2022届甘肃省张掖市高考仿真卷数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD2已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）ABCD3要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平

2、移个单位4已知向量，是单位向量，若，则（ ）ABCD5已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ）ABCD6将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )A18种B36种C54种D72种7复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）ABCD8已知定义在上的函数，则，的大小关系为（ ）ABCD9已知满足，则（ ）ABCD10已知空间两不同直线、，两不同平面，下列命题正确的是（ ）A若且，则B若且，则C若且，则D若不垂直于，且，则不垂直于11如图，四边形为正方形，延长至，使得，点在线段上运动.设，则的取值范

3、围是（ ）ABCD12设，其中a，b是实数，则（ ）A1B2CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为_.14已知，且，则最小值为_15函数的定义域为_.16在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平

4、行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由18（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，的值并估算一周课外读书时间的中位数.（2）如果读书时间按，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.求每层应抽取的人数；若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层

5、的概率.19（12分）已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点，.（1）当时，求的面积；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值.20（12分）已知多面体中，、均垂直于平面，是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值21（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结

6、果：，注：年返修率=（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程中， ，.22（10分）已知a0，证明：1参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程是.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程

7、的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用2A【解析】根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，此为球的半径，.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题3A【解析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.【详解】解：.对于A：可得.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆

8、了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.4C【解析】设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案；【详解】设，是单位向量，,，联立方程解得：或当时，；当时，；综上所述：.故选：C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况.5A【解析】由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，又，则双曲线的离心率为故选：【点睛】本题考查

9、抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长6B【解析】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有种.故选：.【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.7C【解析】，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知，故的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8D【解析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在

10、时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.9A【解析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.10C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线

11、，故不正确应选答案C11C【解析】以为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为1，则，设，则，所以，且，故.故选：C.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.12D【解析】根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.【详解】由题可知：，即，所以则故选：D【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷

12、一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为.故答案为：【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.14【解析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】，结合可知原式，且，当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误15【解析】对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.【详解】对

13、函数有意义，即.故答案为：【点睛】本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.16【解析】解法一：曲线上任取一点，利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值；解法二：曲线函数解析式为，由求出切点坐标，再计算出切点到直线的距离即可所求答案.【详解】解法一（基本不等式）：在曲线上任取一点，该点到直线的距离为，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，曲线上任意一点到直线距离的最小值为；解法二（导数法）：曲线的函数解析式为，则，设过曲线上任意一点的切线与直线平行，则，解得，当时，到直线的距离；当时，到直线的距离.所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查

14、曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离，也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）详见解析；（）能，或【解析】试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；（2）第一步由 ()得的方程为设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)

15、设直线，由得，直线的斜率，即即直线的斜率与的斜率的乘积为定值（2）四边形能为平行四边形直线过点，不过原点且与有两个交点的充要条件是，由 ()得的方程为设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即解得，当的斜率为或时，四边形为平行四边形考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,即得到结果，（2）对于用坐

16、标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.18（1），中位数；（2）三层中抽取的人数分别为2，5，13；【解析】（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，再结合中位数的计算方法，即可求解.（2）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；由知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得，所以，.设一周课外读书时间的中

17、位数为小时，则，解得，即一周课外读书时间的中位数约为小时.（2）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，又因为，的频数分别为20，50，130，所以从，三层中抽取的人数分别为2，5，13.由知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，共有21种，其中2人不在同一层的情况为，共有10种.设事件为“这2人不在同一层”，由古典概型的概率计算公式，可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19（1）；（2）

18、或【解析】（1）联立直线的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形的面积.（2）法一：根据的坐标求得的坐标，将的坐标都代入椭圆方程，化简后求得的坐标，进而求得的值.法二：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合求得点的坐标，进而求得的值.【详解】（1）设，若，则直线的方程为，由，得，解得，设直线与轴交于点，则且.（2）法一：设点因为，所以又点，都在椭圆上，所以解得或所以或.法二：设显然直线有斜率，设直线的方程为由，得所以又解得或所以或所以或.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.20（1）见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，由此能证明平面；（2）由，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，由此能求出直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）取的中点，连接、，、分别为、的中点，则且，、均垂直于平面，且，则，且，所以，