精品最全高考解析几何压轴题精选含答案

1、-1. 设抛物线 y2 = 2px(p 0) 的焦点为 F ，点 A(0, 2) .若线段 FA 的中点 B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_。 (3 分)2 . 已知 m1，直线 l : x my m2 = 0 ，椭圆 C : x2 + y2 = 1 ， F F 分别为椭圆 C 的左、2 m2 1, 2右焦点. ()当直线l 过右焦点 F 时，求直线l 的方程； ()设2直线l 与椭圆 C 交于 A, B 两点， AF F ， BF F 的重心分别为1 2 1 2G, H . 若原点O 在以线段 GH 为直径的圆内， *数m 的取值范围 .(6 分)3 已知以原点 O 为中心，

2、F ( 5,0 )为右焦点的双曲线 C 的离心率5e= 。2(I) 求双曲线 C 的标准方程及其渐近 线方程；(II) 如题(20) 图，已知过点 M (x , y)1 1的直线 l : x x + 4y y = 4 与过点1 1 1N (x , y ) (其中 x x )的直2 2 2线 l : x x + 4y y = 4 的交点 E 在2 2 2双曲线 C 上，直线 MN 与两条渐近线分别交与 G 、H 两点，求OGH 的面积。 (8 分)4.如图，已知椭圆x2 + y2 = 1(ab0) 的离心率为 2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右a b 22 2焦点 F , F 为顶点的三角形的周

3、长为4( 2 +1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， 设 P1 2为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF 和PF 与椭圆的交点分别为A、B 和C、D .1 2. z.-()求椭圆和双曲线的标准方程； ()设直线 PF 、1PF2 的 斜 率 分 别 为 k1 、 k 2 ， 证 明 k1 k2 = 1 ； ( ) 是 否 存 在 常 数 入 ， 使 得AB + CD = 入 AB CD 恒成立？若存在，求入 的值；若不存在，请说明理由. (7 分)5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆 + = 1 的左、右顶点为 A、B，右焦点为x 2 y 29 5F。设过点 T (t, m

4、 )的直线 TA 、 TB 与椭圆分别交于点 M (x , y ) 、 N(x , y ) ，其中1 1 2 2m0, y 0, y b 0) 。试问：当且仅当 a,b 满足什么条件时，对C1任意一点 P，均存在以 P 为顶点、与C0外切、与 C1 内接的平行四边形？并证明你的结论。 (4 分)13 设曲线 C : + y 2 =1 (a 为正常数)与 C :y2 =2(*+m)在*轴上方公有一个公共点 P。x21 2a2(1)实数m 的取值范围(用 a 表示) ；1(2) O 为原点，若 C 与*轴的负半轴交于点 A，当 0a - 3 C. k = R D. k =R 但k 丰 0 4 45

5、.圆的方程为 ，直线的方程为 ，则直线与圆的位置关系是(x = -1 + 2cos9 (x = 2t - 1( ) 。A. 过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离6.参数方程| = t ( t 为参数)所表示的曲线是( ) 。( 1y y y y7.曲线 C：( x = cos9 (9 为参数)的普通方程为；如果曲线 C 与直线 x + y + a = 0 有A B C Dly = -1 + sin9公共点，0则实数 a*的取值范围 。 * 0 * 0 *8(2011*)已知两曲线参数方程分别为 (0 共9 1，所以m = 2 ，故直线l 的方程为 x - 2y - 22 = 0 。2

6、()解：设 A(x , y ), B(x , y ) 。 由 ，消 1 1 2 2 + y2 = 1x = my + 2去 x 得 2y2 + my + m2 - 1 = 04则 由4 1 2 2 1 2 8 2编 = m2 - 8(m2 - 1) = -m2 + 8 0 ，知 m2 8 ，且有 y + y = - m , y y = m2 - 1 。由 于 F (-c,0), F (c,0), ， 故 O 为 F F 的 中 点 ， 由 AG = 2GO, BH = 2HO ， 可 知1 2 1 23 3 3 3 9 9G(x1 , y1 ), h(x2 , y1 ), GH 2 = (x1

7、 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 设 M 是 GH 的 中 点 ， 则M ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ， 由 题 意 可 知 2 MO GH , 即6 64(x1 + x2 )2 + ( y1 + y2 )2 (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )26 6 9 9而1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 8 2 8 2x x + y y = (my + m2 )(my + m2 ) + y y = (m2 +1)(m2 - 1 ) 所以 m2 - 1 0即 m21且编 0 所以1 m 0, y 0, 且 x + x = 2k (k 一 3) , 由 N (

