第4章离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型ppt课件

1、第四章 离散时间的金融市场平衡和资产估值：多期模型.4.1多期经济4.1.1 跨期的信息构造我们有以下的根本假设和记号：1这个经济体总共跨越 T+1 时期：t=0,1,T 。2这个经济体的每个形状记为 ，它表示这个经济体从 t=0 时期演化到 t=T 时期的一种能够的历史过程。要留意： 是外生的，一切的 区分和描写了经济体的外部环境； 把一切能够的外部环境形状进展了完好的区分；一切能够的形状记为 ，每个 可以看作是形状空间 的元素点。3经济体的真实形状是逐渐地从 t=0 时期演化到 t=T 时期，这样一个演化过程实践上也是一个信息结构逐渐展现的过程，可以用事件树来表示。.下面用一个简单的例子来

2、阐明事件树和信息构造。 例 ：思索一个三期模型 t=0,1,2 此处 T=2 。到 t=T 时期总共有5种能够出现的事件 ，能够的演化过程可用图4.1的事件树表示。 对此事件树做以下解释： 一切的事件在这个简单的事件树中总共能够出现8个事件： 它们都是形状空间 的子集。假设两个事件 和 ，有 ，那么 和 成为相互分别的事件。形状空间 的一个划分是一组事件 ，使得 ，有 。到 t 时期，经济体展现的有关形状的信息通常来说对一切的投资者都一样可以用形状空间 的一个划分 来表示。 .在图4.1的事件树中，到了 t=1 时期，投资者获得的有关形状的信息就是划分 ，其中： ， 。于是投资者根据这样的信息

3、就可以判别，假设在 t=1 时期出现的事件是 ，那么，到期末 t=2 时期，只能够出现 这3个事件之一；假设在 t=1 时期出现的事件是 ，那么，到期末t=2 时期，只能够出现 这2个事件之一。假设投资者具有无限的记忆才干，那么随着时间的推移，展现的信息会越来越精细，即有 ， 比 精细，这意味着 。各个时期展现的信息汇总起来，就是整个信息构造，表示为 为了方便起见，我们可以以为 和 。4把形状空间 看作根本的样本空间，就可以在其上定义概率测度： 。对于恣意事件 ，该事件发生的概率就是 . 这样，我们就有了跨期信息构造的完好定义。 阐明：前面定义的每个形状 表示的是经济体从 t=0 时期演变到

4、t=T 时期的一种能够的历史过程，也就是事件树上从期初到期末的一条能够的途径，和期末各种能够出现的事件是不同的。但是，在图4.1的例子中，到达期末恣意事件 的途径都只需一条，所以很容易在了解上混同起来。 由图4.2可知，到期末，只能够发生3个不同的事件 但能够的形状有4个，由于有4条能够的途径。其中 也是按这4条能够的途径来划分的。.4.1.2 证券市场 定义4.1 ：一个时间/事件或有要求权是1份有价证券，到 t时期，在事件 发生时，支付1个单位的消费品。 时间/事件或有要求权就是多期模型中的Arrow-Debreu证券基本证券，对于一切多期模型中的金融资产的不确定性现金流，我们都可以采用时

5、间/事件或有要求权的组合来复制。 假设在证券市场上一共有N+1 种有价证券在进展竞争型买卖。令 是第 K 种证券在 t 时期的价钱。显然， 是 的函数。如果采用向量和矩阵的记法， 是一切 N+1 种有价证券在 t 时期的价钱向量， 是一切 N+1 种有价证券在 t 时期的红利利息向量。 和 都是相对于 的可测随机序列，我们称 和 顺应于信息构造 。 采用 ， 和信息构造 F 描写多期模型的证券市场。.4.1.3 投资者偏好 假设在我们的多期模型经济中总共有 位消费者/投资者。他们在 t 时期的消费量记为 ，是 的函数，即有一切的 也都是相对于 的可测随机序列，即都顺应于信息构造 F 同样，消费

