等级制度下群集运动的研究

1、a布* 硕士学位论文题目：等级制度下群集运动的研究英文并列题目：Study on Flocking under hierarchical leadership研究生:堤专业:应用数学研究方向:非线性科学及其应用导师:金英花指导小组成员：学位授予日期:2018年6月答辩委员会主席:朱平江南大学地址：无锡市蠡湖大道1800号二。一八年六月独创性声明本人声明所呈交的罄位希文是本人牵导师指导下进行葡所究工作及芈 得的研究成果口尽我所知除了文中特别加以标注和致谢的珞方外,论丈 中不且含其他人已姓发表莪撰写过的研究戒果，也不色舍本人为获需让甫 大学或其它教育机构的字径或证书而建用过的材都白与成L同工卷的同

2、志 时本所完所做的任何贡酬均巳在论文中咋T明确的说明并表示磁M签 名：夏恁6 _ 口 期:/牌1色关于论文使用授权的说明本学拉起丈作者完全了解江南大学有关保偿使用学位论文的现定： 江南大孕有楔保留并向国蒙有关部门或机构送吏论丈德复印件和磁盍，允 许论文被查阅海借闰，可咧将芈徒论史的全部或部分内容崎入有关救搽库 设行检索，可以果用者印、缩印或扫描等度制手段保存 汇编学位抡史， 并且本人电子吏档的内容和呆质论无的内容粕一致,保密的学位瞥文在解密岳也珑守此规定.斐 名：XL ._导师签在也日 期：/野间如摘要群集运动的现象在生活中处处可见，例如天空中飞行的鸟群，水中游行的鱼群，地 上合作的蚁群等等，

3、它们刚开始可能杂乱无章，但最终会形成一个有规律的整体，所有 个体的速度达到一致，之间的相对位置保持不变。从这些生物现象表现的规律可知，群 集运动是指一个群体中的个体仅仅通过相互交流信息，系统从一个无序状态变为一个有 序状态。除了生物学家对群集运动的细心研究，其他领域的学者对此现象也很感兴趣。 数学领域的学者试图用数学理论来分析群集运动的内在规律，为此做出了很多的贡献。 2007年，Cucker和Smale提出了研究群集运动的离散和连续两个经典模型。Shen将 Cucker和Smale的模型推广到等级制度存在的情形。由于最先开始的等级制度的模型是 建立在一个理想化的环境中，这对外界环境要求的条件

4、比较高。为了使模型更符合实际 情况，本文将等级制度下的模型推广到时滞和噪声存在的情形，主要内容如下：实际生活中，由于传送带宽有限以及速度限制等问题，使得智能体在信息交流的过 程中，通信时滞几乎不可避免。因此分析通信时滞对系统的影响是很有必要也很有意义 的。论文的第三章主要分析了等级制度下离散模型带有不对称时滞的情形。利用数学归 纳法和范数的性质证明了离散模型带有不对称时滞时，系统可以无条件收敛。等级制度下连续模型带有不对称时滞的分析和离散模型的分析相类似，因此论文的 第四章主要分析的是等级制度下连续模型中带有对称时滞的情形，利用数学归纳法和二 次函数的性质证明了当连续模型带有的对称时滞满足一定

5、的条件时，系统可以达到群集 运动。并且在仿真中举例说明了当时滞过大时，系统最终达不到群集运动。现实中，群集除了可能受到时滞的影响，还可能会受到外界不确定因素的影响（噪 音的影响），例如鸟群在飞行中可能会受到风流的影响，鱼群在水中游行时可能会受到 水流的影响等等，当风流或水流过大时，会破坏群集的一致性，因此研究噪音对群集运 动的影响也非常有意义。论文的第五章分析了等级制度下连续模型带有白噪声的情形， 利用伊藤公式和数学归纳法证明了连续模型中的噪音强度满足一定条件时，系统可以达 到群集运动。并且在仿真中举例说明了，当噪声强度过大时，系统最终达不到群集运动。利用Matlab进行数值仿真，文章定理结论

6、的正确性均获得验证。关键词：等级制度；群集运动；时滞；白噪声；数学归纳法AbstractThe phenomena of flocking can be seen everywhere in life, such as the birds flying in the sky, the fishes parading in the water, the ant colonies on the ground, and so on., they may start at random, but eventually they form a regular whole, the speed of al