8、1 ，3)是线段 AB 的中点，得 1 2 k 2 + 3解得 k=1，代入得， 入 12, 即入 的取值范围是(12，+) .于是，直线 AB 的方程为y 一 3 = 一(x 一 1),即x + y 一 4 = 0.解法 2：设 A(x , y ), B(x , y ), 则有1 1 2 2依题意， x1 士 x2 ,：kAB = 一 . z.-N (1 ，3)是 AB 的中点， x + x = 2, y + y = 6, 从而k = 一1.1 2 1 2 AB又由 N (1 ，3)在椭圆内， 入 3 人12 +32 = 12, 入 的取值范围是(12， +) .直线 AB 的方程为 y3=

9、(*1)，即*+y4=0.()解法 1：CD 垂直平分 AB，直线 CD 的方程为 y3=*1，即*y+2=0， 代入椭圆方程，整理得 4x2 + 4x + 4 一 入 = 0.又设 C(x , y ), D(x , y ), CD 的中点为C(x , y ),则x , x 是方程的两根，3 3 4 4 0 0 3 4 x +x = 一 1, 且x = 1 (x +x ) = 一 1 , y = x + 2 = 3 , 即M(一 1 , 3 ).3 4 0 2 3 4 2 0 0 2 2 2于是由弦长公式可得 | CD |= 1+ (一 1 )2 . | x 一 x |= 2(入 一 3) .

10、 k3 4将直线 AB 的方程*+y4=0，代入椭圆方程得4x2 一 8x +16 一 入 = 0 同理可得 | AB |= 1 + k 2 . | x 一 x |= 2(入 一 12) . 1 2当入 12 时， 2(入 一 3) 2(入 一 12) ,：| AB |想| CD |假设存在入 12，使得 A 、B、C 、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，点 M 为圆心.点 M 到直线 AB 的距离为 d = 0 0 = 2 2 = . | x + y 一 4 | | 一 1 + 3 一 4 | 3 2 2 2 2于是，由、式和勾股定理可得故当 入 12 时， A 、B、C、D 四点匀在以

11、 M 为圆心，| CD |2为半径的圆上.(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A 、B、C、D 共圆 一 ACD 为直角三角形， A 为直角 一 |AN|2= | | |DN|，即 ()2 = (+ d )( 一 d). 由式知，式左边 =入 一122,2(入 一 3) 3 2 2(入 一 3) 3 2 入 一 3 9 入 一 12由和知，式右边 = ( + )( 一 ) = 一 = ,2 2 2 2 2 2 2. z.-式成立，即 A 、B、C、D 四点共圆.解法 2：由()解法 1 及12,CD 垂直平分 AB， 直线 CD 方程为 y 一 3 = x 一 1 ，代入椭圆方程，整理

12、得4x2 + 4x + 4 一 入 = 0. 将直线 AB 的方程*+y4=0，代入椭圆方程，整理得4x2 一 8x + 16 一 入 = 0. 解和式可得2 士 入 一 12 一 1士 入 一 3x = , x = .1, 2 2 3,4 2不妨设 A(1+ 1 入 一 12 ,3 一 1 入 一 12),C( 一 1 一 入 一 3 , 3 一 入 一 3 ), D( 一 1 + 入 一 3 , 3 + 入 一 3 )2 2 2 2 2 2 CA = ( 3 + 入 一 12 + 入 一 3 , 3 + 入 一 3 一 入 一 12 )2 2计算可得CA . DA = 0 ，A 在以 CD

13、 为直径的圆上.又 B 为 A 关于 CD 的对称点，A、B 、C 、D 四点共圆.(注：也可用勾股定理证明 ACAD)8解： ()设椭圆方程为x2 + y2 = 1(a b 0) ，半焦距为 c ，则 a2 b2() 设P (一4, y ), y 士 0 0 02 38.90 9.310.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a3，b2，c 5 ，故， |PF1 | |PF2 |2a6，又已知PF1 |： |PF2 |2： 1，故可得|PFl |4， |PF2 |2在l 2 l 2两直角边的长为 2 和 4，故PFF 的面积4PFF 中，三边之长分别为 2，4，2

14、5 ，而 2242(2 5 )2 ，可见PFF 是直角三角形，且l 211. 解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3*上，设圆心为 S (a ，3a)，则圆 S 的方程为： (x 一 a)2 + (y 一 3 + a)2 = 2(1+ a2 )对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当三MPN 取最大值时，经过 M，N ，P 三点的圆 S 必与*轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a值必须满足 2(1+ a2 ) = (a 一 3)2 , 解得 a=1 或 a= 7。. z.14. 解： (1)由|l 消去 y 得： x 2 + 2a

