两个计数原理的排列、组合含答案

1、. 学习目标1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题类型一两个计数原理的应用eq *(命题角度1类中有步的计数问题)例1电视台在*节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，假设先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果答案28 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有3029201

2、7 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400(种)结果因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如下图：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类方法，在第1类方法中有3步，在第2类方法中有2步，每步的方法数如下图所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，类与步可进一步地理解为：类用号连接，步用号连接，类独立，步连续，类标志一件事的完成，步缺一不可跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如下图的四个局部进展着色，要求有公共边界的两局部不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A24种 B

3、30种 C36种 D48种答案D解析将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况故不同的着色方法种数为432432148.应选D.eq *(命题角度2步中有类的计数问题)例2有4位同学在同一天的上、下午参加身高与体重、立定跳远、肺活量、握力、台阶五个工程的测试，每位同学上、下午各测试一个工程，且不重复假设上午不测握力工程，下午不测台阶工程，其余工程上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答)答案264解析上午总测试方法有432124(种)；我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试工程假设上午测

4、试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；假设上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有339(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有2411264(种)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如下图：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类其中mi(i1,2

5、,3,4,5)表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练2如下图，使电路接通，开关不同的开闭方式共有()A11 B12 C20 D21答案D解析根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，假设电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有224(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有413(种)情况，对于开关3、4、5，共有2228(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有817(种)情况，则电路接通的情况有3721(种)应选D.类型二有限制条件的排列问题例3

6、3个女生和5个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有Aeq oal(6,6)种不同排法对于其中的每一种排法，3个女生之间又有Aeq oal(3,3)种不同的排法，因此共有Aeq oal(6,6)Aeq oal(3,3)4 320(种)不同的排法(2)(

7、插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于5个男生排成一排有Aeq oal(5,5)种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有Aeq oal(3,6)种方法，因此共有Aeq oal(5,5)Aeq oal(3,6)14 400(种)不同的排法(3)方法一(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有Aeq oal(2,5)种不同排法，对于其

8、中的任意一种排法，其余六位都有Aeq oal(6,6)种排法，所以共有Aeq oal(2,5)Aeq oal(6,6)14 400(种)不同的排法方法二(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有Aeq oal(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)种排法和女生排在末位的Aeq oal(1,3)Aeq oal(7,7)种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq oal(8,8)2A

9、eq oal(1,3)Aeq oal(7,7)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)14 400(种)不同的排法方法三(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有Aeq oal(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有Aeq oal(5,5)种不同的排法，所以共有Aeq oal(3,6)Aeq oal(5,5)14 400(种)不同的排法(4)方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Aeq oal(1,3)种排法，

10、这时末位就只能排男生，这样可有Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)种不同的排法因此共有Aeq oal(1,5)Aeq oal(7,7)Aeq oal(1,3)Aeq oal(1,5)Aeq oal(6,6)36 000(种)不同的排法方法二3个女生和5个男生排成一排有Aeq oal(8,8)种排法，从中扣去两端都是女生的排法有Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有Aeq oal(8,8)Aeq oal(2,3)Aeq oal(6,6)36 000(种)不同的排法(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人

11、顺序固定，共有eq f(Aoal(8,8),Aoal(2,2)20 160(种)不同的排法反思与感悟(1)排列问题的限制条件一般表现为：*些元素不能在*个位置，*个位置只能放*些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比拟麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为去杂法，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)(2)对于*些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用捆绑法，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进展部排列；不相邻问题，则用插空法，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训

12、练3用0到9这10个数字：(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以组成多少个只含有2个一样数字的三位数？解(1)可以组成9Aeq oal(3,9)4 536个四位数适合题意的四位奇数共有Aeq oal(1,5)Aeq oal(1,8)Aeq oal(2,8)2 240(个)(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：第1类：三位数字全一样，如111,222，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有998648(个)，第3类：由间接法可求出，只含有2个一样数字的三位数，共有9009648243(个)类型三排列与组合的综合应用eq *(

13、命题角度1不同元素的排列、组合问题)例4有4分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8卡片中取出4卡片排成一行如果取出的4卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？解分三类：第一类，当取出的4卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Aeq oal(4,4)种第二类，当取出的4卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,2)Aeq oal(4,4)种第三类，当取出的4卡片分别标有数字2,2,3,3时

14、，不同的排法有Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,2)Aeq oal(4,4)种故满足题意的所有不同的排法种数为Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)Aeq oal(4,4)2Ceq oal(2,2)Ceq oal(2,2)Aeq oal(4,4)432.反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是先选后排，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进展排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的根本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分