6、者/投资者要最大化他们的冯诺伊曼摩根斯坦期望成效函数值。期望成效函数在数学上表示为此处 表示消费者/投资者在事件树中的一条能够的途径 上的全部消费。 我们假设消费者/投资者具有以下方式的时间可加、形状可区分和各个形状相互间独立的偏好，可用以下方式的成效函数表示：留意： 曾经包含了消费的时间偏好在内。 并且，我们假定1严厉的非餍足性，即 ；2严厉的风险厌恶，即 。4.1.14.1.2.4.1.4 经济禀赋和消费/投资战略 对于消费者/投资者 i ，令 是他她在 t 时期对一切 N+1 种证券的持仓量，假设投资者在 t 时期买卖证券，即调整他她的投资组合中各种证券的持仓量，那么， 是指买卖前即调整

7、投资组合前的持仓量。因此， 就是在 t+1 时期进展买卖前调整投资组合前投资组合中各种证券的持仓量。假设投资者在 t 时期减持即卖掉部分有价证券，将所得的货币资金用于消费的话，在 t 时期消费的量由于曾经假设只需一种消费品记为 。 这样，一个买卖战略即投资战略也就是一个随时间变化调整投资组合中各种证券的持仓量的随机过程在离散情况下是随机序列。 为什么是一个随机过程而不是一个确定性的过程？由于作为一个面向不确定性的战略，在期初制定时，它必需是一个“随机应变的战略，在从 t=0 时期演化到 t=T 时期的过程中，面对各种能够出现的形状采用相应的不同措施。. 定义4.2 ：一个买卖战略投资战略是一个

8、 N+1 维的随机序列 顺应于信息构造 F 。一个消费战略那么是一个1维的随机序列 也顺应于信息构造 F 。 定义4.3 ：一个买卖战略投资战略 称为是可采用的，如果相应地存在一个消费战略 ，使得 ，有一切可采用的买卖战略都满足预算的约束。遵照4.1.3式的消费战略 被称为是依托买卖战略投资战略 融资的。 是 t 时期除红或付息前投资组合的价值。如今在 时期进展买卖，卖掉一部分证券将所得用于消费，消费量是 ，剩下的调整后的投资组合的价值就是 ，调整后的持仓量就成为 。此时还在 t 时期，价钱依然是 t 时期价格，但曾经除红或付息，所以证券价钱依然为 。这样，按照新的持仓量计算，调整后的投资组合

9、的价值为 ，于是就有4.1.3式。4.1.3. 定义4.4 ： 是第 i 位消费者/投资者在 t 时期拥有的财富，即经济禀赋。 也是一个顺应于信息构造 的随机过程随机序列。消费者/投资者在各时期各种形状下即发生各种事件中所拥有的经济禀赋财富构成了消费和投资的预算约束。.4.2 最优消费/投资战略 消费者选择他她的消费/投资战略这样的战略用来表示使本人的成效函数最大化： 在模型4.2.1中，除了 t=0 时期的变量外，其他的变量都是随机变量。4.2.1 动态规划解法 动态规划是运筹学中求解多期优化问题的常用方法，该方法是贝尔曼在20世纪50年代初提出的，其根本思想是一种逆向的求解方法。1当 t=

10、T 时，此时曾经到了多期模型的终期，投资组合将被全部变现用于消费，所以有 ，并且4.2.1.2我们标志到 t 期时，在当时所能获得的信息条件下的预期值数学期望值为 ，并记当时的投资组合的价值为 ，那么在 t=T-1 期的消费/投资战略模型4.2.1就转变成 这里， 是 T-1 期的值函数。3当 t=T-2 时，可以反复上面的步骤，得到优化模型4.2.24.2.3.留意：援用贝尔曼的“最优化原理，这个模型的值函数即优化目标函数可以改写成以下的“嵌套方式： 和 互换位置是由于去预期值概率平均值 与 的优化决策选择无关。留意： “嵌套中的值函数 是曾经在4.2.2式的约束条件下优化后的结果。于是，4

11、.2.3式的模型最终可改写为4.2.54.2.4.4以此类推，我们就可以得到普通的 t 期模型： 模型4.2.6就是我们求解多期消费/投资优化战略的动态规划模型。4.2.6.4.2.2 求解最优消费/投资战略 记为第 k 种证券在 t+1 时期的收益率。于是，第 i 位消费者/投资者在 t+1 期的财富可以表示为其中， 是第 t+1 期在第 t+1 期进展买卖调整持仓量之前第 i 位消费者/投资者持有第 k 种证券的货币价值。于是，从第 t 期到第 t+1 期在第 t+1 期进展买卖调整持仓量之前，消费者/投资者的财富应该是(4.2.7).代入4.2.7式，就有假设第0种证券是无风险资产，在第