7、l individuals is the same, and the relative position remains unchanged. In addition to the careful study of biologists, scholars in other fields are also very interested in this phenomenon. Scholars in the field of mathematics tried to use mathematical theory to study the inherent laws of the flocki

8、ng and made many contributions to this. In 2007, Cucker and Smale proposed two discrete and continuous classic models for studying flocking. Shen extended Cucker and Smales model to the existence of a hierarchy. Since the model of the first hierarchical system was established in an idealized environ

9、ment, this imposes higher requirements on the external environment. In order to make the model more in line with the actual situation. The thesis extends the model under the hierarchy to the case of time delay and noise. The main contents are as follows:In real life, due to problems such as limited

10、transmission bandwidth and speed limitation, the communication time lag between agents is unavoidable. Therefore, it is necessary and meaningful to analyze the influence of communication delay on the system. Chapters 3of the thesis mainly analyzes the situation of asymmetry time-delay fbr discrete m

11、odel under hierarchical system. Using the properties of norm and mathematical induction, proves that even if the discrete model with asymmetric time delay, the system can still achieve flocking.The analysis of the asymptotic delay with the continuous model under hierarchical system is similar to tha

12、t of the discrete model, therefore, the fourth chapter of the thesis mainly analyzes the case of symmetrical delays in the continuous model under the hierarchy system, using the properties of mathematical induction and quadratic functions, it is proved that when the symmetric delays of the continuou

13、s model satisfy certain conditions, system can achieve flocking. And in the simulation, the thesis illustrated that when the delay was too large, the system eventually failed to reach the flocking.In reality, In addition to the flocking may be affected by the time delay, it may also be influenced by

14、 external uncertainties (the effect of noise). For example, a flock of birds will be affected by the flow of wind in the course of a flight. When a fish group marches in the water, it will be affected by the flow of water, etc. When the wind or water flows through Large, it will destroy the consiste

15、ncy of the cluster, so it is very meaningful to study the impact of noise. The fifth chapter of the thesis considers the existence of white noise. Using Ito formula and mathematical induction, it is proved that the system can achieve flocking when the noise intensity meets certain conditions. And in

16、 the simulation, it is illustrated that when the noise intensity is too large, the system eventually fails to achieve flocking.The theorems of the article are all numerical simulations using Matlab, which proves the accuracy of the theoretical results.Keywords: hierarchical leadership; flocking; tim

17、e delay; white noise; mathematical induction目录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 摘要IAbstractII目录III HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 第一章绪论41.1研究背景及意义41.2本文的主要研究内容及创新点6 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 第二章背景知识及相关定义81范数的定义82范数的性质82.3等集制度82.4群集运动8 HYPERLINK l book

18、mark32 o Current Document 第三章 等级制度下离散CS模型带有时滞的群集运动分析101 模型描述102主要内容10 HYPERLINK l bookmark245 o Current Document 3.3数值仿真153.4本章小结16 HYPERLINK l bookmark161 o Current Document 第四章 等级制度下连续CS模型带有时滞的群集运动分析174.1模型描述174.2主要内容174.3数值仿真204.4本章小结22 HYPERLINK l bookmark254 o Current Document 第五章 等级制度下带有白噪声的群集

19、运动分析235.1模型描述235.2主要内容235.3数值仿真265. 4本章小结27 HYPERLINK l bookmark321 o Current Document 第六章总结与展望28 HYPERLINK l bookmark327 o Current Document 参考文献30第一章绪论1.1研究背景及意义目前智能体这一概念在很多领域中都提到了 U-4,但不同的领域对智能体有不同的理 解，所以到现在为止智能体还没有一个确定的普遍定义。通常情况下，智能体是指这样 的一个实体，它能够感知到周围的环境，自身可以做出改变来适应环境，并且能和周围 邻居进行通信。从生物的角度看，每个生物体

20、便是个智能体。群集运动A4是指智能体仅通过感受周围环境有限的信息和邻居简单的交流，从无 序状态变成有序状态，最终所有智能体的速度差异趋于0,位移差是一个常数。在自然界中有着数不胜数的群集运动现象，例如天空中飞行的鸟群，地面上聚集的 蚁群，水里游动的鱼群等等。这些群体究竟是如何通过周围有限的信息交流，最终形成 整体的一致性，引起了很多学者的兴趣。为了探索群集运动现象的内在规律，数学、物 理学还有生物学等领域的学者开展了细致的研究39,做出了很多页献。早在三十年前，就有学者开始研究群集运动。1986年，Reynolds开始提出群集运 动所需满足的三项基本准则，并且第一次进行了计算机仿真。下面介绍这