15、析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪训练4从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？解(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有Ceq oal(3,5)Ceq oal(2,4)种选法第2步，排成偶数先排末位数，有Aeq oal(1,2)种排法，再排其他四位数字，有Aeq oal(4,4)种排法所以N1Ceq oal(3,5)Ceq oal(2,4)Aeq oal(1,2)Aeq oal(4,4).(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有Ceq oal(3,

16、5)Ceq oal(1,4)种选法第2步，排顺序又可分为两小类：末位排0，有Aeq oal(1,1)Aeq oal(4,4)种排列方法；末位不排0.这时末位数有Ceq oal(1,1)种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有Aeq oal(1,3)种排法，其余3个数字则有Aeq oal(3,3)种排法所以N2Ceq oal(3,5)Ceq oal(1,4)(Aeq oal(1,1)Aeq oal(4,4)Aeq oal(1,3)Aeq oal(3,3)所以符合条件的偶数个数为NN1N2Ceq oal(3,5)Ceq oal(2,4)Aeq oal(1,2)Aeq oal(4,4)Ceq oal

17、(3,5)Ceq oal(1,4)(Aeq oal(1,1)Aeq oal(4,4)Aeq oal(1,3)Aeq oal(3,3)4 560.eq *(命题角度2含有一样元素的排列、组合问题)例5将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，假设各班名额数不小于班级序号数，则共有_种不同的分配方案答案15解析先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个利用隔板法可知，共有Ceq oal(2,6)15(种)不同的分配方案反思与感悟凡一样小球放入不同盒中的问题，即为n个一样元素有序分成m组(每组的任务不同)的问题，一般可

18、用隔板法求解：(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有NCeq oal(m1,n1)种，即将n个元素中间的n1个空格中参加m1个隔板(2)任意分组，可出现*些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有NCeq oal(m1,nm1)种，即将n个一样元素与m1个一样隔板进展排序，在nm1个位置中选m1个安排隔板跟踪训练5用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_答案96解析用间接法：六个数字能构成的三位数共666216(个)，而无重复数字的三位数共有Aeq oal(3,6)654120(个)故所求的三位数的个数为21612096.1芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同把

19、戏的裙子，另有两套不同样式的连衣裙五一节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有()A24种 B14种 C10种 D9种答案B解析由题意可得芳不同的选择方式有43214(种)应选B.2设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为()A(34,34) B(43,34)C(34,43) D(Aeq oal(3,4)，Aeq oal(3,4)答案C解析首先每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能的结果，3项冠军根据分步乘法计数原理知共有4

20、3种可能结果，应选C.3从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()A48 B50 C52 D54答案A解析第一类：从2,4中任取一个数，有Ceq oal(1,2)种取法，同时从1,3,5中取两个数字，有Ceq oal(2,3)种取法，再把三个数全排列，有Aeq oal(3,3)种排法故有Ceq oal(1,2)Ceq oal(2,3)Aeq oal(3,3)36(种)取法第二类：从0,2,4中取出0，有Ceq oal(1,1)种取法，从1,3,5三个数字中取出两个数字，有Ceq oal(2,3)种取法，然后把两个非0的数字中的一个

21、先安排在首位，有Aeq oal(1,2)种排法，剩下的两个数字全排列，有Aeq oal(2,2)种排法，共有Ceq oal(1,1)Ceq oal(2,3)Aeq oal(1,2)Aeq oal(2,2)12(种)方法共有361248(种)排法，应选A.4*电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种答案36解析先安排后2个，再安排前3个，由分步乘法计数原理知，共有Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,3)Aeq oal(3,3)36(种)不同的播放方式5*i1,0,1，

22、i1,2,3,4,5,6，则满足*1*2*3*4*5*62的数组(*1，*2，*3，*4，*5，*6)的个数为_答案90解析根据题意，*1*2*3*4*5*62，*i1,0,1，i1,2,3,4,5,6，*i中有2个1和4个0，或3个1、1个1和2个0，或4个1和2个1，共有Ceq oal(2,6)Ceq oal(3,6)Ceq oal(2,3)Ceq oal(4,6)90(个)，满足*1*2*3*4*5*62的数组(*1，*2，*3，*4，*5，*6)的个数为90.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最根本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的根底2解

23、排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进展分类、分步，再利用两个根本计数原理作最后处理3对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏4对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，防止计数的重复或遗漏课时作业一、选择题1从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有()A12种 B19种 C32种 D60种答案B解析分两类：第一类直接到达，甲地到乙地，每天有直达汽车4班共有4种方法；第二类间接到达，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有