12、 t+1 期的收益率记为 ，就有4.2.8. 于是，我们可以把多期消费/投资优化战略的动态规划模型4.2.6改写成 我们依然假设消费者/投资者是非餍足和风险厌恶的，于是就可以求一阶最优化条件F.O.C.：1相对于 的一阶最优化条件2相对于 的一阶最优化条件 由模型4.2.6，可以直接得到4.2.64.2.9.由一阶最优化条件4.2.9可以推出 这可以看作包络条件。这个包络条件的经济涵义是 对于优化的消费/投资战略而言，今天消费的边沿效用等于其财富的边沿成效，而财富的边沿成效就是预期的未来消费的边沿成效。 如今假设 是严厉的凹函数，那么 对于 也是严厉的凹函数。这样就可以解出最优消费战略 由于

13、是 的严厉凹函数，所以一阶最优化条件F.O.C.曾经保证了所求得的解是最优解。 留意：这里采用动态规划方法求出的最优消费/投资战略是针对个别消费者/投资者的，还未涉及整个金融市场的平衡问题。4.2.104.2.11.4.3 平衡定价4.3.1 多期模型的Arrow-Debreu经济 首先定义多期模型的Arrow-Debreu证券，并假设如今t=0时期存在这样的Arrow-Debreu证券的完选集。 定义4.5 ：在一个多期经济体中，假设 ，存在一项有价证券，它的支付函数是 ，其中 是示性函数：这样的有价证券被称为多期模型的Arrow-Debreu证券形状或有要求权。. 我们把买卖多期模型的Ar

14、row-Debreu证券的市场经济称为多期模型的Arrow-Debreu经济。假设对多期模型的信息构造中一切能够的事件，都存在相应的Arrow-Debreu证券，这些Arrow-Debreu证券就构成完选集。存在多期模型的Arrow-Debreu证券的完选集的市场就称为多期模型的Arrow-Debreu经济的静态完全市场或具有静态完全性。 假设：金融市场只在 t=0 时期开放，即只需在 t=0 时期可以投入货币资金构筑投资组合，或者可以变现投资组合获得货币资金用于消费。 令 是上述定义4.5中支付函数为 的Arrow-Debreu证券在 t=0 时期的市场价钱。在存在多期模型的Arrow-De

15、breu证券的完全集时，我们就可以建立以下多期模型的Arrow-Debreu经济平衡的概念。 . 定义4.6 ：在一个多期经济体中， Arrow-Debreu经济平衡是指存在一个形状价钱集合 ，使得1每位消费者/投资者 ， 都实现本人跨期的消费方案的优化，即有2市场结清4.3.2.其中，约束等式的经济涵义是第 i 位消费者/投资者如今和未来消费所遭到的财富禀赋约束。市场结清条件那么通知我们，无论是现在还是未来各期，在任何能够出现的形状下，市场都必需结清，也就是说，市场都必需处于供需平衡。在假设一切的消费者/投资者确实定性成效函数 延续、递增和严格凹时，从普通平衡存在性的实际和福利经济学第一定理

16、可以导出：多期模型的Arrow-Debreu经济的普通平衡是存在的；多期模型的Arrow-Debreu经济的平衡是帕累托最优有效的。.4.3.2 多期模型的理性预期平衡 在此，我们假设投资者不仅可以在 t=0 时期买卖，还可以在 t=0 之后的任何时期买卖。 这样，消费者/投资者就可以根据本人优化的消费/投资战略不断地调整本人的投资组合的持仓量来求得成效最大化。普通来说，对于未来可以经过买卖调整持仓量的时机，市场的平衡取决于投资者对未来发生的事情的预期。理性预期平衡模型就是要使市场平衡反映投资者的预期。 定义 4.7 ：理性预期平衡是一个顺应于信息构造的价钱随机过程 ，使得 1每位消费者/投资