21、三条准则。速度匹配每个智能体速度与它周围邻居的速度保持一致，即在规定的范围内，所有智能体的 速度差最终趋于0。聚合规则智能体与智能体之间存在一种凝聚力，防止因为彼此之间的距离太大而分散，使整 体之间保持紧凑。分离规则智能体因为凝聚力保持紧凑之后，为了防止它们之间发生碰撞，就要使他们之间保 持一定的分隔距离。这三条规则总结出了群集运动的主要规律，后面的学者对群集运动的研究大多遵循 这三条规则。1995年，VicsekE研究一个所有个体速度大小相等，方向不同的粒子群的模型。每 一个粒子都存在一个影响半径，它只受半径以内的邻居影响。粒子在每一个时刻的方向 为半径内所有邻居前一时刻方向的平均值。该模型

22、的数学形式为：和+1) = 上 ).(i.i)其中。为速度方向，N,为粒子z影响半径之内所有邻居的集合。，为邻居的个数。Vicsek的仿真如图1-1所示：(a)初始状态(b)低密度和弱噪音下的状态(c)高密度和强噪音下的状态(d)高密度和弱噪音下的状态图IT Vicsek的仿真图像从仿真结果可以看出，当系统的密度低且外界的噪音足够小时，所有粒子的速度方 向最终能够达到一致。虽然Vicsek仅仅做出了仿真实验，并没有给出理论证明，但这引 起了后来学者极大的研究兴趣。2003年，Jadbabaie将噪音影响去掉，将Vicsek模型简化，利用图论证明了，满足 一定条件时，速度方向最终可以达到一致。V

23、icsek模型中，粒子速度大小是相等的，受 到周围邻居的影响权重也是相等的，这是非常理想化的一种模型。为了更能体现实际情 境，学者们开始不断修改模型，力图理论研究更加符合实际。2007年，Cucker和SmaleM在Vicsek模型的基础上，提出了著名的Cucker-Smale 模型(CS模型)。这个模型中，没有速度大小必须相同这一限制。并且每个个体受到 邻居的影响权重与个体和邻居的绝对距离有关。这一点与实际情形比较符合，即个体和 邻居的距离越小，受到的影响越大。Cucker和Smale提出了离散和连续两种模型，主要 形式如下：一个包含N个个体的多智能体系统，地。)和坊分别为个体z在邛寸刻的位

24、置和速 度，时间步长为什,两种模型分别为：离散CS模型：x. (/ + A) = (t) + (t)点.(1.2)(，+ /) = 力为 3)(% (。一 H (0) + H 0)、J=i连续CS模型：*(，) =顷)0为耦合系数，”0为系统参数。在这两种模型中，Cucker和Smale证明了当系统参数时，系统可以无条件达 到群集运动。时，初始配置(x(O),v(O)需要满足一定的条件时，系统才能达到群 集运动。此外，文章w证明了当系统参数”：时，一定存在着使系统不能达到群集运 动的初始条件。CS模型是目前研究最广泛的一种模型，学者们做出了很多研究。基于CS模型,2007 年，Shen/将模型

25、推广到等级制度存在的情景。2010年Ha教授等人幽叫研究了噪音影 响的情况。2011年，董久刚性8在模型增加了排斥力的情况，严格证明了系统达到群集运 动的同时避免了相互碰撞。2012年，Ahn分析了群集避免碰撞的初始配置。2013年, CaponigroW研究了 CS模型的稀疏稳定性和最优控制。2015年，SunE分析了乘法噪音 对群集运动的影响。2016年，Cho【52研究了系统最终形成双群的情形，并给出了初始配 置所需满足的条件。2018年，JuangE研究了群体多层领导下的碰撞避免。1.2本文的主要研究内容及创新点2007年关国教授Shen将CS模型推广到等级制度存在的情形。Shen的证

