321：对数的概念（详稿）

1、PAGE PAGE 5课题：3.2.1对数（第1课时）授课教师：宜兴市汇文中学 王震教材：苏教版 必修1一、教学目标1、知识与技能： = 1 * GB2 理解对数的概念； = 2 * GB2 理解指数式和对数式的相互关系，会熟练地进行指数式和对数式的互化； = 3 * GB2 了解常用对数和自然对数以及这两种对数的记法； = 4 * GB2 了解对数恒等式； = 5 * GB2 了解对数的发明史.2、过程与方法： = 1 * GB2 通过具体实例说明研究对数的必要性； = 2 * GB2 通过探究对数的概念以及对数式与指数式的关系，使学生感受化归与转化思想，培养学生分析、归纳能力； = 3 *

2、 GB2 通过独立思考以及师生之间，生生之间的互相交流，培养学生独立学习与合作交流的能力.3、情感态度与价值观：通过对数概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，使学生能用相互联系的观点辩证地看问题，培养学生数学地分析问题的意识；通过让学生了解对数发明史及其对简化运算的作用，使学生了解对数的发展历史，体现数学的文化价值，感受数学知识的产生和发展源于实践以及数学对推动社会发展的作用.二、教学重点、难点1、教学重点：对数的概念，指数式和对数式之间的关系以及指数式和对数式的相互转化.2、教学难点：对数概念的理解和对数恒等式的证明.三、教学方法和教学手段：启发

3、式、自主探索、多媒体整合教学.四、教学过程 = 1 * GB4 回顾旧知 激发新疑（课前欣赏尼加拉瓜发行的改变世界面貌的十个数学公式）在第3.1.2节的例题4中，我们已经知道，若该物质最初的质量是，则经过年，该物质剩留量：.通过这个式子，你能不能求出年后该物质剩余量吗？是多少？年后呢？由此，已知底数和指数可以求幂本题研究的是一种放射性物质，在物理学中研究放射性物质，通常要研究它的半衰期.那么，经过多少年这种物质的剩留量为原来的一半？上述问题也就是求满足中的，是一个：已知底数和幂的值求指数的问题，要解决这个问题，首先要学习本课内容：对数（书写课题） = 2 * GB4 数海拾贝 知识溯源16、1

4、7世纪，欧洲人热衷于探索新大陆和远洋贸易，为此需要更为准确的天文知识.在天文学的研究中，需要大量繁琐的计算，为了改进数字计算方法苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明了对数,并于1614年在论述对数的奇迹中，介绍了他的方法和研究成果.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明.法国著名数学家、天文学家拉普拉斯（P.S.Laplace，1794-1827）曾说：对数可以缩短计算时间，“在时效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.恩格斯曾经把“笛卡尔的坐标系”、“纳皮尔的对数”、“牛顿和莱布尼茨的微积分”共同称为17世纪的三大数学发明.那么，让

5、众多学者评价如此之高的对数是如何定义的呢？ = 3 * GB4 共同研究 建构新知对数的概念一般地，如果（且）的次幂等于，即，那么就称是以为底的对数（logarithm），记做，其中，叫做对数的 底数 ，（base of logarithm）叫做 真数 （proper number）.由对数定义可知，与两个等式所表示的是，这个量之间的同一个关系的不同表达方式.为什么说是同一关系?例如，； .(板书)为什么说是不同表达方式？（且）指数式底数指数幂对数式底数对数真数 = 4 * GB4 直接应用 内化概念初步理解了对数的概念，我们发现对数式和指数式可以互化，那么指数式如何改写成对数式呢？我们来看例

6、题.例1 将下列指数式改写成对数式： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 ； = 4 * GB2 .解 = 1 * GB2 . = 2 * GB2 . = 3 * GB2 . = 4 * GB2 .例题的 = 3 * GB2 = 4 * GB2 ，指数部分含有未知数，我们通过将指数式改写成对数式，可以求出指数，其实是个解方程的过程，所以要解决本节开头提出的问题，只要计算 的值.指数式可以改写成对数式，那么对数式怎么改写成指数式？我们看例2.例2 将下列对数式改写成指数式： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 .解 = 1 * GB

7、2 . = 2 * GB2 . = 3 * GB2 .例题的 = 3 * GB2 ，真数部分含有未知数，通过将对数式改写成指数式，可以求出真数，那么这种指对互化能否求对数的值呢？我们看例题例3 求下列各式的值： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 .解 = 1 * GB2 由，得. = 2 * GB2 设，则根据对数定义知， 即，得， 所以.由例题什么样的对数式我们能直接求出值？黑板上有没有你暂时不能求值的对数式？这样底数和真数没有直接关系的对数式求值，在后续学习中我们会研究其求值方法，我们还可以用计算器计算这些对数式的值.（引例，例的 = 3 * GB2 = 4 * GB2 分别为，

