2022届广东省惠州市惠东高三适应性调研考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1已知集合，则集合（ ）ABCD2已知集合，集合，则AB或CD3已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( )A，b为任意非零实数B，a为任意非零实数Ca、b均为任意实数D不存在满足条件的实数a，b4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）A6里B12里C24里D48里5设是等差

3、数列，且公差不为零，其前项和为则“，”是“为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）ABCD7公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，

4、乌龟爬行的总距离为（ ）A米B米C米D米8已知数列an满足a1=3，且an+1=4an+3 (nN*)，则数列an的通项公式为（ ）A22n-1+1B22n-1-1C22n+1D22n-19设且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD10设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )ABCD11给出以下四个命题：依次首尾相接的四条线段必共面；过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（ ）A0B1C2D312设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第

5、二象限C第三象限D第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知为偶函数，当时，则_14从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为_.15已知三棱锥中，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为_.16在中，点在边上，且，设，则_（用，表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，平面平面，为中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.18（12分）设函数.（）讨论函数的单调性；（）如果对

6、所有的0，都有，求的最小值；（）已知数列中，且，若数列的前n项和为，求证：.19（12分）已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：.20（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.21（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：函数的周期为；是函数的对称轴；且在区间上单调.（）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；（）若，求函数的值域.22（10分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工

7、的成绩为“优秀”.（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；若从所有员工中任选3人，记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.【详解】因，所以，故，又， ，则，故集合.故选：D.【点睛】本题考查

8、集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.2C【解析】由可得，解得或，所以或，又，所以，故选C3A【解析】求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.【详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题4C【解析】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里故选：C【点睛】本

9、题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题5A【解析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，此时，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结

10、合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题6C【解析】根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：， 连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.7D【解析】根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设，所以，解得，所以 .故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.8D【解析】试题分析：因为an+1=4an+3，所以an+1+1=

11、4(an+1)，即an+1+1an+1=4，所以数列an+1是以a1+1=4为首项，公比为4的等比数列，所以an+1=44n-1=4n=22n，即an=22n-1，所以数列an的通项公式是an=22n-1，故选D考点：数列的通项公式9A【解析】 项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，即不等式不成立，故项错误综上所述，故选10D【解析】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.结合图象可得当直线与函数的

12、图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.11B【解析】用空间四边形对进行判断；根据公理2对进行判断；根据空间角的定义对进行判断；根据空间直线位置关系对进行判断.【详解】中，空间四边形的四条线段不共面，故错误.中，由

13、公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故正确.中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误.中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.12A【解析】利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.二、填

14、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由偶函数的性质直接求解即可【详解】.故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力14【解析】基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能

15、力，求解时注意辨别概率的模型15【解析】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【详解】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示因为，所以，又二面角的大小为，则，所以，设外接球半径为R，则，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题.16【解

16、析】结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示，即可得到结果【详解】在中，因为，所以，又因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析；（2）【解析】（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设中点为，连接、，为等边三角形，即， ，平面，

17、平面，平面，为的中位线，平面，平面，平面，、为平面内二相交直线，平面平面，平面DMN，平面；（2）设中点为，连接、为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，、共线，平面平面.平面平面平面，交线为，平面平面.设，则在中，由余弦定理，得：又，为中点，建立直角坐标系（如图），则，.，设平面的法向量为，则，取，则，平面的法向量为，二面角为锐角，二面角的余弦值大小为.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.18（）函数在上单调递减，在单调递增；（）；（）证明见解析【解析】（）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区

18、间；（）设g（x）f（x）ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；（）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可【详解】解：（） f（x）的定义域为（1，+），当时，f（x）2，当时，f（x）2，所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增（）设，则，因为x2，故，（）当a1时，1a2，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递减，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；（）当1a1时，21a1，若，则g（x）2，g（x）单调递增，而g（2）2，所以当时，g（x）2，即f（x）ax

19、；（）当a1时，1a1，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递增，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；综上，a的最小值为1（）由（1an+1）（1+an）1得，anan+1anan+1，由a11得，an2，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，由（）知a1时，x2，即，x2法一：令，得，即因为，所以，故法二：下面用数学归纳法证明（1）当n1时，令x1代入，即得，不等式成立（1）假设nk（kN*，k1）时，不等式成立，即，则nk+1时，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式对任何nN*都成立故考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3

20、、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明19（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），分，三种情况推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到证明.【详解】（1）由，得.当时，方程的，因此在区间上恒为负数.所以时，函数在区间上单调递减.又，所以函数在区间上恒成立；当时，方程有两个不等实根，且满足，所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；当时，在区间上，函数在区间上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.（2）由第（1）知：若时，.若，则，即成立.将换成，得成立，即，以此类推，得，上述各式相加，得，又，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.20（1）或；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围.试题解析：（1）等价于或或，解得：或.故不等式的解