26、明了等级 制度下连续CS模型的系统参数时，系统可以在任意的初始配置下达到群集运动。 这与性4的结论相类似。但在离散模型中，Shen只证明出了 ”口一(N是系统中智能体 2N的数目)时，系统可以无条件达到群集运动。董久刚卧在2009年证明了，等级制度下 离散模型中系统参数”0,且|x| = 0等价于x = 0；|叫= |x|，其中1为任意实(复)数；|x + M|v|k| + M，x,yeX；2.3等集制度定义2145对于一个群体I,.，如果对于所有的xeR邻接矩阵& =(%.(x)满足:J 1,集合如)= 为 0是非空的。我们称这个群体为等级群体，其中Z称为个体z的领导集。2.4群集运动定义2

27、.2甲当满足下列条件时，我们称多智能体系统随时间达到群集运动：速度差随时间渐近趋于零：lm|vz(O -v7(r)| = 0 , i,j = 2.,N ；位移差随时间一致有界：supI) - %(。| Q定义2.3E当满足下列条件时，我们称多智能体系统达到时间渐近群集运动：速度差的均值随时间渐近趋于零：lim |vz(O-v7(O| = 0 , i,j = ,*,N ；位移差的均值随时间一致有界：s*E|k，Q)-, i,j = 2 N .对于一个等级群体12.J-1J,根据等级制度的定义，12.J-1都是个体/的领导。群体U.J-1不受/的影响,当12.J-1达到群集运动时,可以将12.J-

28、1看第二章背景知识及相关定义成一个整体，。因此研究群体12.J-1,/可以类似成研究只有两个个体的群体，,/的 运动。本文研究的内容都是基于这一思路的。第三章等级制度下离散CS模型带有时滞的群集运动分析在现实生活中，由于通信带宽和速度等限制，智能体之间的交流出现通信时滞是在 所难免的。所以本文在文章卧的基础上，考虑了通信时滞存在的情形。证明了在等级制 度下，当时，离散的CS模型中即使带有时变时滞，系统仍然能无条件达到群集 运动。3.1模型描述一个具有N个个体的等级群体，表达形式如下：(3.1)X, +1 = xtn + hvn|7 + 1= 沁3)(为曰毗川)+ 毗川z” = l,2,.,N,

29、 n0、jeL(i)这里与(x)表示个体z与个体/之间的连接函数，表达形式为：H(1 + |-曰-顷(xzn9yzn) = (xz0,vz0), -Tn0,则系统(3.1)具有下列性质： 令=max|vzO|,有时胜叶；(3.3)(ii)当21N,对于任意H/,有-讯0怀2叶. 证明(i)我们对利用归纳法证明。当” =0时，结论显然成立。现在假设结论对”=川寸成立，根据(3.1)的第二个方程，有|W+i|= 她(对%曰叩+叩时1|jcL(i)jeL(i)7e(z)9 所以有 1hciy (x) Z 1 - (k - Z 0 ,jeL(i)0 ,xn +1 = xn + hvnaM-一，其中 R

30、.Kh-。.|g|*eE,其中 020, p0.则存在P,Q0,不依赖于，满足对所有n0,成立vnQe-Pn.定理3.1令1,.盘为一个等级群体，对任意 20,若p, 0h0.由于个体1是整个群体的领导者，并且速度保持不变。即v1n = v1n-T = v1O.令xm = x2n-xxn, vn = v2n-vin,则有xn + Y = x2n + Y-xln + Y=x2 n + hv2 n - xr n - hvx n=x2 n - x1 n + h(y2 n - * )=xn + hvn,vn +1 = v2 + l-vJ/7 + 1=V2 + 质2(WO7 一 曰 一 ) 一 H =(

31、1-A6Z21)v/7.(3.4)(3.5)xn +1 = xn + hvnvn +1 = (1 - 力。2i)其中。21H ，令外有：|监曰 曰xn + xjn - x, v (R. -曰-Xz.n|)2 =2(!%. 曰寸 + Ik/ - xzn|2 0,不依赖于，有现在假设子群体!,.,/-!满足引理3.2的条件，其中3l0,有(3.6)雄小风7伽Ik那皿接下来要证明子群体1,.,/也满足引理3.2的条件。_1考虑个体/的所有领导者的平均速度为园=厂 匕区， / 一 ieL(l)对于每个个体顶,其中1利用(3.6)，有|七川-(方-、)(3.7)/ 一 1 zeZ(/)1 _ 1 zeZ