15、2 x + 2a 2 m 一 a 2 = 0 -即对应的切点分别为 P(1,0)和P(一7,0) ，而过点 M，N， p 的圆的半径大于过点 M， N，P 的圆的半径，所以三MPN 三MP N ，故点 P (1 ，0)为所求，所以点 P 的横坐标为 1。12.解：设正方形的边 AB 在直线 y = 2x 一 17 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为1 1 2 2C(x , y ) 、 D(x , y ) ，则 CD 所在直线l 的方程 y = 2x + b, 将直线l 的方程与抛物线方程联立，得 x2 = 2x + b 亭 x = 1 士 b + 1.1,21 2 1 2 1 2令正方形边长为

16、 a, 则 a 2 = (x 一 x )2 +(y 一 y )2 = 5(x 一 x )2 = 20(b + 1). 在 y = 2x 一 17 上任取一点 (6，,5) ，它到直线 y = 2x + b 的距离为 a, ：a = | 17 + b | .51 2 min、联立解得 b = 3, b = 63.：a 2 = 80, 或 a 2 = 1280 . ：a 2 = 80.13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点， *轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为p2 a2 b21 = cos2 9 + sin2 9 - (1)显知此平行四边形 ABCD 必为菱形，设 A( p1,9) ，则

17、 B (p2 ,90o+9 )代入(1)式相加： 1 + 1 = 1 + 1p12 p22 a2 b2由于该菱形必与单位圆相切，故原点到 AB 的距离为 1， p1p1 = 1 . p12 + p22 ，从而 p2 + p ， a12 + = 1| + y 2 = 1( x 2设 f (x) = x 2 + 2a 2 x + 2a 2 m 一 a 2 ，问题(1)化为方程在* ( a ，a)上有唯一解或等根只需讨论以下三种情况：10 得： m = a 22+ 1 ，此时*p a2 ，当且仅当aa2a，即 0a1 时适合；2f (a)f (a)0，当且仅当ama；p3f (a)0 得 ma，此时

18、* a2a2 ，当且仅当aa2a2a，即 0a1 时适合pf (a)0 得 ma，此时* a2a2 ，由于a2a2 a，从而 ma综上可知，当 0a1 时， m = a 2 + 1 或ama；2当 a1 时，ama. z.-1 1(2)OAP 的面积 S = ay 0a ，故ama 时， 0 一 a 2 + a a 2 +1 一 2m a，2 p 2由唯一性得 x = 一a2 + a a2 +1一 2mpp p p显然当 m a 时， * 取值最小由于 * 0，从而 y x 21 一 p a 2取值最大，此时y = 2 a 一 a 2 ， S = a a 一 a2 p当 m = a22+ 1

19、时， *p a2，yp1下面比较 a a 一 a 2 与 a 1 一 a 2211 一 a 2 ，此时 S = a 1 一 a 2 2的大小：1 1令 a a 一 a 2 = a 1 一 a 2 ，得 a =2 3故当 0a 时， a a 一 a 2 a 1一 a21 13 2当 1 a 1 a 1一 a23 2 21，此时 S = a 1 一 a 2 max 2，此时 S = a a 一 a2 max1 115.解：设 B 点坐标为(y 2 一 4, y ) ， C 点坐标为( y 2 一 4, y) 显然 y 一 4 丰 0 ，故k 一 4 = y + 21 1y 一 2 1由于AB BC

20、 ，所以 k = 一(y +2)BC 1(|y = y = 一( y + 2)x 一 ( y 2 一 4)从而|ly 2 = + 4 1 1 ，消去 x ，注意到 y 丰 y1 得：由编 0 解得： y 共 0 或 y 4 当 y = 0 时，点B 的坐标为(一3,一 1) ；当 y = 4 时，点B 的坐标为(5,一3) ，均满足是题意故点C 的纵坐标的取值范围是 y 共 0 或y 4 16.解：如图，以 O 为原点， OA 所在直线为*轴建立直角坐标系，则有 A(a ，0) 设折叠时， O 上点 A/ ( Rcosa , R sina )与点 A 重合，而折痕为直线 MN，则 MN 为线段