8、）我们再来看两个底数和真数有特殊关系的对数式：，（板书） = 5 * GB4 延伸拓展 了解特例在数学学科中，我们学习和使用的数是几进制的？ = 1 * GB2 通常将以为底的对数称为常用对数.为了方便起见，对数简记为，如，可简记为：，. = 2 * GB2 在科学技术中，常常使用以为底的对数，称为自然对数.是个无理数.正数的自然对数简记为，如，分别记为，.（板书常用对数和自然对数，及其简记符号）本节课学习到现在为止，我们理解了一个概念（对数的概念），掌握了一种互化（指数式和对数式的互化）！同学们自己做几个题，检验一下学习成果. = 6 * GB4 当堂训练 牛刀小试练习：求下列各式的值： =

9、 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 ； = 4 * GB2 ； = 5 * GB2 ； = 6 * GB2 . = 7 * GB4 深入研究 提升能力我们再用这个互化来研究一下例题例4 已知，. = 1 * GB2 ， ， ， ，一般地， ，请证明这个结论； = 2 * GB2 证明：.证明： = 1 * GB2 设，则， 所以.（板书该结论） = 2 * GB2 设，则， 所以.（板书该结论，指明为对数恒等式，并引出底数为的特殊形式）展示1917年尼加拉瓜“改变世界面貌的十个数学公式”，引导学生发现纳皮尔指数对数公式和另两个含有对数运算的公式）这套邮票说明：对数

10、的发明，对人们研究科学和了解自然起了重大作用，今天我们对对数做了初步的研究，请同学们回顾并总结本节课学习了什么内容？ = 8 * GB4 自主小结 巩固所学 = 1 * GB2 课堂小结回顾、讨论并总结本节课学习了什么内容.学习1个概念，掌握1个互换，给出1组结论.对数的发明是伟大的，老师认为最能体现体现这对数价值的是：伽利略：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”对数最大的作用是简化计算，在后续“对数的运算性质”学习中，我们会逐渐研究.本节课我们就学习到着，完成课后分层作业. = 2 * GB2 分层作业 巩固练习： 练习1、2； 探究练习： 练习6.五、教学设计说明本节课的内容是

11、高中数学必修1第3章指数函数、对数函数和幂函数的第2节对数函数的第1小节对数的第1课时.于3.2对数函数这一节而言，是在学习了函数概念及其性质和指数函数后，在新的知识平台上系统研究的又一类基本初等函数；于3.2.1对数而言，是根式、分数指数幂学习的延续，也为后续3.2.2对数函数的学习做好准备工作；而本节课对数的第一课时对数的概念，承接了根式、分数指数幂的学习，也为对数的运算性质、换底公式，乃至对数函数的学习奠定了基础.本节课通过指数函数中的例题4引入，该例是指数函数和对数函数的重要背景.利用物理中对放射性物质半衰期的研究入手，用具体实例说明研究对数的必要性；然后通过对数发明史的介绍，激发学生

12、学习兴趣；对数定义后与指数进行类比，帮助学生迅速理解对数的概念，同时点明本节课的重点：理解指数式和对数式的相互关系，会熟练地进行指数式和对数式的互化；然后通过例1、例2的指对数互换来巩固对数概念，帮助学生建立遇见指数式或对数式就互化的直觉；接着通过例题3帮助学生掌握这个互化；然后通过常用对数的数学史介绍引入两种特殊底数的对数；例题4第1小题使学生经历猜想和证明的过程，让学生体会数学的严密性，同时渗透换元法，然后由学生自己尝试对数恒等式的证明，再次巩固指数式和对数式的互化；最后组织学生回顾总结本节内容，通过介绍改变世界面貌的十个数学公式和伽利略的话，让学生感知对数发明的伟大，体会数学是人类发展不

13、可或缺的内容，同时再次点明对数的简化计算的作用，为下节课的研究做好铺垫.整课力求最大限度的尊重教材、力图契合教材组织的主要形式，从问题情境入手，历经数学活动，意义建构，数学理论，数学运用和回顾反思，使学生数学地分析和解决问题.六、教后反思“数海拾贝 知识溯源”环节中给出对数发明史过于仓促和简单，要加入人们发明数学符号的知识介绍：数，起源与生活.为了计数的需要产生了自然数，当要表示相反意义的数时，我们引进了？（负号“”），当两个整数不能整除时，为了表示其商，我们引进了？（分式）；而非完全平方数开方时，我们引进了?(根号“”)，每当遇到一个新的似乎是不可逾越的问题和障碍时，人类的聪明之处就在于他们会引入新的符号！ = 2 * GB2 关于、的范围，初稿时有涉及，但考虑，解释麻烦，有冲淡主题之嫌而删去，现在想来：的范围无需解释，指数函数中已经完成这个任务，但和的范围要提出让学生思考，可在，三量名称对比表中顺势给出.例 = 3 * GB2 总结后引出例有些牵强，改为：从例发现指数式改写成对数式可以求指数式里的指数的值（也就是对数式里对数值），从例发现对数式改写成指数式可以求对数式里的真数数的值，我们来使用互化来求一下值 = 4 * GB2 因时间安排问题例题教师讲的过