32、(/)令yn = vln-vln,一 一 定义 X, n = xt n,再令 xn = xz n - xl n,贝!j xn +1 = xn + hvn., 1 s(,)vn + 1 =vln-Y vi n +1= haij(y-nTvln)+vz、 + l jeZ(/)/ LeZ(/) =匕亿一司一坊削+七亿+、亿、IX|、IXI)+V/IXI737 号+1je(Z)四)= halj(yin-vln)+ haiyjn-vln)+ 啊(七一 为亿) jwL(l)U(l) jeZ(Z)+ W-吉 y(%一一、)+、)，_ 1 zeZ(/) ;eZ(z)= (1 啊)? + halj(yjn-vl

33、n)+ 啊(朋一4一朋)jcL(l)jcL(l)代 L(l)-y E 为(七曰一、):=(1- ha(x, )v + $ 因为气UH ,有7Z7 Ev*|1 _1 zeL(/)je(/)I 1 ze(Z) je(z)77 E 混(七一曰一匕同 / 一 1 W) jeL(i)根据(3.6)和领导者1的速度恒定，有忙曰、蝴=(% D * n-t + * n - vzW|V | 为-曰 - 曰| +1| % 川 - H 川 |存在0, 使得产,即有 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark100 o Current Document |为 -一 v| 。2成.(3.8)所

34、以 HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 7-E 混(叩”曰7粉(/ 2)用0厂曾(3.9)/ 一 1 心(1) j)| HYPERLINK l bookmark109 o Current Document 同样的，根据(3.6)和与有*(为” *”) (/ -)hHQxeP (/ -l)hHQ2eP2n .(3.10)*/)根据(3.7)和av. H ,有ha(Vjn-r- vyn) Cl-l)hHQ2eP2n .(3.11)jeL(l)根据(3.9) (3.10) (3.11),有 halj(yjn-vln) + 混(方-曰-为川)-吉 力

35、(七-曰-顷) jeL(l)jeLQ)/ 一 1 点 jeL(i)5(/-2 + l- E- l)hHQ J3lhH0e*.接下来根据(3.5)来处理o(x,)a(x.n)= 。广 一-M . n H *.je(Z) je(Z) (1 + |x7/7-T-X/Z7|；eL(/) (1 + Ay + |xy n - Xl z?|对所有的xeR3,有认x/)W-归义-阳，另外- _ 了 _ X/ | V - (|x, - 曰-以蝴 + |以-X/ |)2V；沥厅|+|以0-而11+蜀|(v伽顷利)|2厂初7、21/00|沥明|+|以。-神|+硬丞 l*/)km=0=如咧+|皿-补 咎/ :=财-1

36、定义g(s)= / H 其中s2。，则函数g(s)是凸的，所以有吉剥小g：盆J令emmf忒，有(1 + s)。x JB)i) = 2je(/) (1 + |7 T XZZ?| )”G-W我们知道Elk”|明呵+77 k一I|x+t / - 1 je(Z)/ jcLQ)所以，可以得到小/ T、，k-Ht得到下列系统(3.12)xn +1 = xn + hvn vn +1 = (1 - 阮用 + g,另外阳甬| = g (顷_顷1 ze(L)|777 Elv/W-vzH7S(时同f问+ 11 f帅/ 1 iLQ)使得：，户3所以对任意的项，（顶=1,1）有|顷-vl 祈| |v7n-vl 用| +

37、 n -vl |0。一用+0厂甲QePn.其中Q = 0+0,P = min*,有喀小烦_小|上暮气 所以有0,lim|yzW-y7W|hsup一 Xj | = sup |x/h-1 + hvt /? -1 - Xj ri - hv. n -1| 1OO1W00sup1WOOx.。 -以0 + (W _ %H)t=Qn-1|xz0-x70| + A|yzd-v7d|t=Q00t=0=|也0_%.0。+ _p a口3.3数值仿真本节先考虑智能体之间的没有通信时滞时的收敛情况，与有通信时滞时的情形做比 较，之后再通过几个不同的耦合系数，利用Matlab进行数值仿真，仿真结果验证本章 结论的正确性。