21、 AA/ 的中垂线设 P(*，y)为MN 上任一点，则| PA/ | PA | 5 分 (x 一 R cosa )2 + (y 一 R sin )2 = (x 一 a)2 + y2即 2R(x cosa + y sin a) = R2 一 a2 + 2ax 10 分 =x cosa + y sina R2 一 a2 + 2axx2 + y2 2R x2 + y2. z.204 4-y ) 可 得 ： sin( +9 ) = R2 a2 + 2ax (sin9 = x , cos9 =x2 + y22R x2 + y2 x2 + y2R2 a2 + 2ax 1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到

22、) 15 分2R x2 + y2平方后可化为 a(x )22R()22 + y2Ra()2()222 1，即所求点的集合为椭圆圆a(x )22 + y2 1 外(含边界)的部分 ( R )2 ( R )2 ( a )22 2 2分17. 解： () 直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y = (x +1), y = (x 1), y = 0 。点P(x, y)3 31 1到 AB 、AC 、 BC 的距离依次为 d = | 4x 3y + 4 |, d = | 4x + 3y 4 |, d =| y | 。依设，1 5 2 5 3d d = d 2 , 得 |16 x2 (3y 4)2 |=

23、 25 y2 ，即1 2 316x2 (3y 4)2 + 25y2 = 0, 或16x2 (3y 4)2 25y2 = 0 ，化简得点 P 的轨迹方程为圆 S： 2x2 + 2y2 + 3y 2 = 0与双曲线T:8x2 17 y2 +12y 8 = 0()由前知，点 P 的轨迹包含两部分圆 S： 2x2 + 2y2 + 3y 2 = 0 与双曲线 T： 8x2 17 y2 +12y 8 = 0 因为 B (1，0)和 C (1，0)是适合题设条件的点，所以点B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且 点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B 、C 两点。1ABC 的内心 D 也是适合题设条

24、件的点， 由d = d = d ，解得D(0, ) ，且知它在圆 S 上。1 2 3 2直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以， L 的斜率存在，设 L 的方程为1y = kx + 21(i)当 k=0 时， L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 y = 平行于*轴，表明 L2与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 .10 分 (ii)当k 0 时， L 与圆 S 有两个不同的交点。这时， L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况：1情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率 k =

25、士 ，直线 L 的方程为x = 士(2 y 1) 。2. z.-代入方程得 y(3y - 4) = 0 ，解得 E( 5 , 4 )或F(- 5 ,4 )。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交3 3 3 3点 B 、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。1故当 k = 士 时， L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。21情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C (即 k 丰 士 )，因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以L2(|8x2 - 17 y2 +12y - 8 = 0与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组|ly = kx + 有且只有一组实数解，消去 y 并

26、化简得 (8 - 17k 2 )x2 - 5kx - = 0254该方程有唯一实数解的充要条件是8 - 17k2 =0 或 (-5k)2 + 4(8 - 17k2 ) 25 = 0 42 34 217 2解方程得 k = 士 ，解方程得k = 士 。1 2 34 2综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集0,士 , 士 , 士 。2 17 218. 解 一 ： 过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为 ： y , = 2x | = 2, ：切 线 AB 的 方 程 为x=12y = 2x - 1. ：B 、D 的坐标为B(0,- 1),D( 1 ,0),：D 是线段 AB 的中

27、点.设P(x, y) 、 C(x , x 2 ) 、 E(x , y ) 、 F (x , y ) ，则由 AE = 入 知，0 0 1 1 2 2 EC 1x1 = 1 + 0 , y1 = 1 + 0 ; FC = 入 2 , 得1 11+ 入 x 1+ 入 x2 BE入 x - 1+ 入 x 2x2 = 1 , y2 = 1+ 入2 0 .2 2 EF 所 在 直 线 方 程 为 ：1+ 入 x 2 1+ 入 x1+ 入 1+ 入y - 1 0 x - 1 0- 1+ 入 x 2 1 入 x 2 = 入 x 1 + x ,1+ 入 1+ 入 1+ 入 1+ 入2 0 - 1 0 2 0 - 1 02 1 2 1化简得(入2 - 入1 )x0 - (1 + 入2 )y = (入2 - 入1 )x - 3x +1+ x0 - 入2 x . . z.y = 1 . 0 3-1 2x2 x - x 2当 x 丰 时，直线 CD 的方程为： y = 0 0 0 2 2x - 10( x + 1联立、解得|x = 0 3 ，消去 x ，得 P 点轨迹方程为： y = 1 (3x - 1)2 .y = x203 0 3当 x = 1 时，EF 方程为： - 3 y = ( 1 入 - 1 入 - 3)x + 3 - 1 入 , CD 方程为： x = 1