/k2

36、.波函数：描述微观体系的状态的一个函数称之为波函数，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。3基本量子条件：x ?,x ?0p ?,p ?0 x?,p?i4.电子自旋：电子的内禀特性之一：在非相对论量子力学中。电子自旋是作为假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两 个 数 值 ：s zMsz2； 每 个 电 子 具 有 自 旋 磁 矩 Ms ， 它 和 自 旋 角 动 量 的 关 系 式 ：MseSe2。在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质样包含在波动方程中，不需另作假定。5.全

37、同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。二计算题（ 20 分 4 题）U(x )U0,x00入射，求透射系数。讨论如下三种情1.粒子以能量E由左向右对阶梯势0 ,x况：（1） U0E0；（3）E0,但由右向左入射。解：U0E0 写出分区薛定谔方程为：22d21U01,xE01,x0dx222d22E2dx2但在 x0，但仍有粒子被反射。 E0,粒子从右向左入射仿，有1Aeik1xAeik1x,x0为透射波系数， A0. 2Beik2xBeik2x,x0但 B为入射波系数， B 为反射波系数， A由波函数的标准条件，有1( 0 )2(0 )ABB(BB)( 0 )

38、(0 )k 1Ak222解得：A2 k2Bk 1k 1k 2k 2BBk 1k2据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数Jk2|B2 |ex,JRk 1k2|B2 |ex,JD0k 1|A2 |exU2E)4R|JR|B|(k1k2)2(EUE E)20|J|k1k2EU0(EU0|B|D|JDk1|A|(2k22)4E(EU0)2(|J|k2|B|k2k 1kEU0E)2满足 R+D 1 可见，仍有粒子被反射。名师整理精华知识点10(x)12(x )C4(x )(x,0)2.一维谐振子在t0时处于归一化波函数25所描述的态中，式中 0 ( x ), 2 ( x

39、 ), 4 ( x ) 均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：（ 1）待定系数 C；（ 2）t0时，体系能量的可能取值及相应的几率；（ 3）t0时，体系的状态波函数 ( x , t )。（ 4）t0与t0时体系的 x ( 0 ,) x ( t )。解：用 Dirac 算符 由|(x ,0 )0 )1|01|2C|425(x ,0)|(x ,11，可求得C31059能量可能取值2， 2， 2相应的几率1/2，1/5，3/10 因为 n0,2,4 都为偶数，故宇称为偶x(0)1(x ,0 )|x|(x,t)2(21|0ei1 2t1|2)|ei5 2t0 )|3|4e|i9t2(2510)12a ?x ?(a ?)利用，有x ,2)1(x,0)|(x ,0 )(a ?a ?(22(0|12|14|3)(a ?a ?)(1|01234251025100 x( t)(x ,t)