38、当满足 一朋|10-3, | 羽勺却 0,使得时怀刀，i = 2.,N .证明：将系统（4.1）的第二个等式积分得到M = h（o）+ J； dtj（Vj（5 - r） - v.（s - T）ds（i = 1,2,TV） ,（4.2） jcL（i）我们用数学归纳法来证明这个引理。首先，证明阳|有界。若是|此|无界，则存在一个分量上，使得!而顽0 = 8（1寸va） o 根据（4.2）得到祚 W） + 521（2 0 - T）-（S - 0）* =祚（0） .注意到上式暗含着v： （0） = 00,与事实矛盾。所以，对/ 0,阳II有界。现在假设 |v2（，）|,.g_i（，）|”-l=3,4,

39、.,N）有界，即存在 D0,使得 max|vz（0ho 接下来证明|棚|有界。假设|棚|无界，贝IJ存在一个分量使得回涉。）=00（15京），根据 （4.2）有祚+ J； SW（s_T）_V（s_Ods = We）（4.3）jwLQ）注意到（4.3）暗含着者（0） = 8。与事实矛盾，所以时|有界。口 注4.1根据引理4.1,我们可以得到|）一事）闰成）| +时0心2刀。所以存在一个 侃 0，使得|vz（0-v7（0| D（l ij N） o引理4.2假设x（，）,v（，）e7?d （分别对应只有两个智能体的等级群体的位移差X2-a和速 度差此-*）满足系统：X =v（。,5（4.4）V =

40、_S（x/） + g（，）其中 J v( )0(x, t) = 77(l + |x(r- r)|2,其中 v(0, g(t),c 满足下列条件：h 0v(，)| 0.(p - /z)2 4PH4r2e4PT ?其中 0 P 0,对0,我们有|v(0|0 ,我们有2va(y- v) av2 /k + ka(v- v)2.令 h = infa ,即 haH ,再结合(4.6) , (4.7)代入(4.5)中，有 (yy(h+H/k)v +kHyf +2v奂).对(4.8)左右两边同乘凌 (Pp)再求积分得e2Pv2 v2(0)+(-2A+HIePsv(s)ds+kHe2Ps(y(s)-(5)26+

41、2v(s)e2Ps(s)ds.现在我们来处理v(5)-v(5):v(5)-v(5)= f vr)dr = f -avdr+ f &(r)dr .Js-TJs-TJs-T利用基本不等式和aH,我们有(v P)22(J -avdr +2(J S(s)办) 2H2t f vdr - q2丁顷 / p + q1 *槌-了)/ pJ S-T2HhS v2dr + q2e2pTe-2ps / p.Js-T再利用(4.10)式我们可以得到e2ft(v(5)-v(5)2e2ft(v(5)-v(5)2*+J e2Ps(2H2r v2dr+qepTept /p) ds Vq+2*丁-Thirds.(4.5)(4.

42、6)(4.7)(4.8)(4.9)(4.10)(4.11)其中C = P(V(5)- v(5)2ds + q2e2pT /2Ppo转换积分顺序并利用微分中值定理，有：J0j ePs v(r-T)drds=(，-，)* ePsdsdr + J v2(尸t)J ePsdsdr+j v2(r-7-)j ePsdsdr=v2(r-T)(e2P(r+r)-ePTdr+J v2(r-r)(e2F(r+r)-edr+J v2(r-r)(e2Ft-edr/2Pv2(r-T)2PTePr+T)dr+Tv(r-T)2PreP(,dr+ v (r-T)2PreP(,dr(4.12)=2PrePT 寸(r_r)2P说

43、膈=2户佗2处2(尸以2氏泳+2户偲4处、2(次2H泳 c2 +2Pre4Pr v2 (s)e2Fsc&.其中 c2=2PTe2Psv2ds.再将(4.12)代入(4.11)中，我们得到m(V(5)-V(5)2dscx+ 2H2t(c2 + 2Pre2PTe2Psv2ds)一Jo(4.13)=q + 2Hc2 + 4PHh2e4PT e2Psv2ds.另外利用范数不等式和引理2的条件，我们有2心)疽飞(幻* 2|机s)阳2q|S(s)|* 2D0(P-2P) .(4.14)结合(4.13)和(4.14) , (4.15)式可再转换为e2Pzv2 22 + /()e2P5v2(s)ds.(4.1