24、3个班车，共有5315(种)方法根据分类加法计数原理可得41519.2在100,101,102，999这些数中，各位数字按严格递增(如145)或严格递减(如321)顺序排列的数的个数是()A120 B168 C204 D216答案C解析由题意知此题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2Ceq oal(3,9)168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有Ceq oal(2,9)36(个)，根据分类加法计数原理知共有16836204(个)，应选C.3用六种不同的颜色给如

25、下图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有()A4 320种 B2 880种C1 440种 D720种答案A解析第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法根据分步乘法计数原理知，共有6543344 320(种)涂色方法45个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有()A72种 B36种 C18种 D12种答案B解析甲乙两人有2种站法，中间恰有一个人，从其余三人中选一人有3种选法，故第一步三人绑定在一起的方法有236(种)，将此

26、三人看作一个元素与剩余两人组成三个元素进展排列，排列方法有Aeq oal(3,3)6(种)，故5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有6636(种)5在*次数学测验中，*i(i1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i)90,92,93,96,98，且满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为()A9 B5 C23 D15答案D解析从所给的5个成绩中，任意选出4个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按f(1)f(2)f(3)f(4)排列的一个可能情况，故方法有Ceq oal(4,5)5(种)从所给的5个成绩中，任意选出3个的一个组合，即可得到四

27、位同学的考试成绩按f(1)f(2)f(3)f(4)排列的一个可能情况，故方法有Ceq oal(3,5)10(种)综上可得，满足f(1)f(2)f(3)f(4)的这四位同学的考试成绩的所有可能情况共有51015(种)，应选D.6登山运发动10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，则不同的分配方法种数是()A30 B60 C120 D240答案B解析先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有eq f(Coal(2,4)Coal(2,2),Aoal(2,2)种，再将余下的6人平均分成两组，有eq f(Coal(3,6)Coal(3,3),Aoal(2,2)种，然后这四个组自由搭配还有Ae

28、q oal(2,2)种，故最终分配方法有eq f(1,2)Aeq oal(2,2)eq f(1,2)Ceq oal(2,4)Ceq oal(3,6)60(种)二、填空题7如果在一周(周一至周日)安排三所学校的学生参观*展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校只参观一天，则不同的安排方法有_种答案120解析先安排甲学校的参观时间，一周两天连排的方法一共有6种：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，任选一种为Ceq oal(1,6)，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有Aeq oal(2,5)种，由分步乘法计数原

29、理可知，共有不同的安排方法Ceq oal(1,6)Aeq oal(2,5)120(种)8小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有_种答案4解析设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，则组合为(AC，BD)与(AD，BC)假设AC选甲学校，则BD选乙学校，假设AC选乙学校，则BD选甲学校；假设AD选甲学校，则BC选乙学校，假设AD选乙学校，则BC选甲学校故共有4种方法9将A，B，C，D，E五个不同的文件放入一排依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉，每个抽屉至多放一种文件假

30、设文件A、B必须放入相邻的抽屉，文件C、D也必须放入相邻的抽屉，则文件放入抽屉满足条件的所有不同的方法有_种答案96解析利用捆绑法，AB、CD分别捆在一起，此时问题相当于把3个不同文件放入4个不同的抽屉，每个抽屉至多放一个文件，则有Aeq oal(3,4)(Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,2)96(种)10由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有_个答案120解析1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有Aeq oal(3,3)Aeq oal(3,4)144(个)，假设4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两

31、位是奇偶或偶奇，共有2Ceq oal(1,3)Ceq oal(1,2)Aeq oal(2,2)24(个)，所求六位数共有120个11连接正三棱柱的6个顶点，可以组成_个四面体答案12解析从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有Ceq oal(4,6)种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成Ceq oal(4,6)312(个)四面体12甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，假设每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_答案336解析根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有Ceq oal(2,3)Aeq oal(2,7)种不同的站法

32、；第二类，一级台阶站1人，共有Aeq oal(3,7)种不同的站法根据分类加法计数原理，得共有Ceq oal(2,3)Aeq oal(2,7)Aeq oal(3,7)336(种)不同的站法三、解答题134位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得100分；选乙题答对得90分，答错得90分假设4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？解此题分两种情况讨论(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙假设这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错有Ceq oal(2,4)Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,2)24(种)不同的情况(2)如果4位同学都选甲或者都选乙假设这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有Ceq oal(1,2)Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,2)12(种)不同的情况综上可知，一共有241236(种)不同的情况四、探究与拓展14巴蜀中学第七周将安排高二年级的5名学生会干部去食堂维持秩序，要求星期一到星期五每天只安排一人，每人只安排一天，其中甲同学不能安排在星期一，乙同学不能安排在星期五，丙同学不能和甲同学安排在相邻的两天，则满足要求的不同安排方法的种数为()A46