《数学建模》05秋模拟试题

1、建模试题05秋模拟试题一、填空题（每题5分，共20分）1. 若银行的年利率是%，则需要时间 ，存入的钱才可翻番.2. 有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数（次/秒）、鱼身的长度和它的速度的关系式为 .3. 已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的倍，且它的平均密度是地球的倍，则此行星质量是地球的 倍. 4. 一个图能够一笔画的充分必要条件是 . 二、分析判断题（每题10分，共20分）1. 地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，

2、应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示.2. 假设某个数学模型建成为如下形式： 试在适当的假设下将这个模型进行简化. 三、计算题（每题20分，共40分）1. 某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有和长度的料各两根，总计要加工套，所用原料的长度均为试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？2. 求如图一所示网络中到的最短路线及其路长. 图一 四、综合应用题（本题20分） 一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定

3、价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？注：本题要求按照五步建模法给出建模全过程.数学建模05秋模拟试题参考解答 一、填空题（每题5分，共20分） 1. ； 2. （k是常数）； 3. ； 4. 该图为连通图且奇点个数为0或2. 二、分析判断题（每题10分，共20分） 1. 解：撤离时人员的分布状态、人员总数、撤离速度、人们之间相对拥挤程度、人员所在地与安全地点的距离、人员撤离完毕所需要的总时间等. 注：列出的因素不足三个，每缺一个扣3.5分。 2. 解：当较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为 从而有.若也很小，

4、则可以利用将其进一步化简为三、计算题（每题20分，共40分） 1. 解：先列出所有可能的截料方案：方案尺寸1232.2米0121.5米310料头长0.10.90.2由此假设，按照方案1、2、3分别需原料根，以表示总料头长，则有由两个约束条件得一起代入目标函数得 可见应令但非整数，于是可将原问题添加条件构成两个新的整数规划问题： 其中问题（2）无解，而（1）可同上求解得 代入目标函数可知依此再进行分支和求解，最后获得解为即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即为最优方案. 2. 解：利用双标号法可得图二： 图二 故得到的最短路线（两条）及其路长分别为第一条：第二条： 四、综合应用题（本题

5、20分） 解：（一）问题分析易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势；160元的定价是否为最高价应给予确定；是否所有客房定价相同需要确定. 模型假设在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元；所有客房定价相同. （三）模型建立根据假设1.，如果设代表旅馆一天的总收入，而 表示与160元相比降低的房价，则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到 （1）注意到又得到于是得到所求的数学模型为： ， （四）模型求解这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到为唯一驻点，问题又确实存在最大值，故（元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价. （五）模型分析1. 将房价定在135元时，相应的住房率为最大收入为（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验，知我们的结果是正确的.3. 为了便于管理，将价格定在140