44、5)其中。2 = v2()* 人压、+ 2kH3c2 + 2Dq/(p - 2P), f(k) = -2h + H!k + 2P + 4kPH3r2e4PT.我们希望 f(k) 0 , BP 4PH3r2e4PTk2 + (-2A + 2P)k + 77 0 P-h0，所以一定存在一个正数灯使得f(k) = 0,即v2(/) Q2e2Pt因此口 定理4.1令1,.,N为一个等级群体，全局领导者1速度保持不变。对任意若 P 0,都有0) = %(0)。令工(，)=工2(，) *1。)，V(0 = V2 (0-(0 ,则有：X (，) = x2 (，)-(，)= v2 (t)-丹(/) = v(t

45、).W)= 5)f S=力21 (x/)(% (，)咨(，) 0=a21 (x, 0(1 (，一 C 一 咨 0 O=-a21(x,t)v(t -t所以可以得到系统0,不依赖于有MQePt .假设对子群体满足引理4.2的条件，其中3/0, 使得郁小-翌/(4.16)接下来证明子群体1,也满足引理4.2的条件。考虑个体/的所有领导者的平均速度巧= (*)/0 T)(4.17)对于每一个个体j （1，利用（4.16）,有司|= （为-、）/（/-1）。气,尊（/）定义殳= （、,）/（/ 1）。令v =、一嘉X = X/一舌，贝IJ&（/）伊=E &（号 7）一（ 冬）/（/1）jeW）igl）（

46、 、(4.18)(4.19)*(/)jwL(l) iwLQ) jeZ(z)7：=- 部+即）.jeL(l)利用aH 以得到Z祯-同）+z Ed/(/-IjeL(l)jcL(i) 苏+ 迎一诺E E s(R T) /(/T) H（l+ HQ _）0eT（i）= 2HQ-l）Qd可以得到系统x = v = /v + g。）各项参数满足引理4.2的条件，利用引理4.2可知，存在0,心，使得: 肘| = |椭f怀0广利用范数不等式和（4.16） , （4.22）我们有|v/f|k|v 广引|+|g|Qie-pQ2e-pQe-pt.其中 Q = 0 + 0,P = min4,乌,因此 max|vz -v

47、j Qept,所以对位移差，我们有supx,1/OOLX=sup xz(0)-x7(0) + (vz -七)ds Vx,(0) %.(0) + . -vds.1/0和qeR分别表示耦合强度和噪声强度。dW；表示独立白噪声标量。为(X)表示个 体之间的连接函数，表达形式为：%(x) = 1/(I + |勺x)尸( 1/2).5.2主要内容引理5.1若系统(5.1)的全局领导者1速度保持不变,则有Et)iD(li0,其中。是一个大于。的常数。证明： 首先证明|v2(0|有界。若是玲业)|无界，则存在一个k(lk3)有界,现在证明Eg。)|也是有界的o如果|vz(O|无界，则一定存在一个分m.k(y

48、kd使得limv(/) = 00 o根据系统(5.1) 的第二个等式，有：岫以)+ 2Eaj(s)*sds = vz0).jcL(l)与事实矛盾。所以必然存在一个不依赖，的正数Q,使得EtD.liN.口 注5. 1由引理5.1可知，对任意的liJN,必然存在一个常数使得目)事)| | 副训+目屋|) 引理5. 2假设x,eR(考虑两个个体的等级群体，分别对应勺-X】和)满足下列系 统，dx = vdt 心)=(l + |x) 0叫II 0) .牛 II，EQ.(3)b v应刁o则存在P?e0?对所有的，0,有|v(0|qW .证明 利用伊藤公式，我们有dv2 = 2vdv + dv-dv(5.

49、3) =(-22(7 + ct26z2)v2 + 2临 一2crv2 + g；)dt + (2vg -2(rav2)dW.根据引理5.2的条件，利用期望的性质我们有：VE|v|E 崎 | + 2“E|v 国国| + 剧&(脂)2D0qept -2aD0qept -q2e2ptcrept.其中 q = 2Dq + 2(jDQq + q2.因为剧x(/)| = x(0) +剧v(s)|*s 0,斜 0,使得当，匕时，有 (1 + |昨)|2)费顼|气所以=研(1 + |)小 秫E|x)| 阴x(0) + D.当 tx(O)/Do (x(O) &时,有 E(a) m2t2p，其中 m2 = w1(2

