【全程复习方略】北师版数学文（陕西用）总复习配套课件： 第十一节导数与函数的单调性、极值、最值

1、第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值1.函数的单调性与导数的关系（1）函数y=f(x)在（a，b）内可导常数函数（2）单调性的应用若函数y=f(x)在区间（a,b）上单调，则y=f(x)在该区间上_.不变号2.函数的极值（1）极大值在包含x0的一个区间（a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都_x0点的函数值，称_为函数y=f(x)的极大值点，其函数值_为函数的极大值.小于或等于点x0f(x0)（2）极小值在包含x0的一个区间（a,b）内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都_x0点的函数值，称_为函数y=f(x)的极小值点，其函数值_为函数的极小值._与_统称为极值，_与_统称为

2、极值点.大于或等于点x0f(x0)极大值极小值极大值点极小值点（3）导数与极值x(a,x0)x0(x0,b)f(x) + 0 - y=f(x) 增加 极大值 减少 x(a,x0)x0(x0,b)f(x) -0 +y=f(x) 减少极小值 增加 3.函数极值与最值的求法(1)求可导函数y=f(x)极值的步骤：求出导数f(x)；解方程f(x)=0；对于方程f(x)=0的每一个解x0，分析f(x0)在x0左、右两侧的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：若f（x）在x0两侧的符号“_”，则x0为极大值点；若f（x）在x0两侧的符号“_”，则x0为极小值点；若f（x）在x0两侧的符号_，则x0不是极

3、值点.左正右负左负右正相同（2）求函数在闭区间a,b上的最值可分两步进行：求y=f(x)在(a,b)内的_；将函数y=f(x)的各极值与区间a,b端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_为最大值，_为最小值.极值最大的一个最小的一个判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1) f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.( )(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( )(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )(4)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )【解析】（1）错误.f(

4、x)0能推出f(x)为增函数，反之不一定如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增，但f(x)0所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件(2)错误一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一个.(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小.(4)错误.对可导函数f(x)，f(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件，如y=x3在x=0时f(0)=0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点(5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值.答案：(1)(2)(3)(4)(5)1函数f(x)ln xax(a0)的递增区间为

5、( )（A） （B）（C） （D）(-,a)【解析】选A.由 得 f(x)的递增区间为2设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( )（A）(a，b) （B）(a，c)（C）(b，c) （D）(ab，c)【解析】选A.f(x)3ax22bxc，由题意知1，1是方程3ax22bxc0的两根， b0.3.函数f(x)=x3-3x,x(-1,1)( )（A）有最大值，但无最小值 （B）有最大值，也有最小值（C）无最大值，也无最小值 （D）无最大值，但有最小值【解析】选C.f(x) =3x2-3,x(-1,1),f(x)0,f(x)在(-1,1)上是减少的

6、，故f(x)无最大值，也无最小值. 4已知f(x)x3ax在1，)上是增加的，则a的最大值是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【解析】选D. f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.a3，故amax3.5已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f(x)1，则f(x)x的解集是( )（A）(0,1) （B）(1,0)(0,1)（C）(1，) （D）(，1)(1，)【解析】选C.令F(x)f(x)x，则F(x)f(x)10，所以F(x)是增函数，故易得F(x)F(1)的解集，即f(x)x的解集是(1，)考向 1 利用导数研究函数

7、的单调性 【典例1】（1）（2012辽宁高考）函数 的递减区间为( )（A）(-1,1 （B）(0,1（C）1,+) （D）(0,+)（2）（2012北京高考改编）已知函数f(x)=ax2+1(a0), g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值;当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.【思路点拨】（1）保证函数有意义的前提下，利用y0求解.(2)利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等，构造方程组求解；构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求单调区间.【规范解答】（1）选B.由 -1x1，

8、且x0，又函数的定义域为(0,+),故递减区间为(0,1.（2）f(x)=2ax,g(x)=3x2+b，由已知可得解得a=b=3.令 令F(x)=0，得a0,x10得， 或由F(x)0得，递增区间是递减区间为【互动探究】在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数f(x)+g(x)当a0时，在区间（-，-1)上的单调性.【解析】由本例解析知，当a0时，函数的递增区间是 递减区间为当 即0a2时，f(x)+g（x）在(-，-1)上为增加的；当 即26时，f(x)+g（x）在 上是增加的，在 上是减少的，在 上是增加的.综上，当00时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图像开口向上,而f(0)=

9、-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a1; 3分当a=1时,对于任意x0,1,有f(x)=(x2-1)ex0,且只在x=1时f(x)=0,f(x)符合条件;当a=0时,对于任意x0,1,f(x)=-xex0,且只在x=0时，f(x)=0，f(x)符合条件;当a0,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.5分(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g(x)=(-2ax+1-a)ex,()当a=0时,g(x)=ex0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e. 6分()当a=1时,对于任意x0,1有g(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大

10、值g(0)=2,在x=1取得最小值g(1)=0. 7分()当0a1时,由g(x)=0得若 即 时,g(x)在0,1上是增加的,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e. 9分若 即 时,g(x)在 处取得最大值 在x=0或x=1处取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, 10分由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得则当 时，g(0)-g(1)0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;当 时，g(0)-g(1)0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e. 12分【失分警示】 (下

11、文见规范解答过程）1.(2012陕西高考）设函数 则( )（A） 为f(x）的极大值点（B） 为f(x)的极小值点（C）x=2为f(x)的极大值点（D）x=2为f(x)的极小值点【解析】选D. 令f（x）=0，即 解得x=2.当0 x2时，f（x）2时，f（x）0，所以x=2为f（x）的极小值点.2.（2012福建高考）已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论：f(0)f(1)0;f(0)f(1)0;f(0)f(3)0;f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是( )（A） （B）（C） （D）【解析】选C.f(x)=3x2-12x+9

12、=3(x-1)(x-3),函数f(x)在(-,1)上是增加的，在(1,3)上是减少的，在(3,+）上是增加的，又因为f(a)=f(b)=f(c)=0，所以f(x)=0有三个实数根，故f(x)的极大值f(1)0,f(x)的极小值f(3)0,又f(0)=-abc=f(3)，故f(0)0,故正确.3.（2013合肥模拟）已知函数f(x)=x2+3x-2ln x，则函数f(x)的递减区间为( )(A) (B)(C)(-,-2) (D) 【解析】选D.函数f(x)=x2+3x-2ln x的定义域为(0,+).因为 令2x+3- 0,即2x2+3x-20，解得 又x0，所以 故函数f(x)的递减区间为（0

13、, ）.4.（2013景德镇模拟）已知函数f(x)的定义域为-1,5，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f(x)的图像如图所示, 下列关于函数f(x)的命题:函数f(x)的值域为1,2;函数f(x)在0，2上是减少的;x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 如果当x-1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4;当1a2时，函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题为_（填写序号）.【解析】由y=f(x)的图像知，y=f(x)在(-1,0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2,4)上是增加的，在(4,5)上是减少的，故正确；当x=0与x=4时，y=f(x)取极大值，当x=2时，y=f(x)取极小值，因为f(2)的值不确定，故不正确；对于，t的最大值为5.答案：5. （2012安徽高考）设定义在（0，+）上的函数(1)求f(x)的最小值.(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 求a,b的值.【解析】(1) 当且仅当 时，f(x)取最小值为b+2.（2）由题意得: ， ,由得:a=2,b=-1.1.已知函数f(x)(xR)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x021)(xx0)，那么函数f(x)的递减区间是( )（A）1，) （B）(，2（C）(，1)，(1,2) （D）2，)