17、者 ， 都实现对本人跨期的消费/投资战略的优化，即有4.3.3.约束条件中的 是第 位消费者/投资者在期初所持有的投资组合的持仓量。 2市场结清 在以后的任何时期的任何形状下，不论如何进展买卖，市场上一切证券的数目不变，市场都处于平衡，当然，证券的价钱 随着时间的推移和市场形状的变化在不断地变化，期间还会派发红利或利息 ，因此，整个市场的总的市值也在不断的变化过程中。留意：在市场到达理性预期平衡时，市场关于未来证券价钱的预期是完全由价钱过程 来表现的。理性预期平衡必需符合后验性要求，即买卖者的预期要与事后的结果一致。在定义4.7中，由于对于 都能结清市场而实现平衡，这意味着在这样的预期下， 都

18、可以在市场上实现，也就符合后验性要求。4.3.4.于是，我们可以得到以下结论:假设市场在每个时期都开放，就一定存在一种理性预期平衡，这种理性预期平衡一切的买卖都只会在 t=0 时期发生，而这种理性预期平衡所实现的资源配置和市场在 t=0 时期之后不再开放的多期模型的Arrow-Debreu经济平衡的配置是一样的。于是，对于理性预期平衡而言，就和多期模型的Arrow-Debreu经济平衡一样，证券的平衡价钱直接由消费者/投资者相关的边沿成效值确定。 上述结论隐含的假设：存在Arrow-Debreu证券的完选集，假设不存在，情况就不同，这是市场的完全性问题，如今引入动态完全性这一概念。.4.3.3

19、 静态完全性和动态完全性 在多期模型中，假设市场具有静态完全性，那么需求的Arrow-Debreu证券的数目是非常多的。 再者，假设市场具有静态完全性，那么在 t=0 时期之后开放市场进展买卖投资者调整本人的投资组合变成没有意义的事情，资源的最优配置可以在 t=0 时期一下子完成前提是信息构造不发生变化。 假设允许在 t=0 时期之后开放市场进展买卖投资者因此可以动态地调整本人的投资组合，能否利用数目比较少的证券来实现最优配置？只需对这个问题给出正面的答案，动态资产定价实际才是有意义的。这就是金融市场的动态完全性 问题。.我们用前面图4.1的例子来加以阐明。. 事件树上在 t=0 时期之后一共

20、有7个节点，假设市场具有静态完全性，就需求有7个对应的Arrow-Debreu证券。 我们把在一切时期都可以买卖的证券称为长寿命证券。如今假设一共只需3种长寿命证券在市场上买卖，它们都只在期末 T=2 时期才进展支付。它们在事件树上一切8个节点上的价钱向量为. 留意：第一项证券实践上是无风险证券，且不思索时间价值，即 。并且，到期末证券的价钱 就是支付。 如今我们来证明，我们可以动态地买卖这3种证券，实现任何消费方式。 假设我们希望建立一个投资组合战略，使得到期末，假设出现形状 ，那么投资组合可以提供1个单位的消费品；假设出现其他状态，那么为0，即不提供任何消费品。 假设到期末要出现形状 ，那

21、么在 t=1 时期必需出现形状 。假设此时投资组合中3种证券的持仓量记为 ，为了到期末实现所要求的消费方式， 必需满足其中4.3.5.是在 t=1 时期出现了形状事件 ，到下一时期 T=2 时期这3种证券的支付矩阵。显然， 是满秩的。于是解得 这样，投资组合 在 时期的价值就是 如今我们倒推到 t=0 时期。 在 t=0 时期，我们这样来选择投资组合 ，希望到 t=1 时期，假设出现形状事件 ，那么该投资组合的价值为 ；假设出现形状事件 ，那么该投资组合的价值为0。这就要求4.3.6.其中是到 t=1 时期这3种证券的支付矩阵。 4.3.6式的方程组的解不是独一的。取 ，可以得到一个可行解 。

