大一下高数10一元函数积分学

1、第十章 重积分一元函数积分学重积分曲线积分曲面积分多元函数积分学第一节二重积分的概念与性质一、引例二、二重积分的定义与可积性三、二重积分的性质四、体体积的计算一、引例z (fx, y)1.给定体的体积体:底： xoy 面上的闭区域 DD顶:连续曲面 z ( f,x y ) 0侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.解法:求 极”类似定积分解决问题的“大化小, 常代变, 近似和,限1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域z (fx, y)1, 2, 以它们为底把, n体分为 n 个k , k(f)小体D kk,()2,3)“常代变”在每个 k 中任取一点(kk, k

2、) 则,k) k k(Vk, fk 1,2n,)4)“近似和”nnk 1Vk (fk 1k, kV)k5)“取极限”定义k 的直径为 ) kPmax1 P2,P k (令P1)2 max (kz (fx, y)1 knnfk(k, V lim)k(f k , k) 0 k 1( k,) kk2. 平面薄片的质量有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密度为(x, y ) C计,算该薄片的质量 M .若( ,x)y M 设),D 的面积为 ,y常(数则若 ( x,y非)常数 , 仍可用D“大化小, 常代变,近似和,限解决.1)“大化小”求 极”x,2 , n,1,用任意曲线网分

3、D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .2)“常代变”在每个 k k, k中任取一点()则,第 k 小块的质量,k) k k(M(k 12yn,)k3)“近似和”nn Mk (kk 1,M )kkk 14)“取极限”xk ,k) k(令 max (k)1 knnM limk ( k, )k 0 k 1两个问题的共性：解决问题的步骤相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”所求量的结构式相同体体积:nfk(k, V lim)k 0 k 1平面薄片的质量:nM limk ( k, )k 0 k 1二、二重积分的定义及可积性设(f x,y是)定义:定义在有界区域 D上的有界函数 ,将区域 D

4、任意分成 n 个小区域 ( k1k ,2 ,n ,),k, k) k任取一点(若, 存在一个常数 I , 使n记作 f k(k, yd f ( x,)limI)k 0 k 1DD上的二重积分.y)可积称, I则称f(x ,f为(x,在y)Dx,y称为积分变量积分域面积元素被积函数yd f ( x,)积分和积分表达式如果 (f x,y在)D上可积,可用平行坐标轴的直线来划分区域D , 这时 kyk , 因此面积元素d xk 也常记作dxdy, 二重积分记作f(D x,)ydxdy .引例1中体体积:V f()y d f( x,x,y)dxdyDD引例2中平面薄板的质量:M (x,d ( x,y)

5、y)d xd yDD二重积分存在定理：若函数 (fx, y在)有界闭区域 D 上连续，则 (fx, y在)D 上可积.二重积分的几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值因此，二重积分是在这些部分区域上的体积的代数和体三、二重积分的性质kD (fy)kd) ydd1.f (x,xy)( k 为常数)Dx,x)f (x) 2., yg (D(f,dy g, y )(xdDy ) d D ff()y d f()y d3.( x,x,x,DD1D 2无2公D共内点)D1上( fD4(D在 D2 ,1,D1 为,x ) y若.,D 的面积, 则1

6、ddDDy) ( x ,5. 若在D上 (f x,x,y) 则,f()y d (x,y)dDDx ,于(x ,fy)x,特别, 由f6m. 设ax M yx,)(f(dx,)yf( f()y dy),)yDDm面, 积为), ,(Dxf,mf xinyD 的(D f ()y d 则有mx,MD6m. 设ax M mD 的(面, 积为), ,(Dxf,y),mf xinyD f ()y d 则有mx,MD7.(二重积分的中值定理) 设函数 (f x,y 在)闭区域D上连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点(, ) D使,f(x,y)d(f ,D例1.比较下列积分的大小:yx )yd2 ,(y3

7、)2x ( (dDDD221y) 其:中(D2x)1ox312xy 1例1.比较下列积分的大小:yx )yd2 ,(y3)2x ( (dDDD221y) 其: 中(D2x)1解: 积分域 D 的边界为圆周ox312xy 12(y 12x2()2y1它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直线x.而域 D 位相切y1于直线的上方, 故在 D 上x,从而23 y)x()(xy )( x ( y2dy3 ) xdDD例2. 判断积分2y d21x3x d 的y正负号.yx 2y24D2 ,y d2解: 分积分域D为1 ,3D则,x dD3D21原式 =21x3oyx3 2D1D1 2 y12dx3xd

8、yD2舍去此项D3yx2dx21yd3猜想结果为负但不好估计 . d xdy1 xd3yd3D1 2 3D3(3 1)4 3)20例3.估计下列积分之值dxdyI xy10y10DD:cos2x2100ycosDox 1010 10例3.估计下列积分之值dxdyI xy10y10DoD:cos2x22100ycosD)2D 的面积(为 10解:由于200 x 1011011110002 100cos2x2ycos 10积分性质5200200即:1.96 I 2I1021008. 设函数 (f x,y在)闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,yD 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上(f

9、 x ,y ) f x(1)( y则,),D1f()y d2 fy) d) y d x,y )(x , xo D0 xDD1()f,(f x ,f x(2)( y 则,D当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.如, D1 为圆域D2xdd2y 1在第一象限部分, 则有:x 4dy x(x2)22y ) 2y)ydxdyDD1(xd y0 xD四、设体体积的计算的底为z 2(y(bx)( x1) y 2 x )yD(x,)y axDa0 a,任取xb平, 面x0 x截柱体的x0b xoy 1(x)( x 0 )2截面积为 A (x )f (x,0y)d y01 (

10、 x 0 )z 2(yx)故体体积为yb)y d A(V x)dxf(x,DaaDx0b xo2( x )b f (x ,y)d y xdy 1(x)a1( x )同样,(x ,y的底为y1(y) x 2( y),ycD)d则其体积可按如下两次积分计算dV f()y dx, (xy) 1(yd2Dxy) 2( y )d cf ( x ,y)d x y ( y )c1o 2( y )dxd yf (x ,y)d x ( y )c11. 二重积分的定义nff(i (i ,)y d lim(d dx)ix,dy) 0 i1D(与定积分性质相似)2. 二重积分的性质3.体体积的计算二次积分法内容小结1. 比较下列积分值的大小关系:xx1 x 2Iy d1xd1Iyy dxdy2x y 1yy2I1y1xy dxd31 1解: 1I ,I2 ,I积函数相同, 且非负,被31x由它们的积分域范围可知2I I1 I3o思考与练习2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则1y2DDy2xd33xd3xd I ,I,Iy321D的大小顺序为 (D)( A 1)I I2 I; I1 I( B 2I);333) II;D3) I.2C(I(yI 1I21y122因 0 y