22、显然，在 t=0 时期，投资组合 的市场价值就是 所以，买卖战略 就可以使我们到期末实现我们所要求的消费方式，期初的本钱那么为 。 因此，到期末要求任何消费方式，都可以以类似的方法经过动态地买卖这3种长寿命证券来实现。. 留意：采用动态买卖战略 时，在中间节点经过买卖调整投资组合中各种证券的持仓量时，实践上是自融资的即，增持证券是依托减持原来投资组合中的其他证券来融资的。 以上例子阐明，只需有少数长寿命证券，对它们进展动态交易，就可以实现任何料想的消费方式。在这种情况下，消费者/投资者就可以经过动态调整数量较少的长寿命证券的组合来实现全市场的帕累托最优有效配置。一个金融市场假设可以做到这一点，

23、就称为动态完全市场，或者称市场具有动态完全性。 显而易见，市场的动态完全性所需求的长寿命证券的数目远少于静态完全性所要求的Arrow-Debreu证券的数目。 如今，重要的问题是：需求一个什么样的长寿命证券组合才干使市场动态地完全化？分析上述例子，我们可以得到以下条件：.事件树里每个节点上的长寿命证券的数目不能少于节点后分叉的数目；节点上“部分的支付矩阵的秩应等于节点后分叉的数目。 满足以上条件的金融市场实践上是“部分完全的，因此可以经过动态买卖使整个市场动态完全性。 .定义4.8 ： Arrow-Debreu经济的理性预期平衡可以经过证券市场的理性预期平衡来实现，假设满足以下条件： 1证券市

24、场是动态完全的； 2在两个理性预期平衡中证券的价钱是一样的； 3两个理性预期平衡的配置是一样的。 意味着，只需证券市场是动态完全的，就可以经过动态买卖实现帕累托最优有效配置。.4.4 理性预期平衡的资产定价 在证券市场理性预期平衡时留意：这里我们并不要求市场具有动态完全性，我们来调查从 t 时期到 t+1 时期的情况。参照第三章的两期模型中的结论，均可得出 t 时期的第 i 位消费者/投资者优化本人的消费/投资战略的条件： 这个优化条件阐明：对第 i 位消费者/投资者的边沿成效而言，今天多消费1个单位的消费品，和不消费这1个单位的消费品而把它投资用于下一期消费，二者对于消费者/投资者来说是没有

25、差别的。 进一步可以将4.4.1式改写成4.4.14.4.2. 假设市场是动态完全的，那么，上述优化条件的配置就是帕累托最优配置。参见3.6.1小节，就可以知道，存在代表性经纪人，其预期成效函数为此处，对于一切的 ，有并且使得 ，有此处， ， 分别是 S 时期和 t 时期的总量消费。于是我们可以把由个别消费者/投资者优化本人成效函数的条件改成全市场的平衡定价方程：4.4.34.4.4. 在纯交换经济的情况下，就有由于一切消费都来自对金融资产投资而获得的红利利息收入。 令 是一切有风险金融资产从 t 时期到 t+1 时期的收益率，而 那么是该期间的无风险短期利率。利用4.4.5式，假设无风险证券

26、到 t+1 时期的支付为1，那么如今 t 时期无风险证券的定价就是用该期间的无风险利率的折现值故有 留意：假设如今是 t 时期，那么，由定价方程4.4.5式， 就不是随机变量，我们可以推出 这被称为基于消费的资本资产定价模型CCAPM。4.4.54.4.64.4.7证券数目归一化为1.4.5 理性预期平衡和等价鞅测度 .4.6 套利定价：无套利与等价鞅测度平衡定价：信息构造、支付过程、消费者/投资者的成效偏好等根底上为一切在金融市场买卖的金融资产定价套利定价在知某些在金融市场买卖的有价证券平衡定价的根底上，为其他金融资产衍生证券定价。假设：消费者/投资者具有理性预期.几点原那么：1.假设不存在无风险套利时机，某些证券衍生证券可以根据其他知平衡价钱的证券标的物采用无套利原理定价；2.一切的标的物价钱之间不应出现无风险套利时机；3.证券市场的价钱体系中不存在无风险套利时机，意味着存在等价鞅测度 使得.定义4.9：在多期模型中，假设存在一个由消费/投资战略 融资的跨期消费方案c,使得就被称为存在无风险套利时机。条件1意味着如今t=0时期不需求支出任何本钱；条件2未来t 0时期却可以获得价值为正的消费品。