50、D0)_2/?. 另外因为心 vl,有所以Eat)Ea(t).由条件*-1,有E(-2M + o-V) = 22 顼 o) + 研疽) -22顼o) + a2E(a) -2ZE(o) + (22 -1)顼o)v E(a) mJ 2” ：= b(jt).我们再定义一个V，满足下面等式一j_v dv = (b(t)V + c)dt + (2 刀 & - 2aaV)dW(55)F(0) = v2(0)秫 2 ,1-2/3秫 2 .1-2/?则 EK = v2(0)e_12/?(Jq/W* 出_),即存在P, Q使得EV丁时，其中T = max(7；,&),我们有limEv2 iimEV 0,若”vl

51、/2,* J2妇,其中b = max。= 1,2,.$)则系统(5.1)可以达到群集运动。 证明：我们对子群体1,2,.,/来研究，其中l = d.,N,用数学归纳法证明这个定理。首先，证明结论对子群体1,2成立。由定义知，个体1是个体2的领导，所以 。 因为个体1速度保持不变，即对任意的，0,都有(，) = %(0)。令 X。)=工2(，)一*1。)，V(0 = V2(r)-V1(0 ,则有：dx =刁(工2 f)=dx. dx、= x2dt - xxdt(工2 *i )dt vdtdv = dv2- dvx=九。21(X，O(V1 一 v2 )dt +。2。21(X，O(V1 一 v2 )

52、dW；=一九% (x，)vdt - %。21 (x，t)vdJV；.所以可以得到系统dx = vdt0,不依赖于/，使得E(tlQe-pt 现在假设子群体12.J-1满足引理5. 2的条件。其中3l-l0,使得(5.6)(5.7)现证明子群体1,2,.,/也满足引理5. 2的条件。个体/的所有领导者的平均速度为 1 _ I ze(Z)对于每个个体J,其中1 jli利用(5.6),有(5.8)可七刘=* &(%、)-Qie_ 1 ze(Z)再定义月=花。V = Vf -vl.x = xl-x,则有系统/ 1 ieLQ)dx = vdt(5.9)(5.10) .dv = -Xavdt - cyvd

53、Wj + xdt + 2dWj其中第二个等式是因为dv = dv, -dvj = AQ/jSWj _M)dt + (x)(vy -vdW -dvtEl)jcLQ)=-A avdt-Cj avdWj + 2 (v7 -vdt+cij j %)dW；*(/)*(/)泓(1)*(/)T7E E %(七一、)出-土 E auvjvdwt1 1 心(1) jeZ(z)L - 1 zgZ(Z) 5):=-Xavdt - (yvdWj + gdt + 2dW. 根据(5.6)和(5.8)还有为vl,可以得到可剧以珈厂可|+吉 EFjcL(l)，一 k 心(/) jeL(i) 2(/ -l)qept + 2(

54、/ -l)qept=22(/_1)时吃I Ik-JIjeL(l)Z 一 坨LQ) jeLQ) 1)E+ l)qe*又因为= 2 心UN-。系统(9)满足引理5. 2的条件，所以存在0,当使得:J*)&肘| =别刃_训0厂七(5.11)利用范数不等式和(5.8) , (5.11)我们有可七V可七一刘+可刃一祈| 那* +0。一印 0一” “ .(5.12)其中Q = 0 +0,P = min(4)因此有lim a|vz. 一vj = 0,(5.13)sup|M -引-sup)(0)_X/(0)+.(号 _匕.)决 |xz.(0)-Xj(0)| + |vz. -vy|(c)位移误差图图5-1(d)

55、速度误差图噪声强度为b = 1(a)为初始状态。(b), (c), (d)分别表示噪音强度为1时，最终的状态图，位移的 误差图和速度的误差图。b = l满足本章定理5.1的条件，等级群体最终达到群集运动, 与理论结果符合。例5.2噪音强度b=5的仿真结果。(a)最终状态(b)位移误差图(c)速度误差图图5-2噪音强度cr = 5当噪音强度6 = 5时，观察图(a)可以知道系统没有达到群集运动，从图(b)和图(c) 可以知道即最终智能体速度差越来越大，速度差不为0。表明当噪音值过大不满足定 理条件时，群集运动将不会发生。5.4本章小结本文研究了带有噪声的等级群体，通过伊藤公式、比较定理和数学归纳

56、法，证明了 噪声强度足够弱时，群体可以无条件达到群集运动。最后，给出了数值仿真的例子，验 证理论结果的正确性。第六章总结与展望群集运动是目前研究的一个热点，将生物学行为用数学语言来描述，并希望数学理 论再应用到实际生活中。基于这样一个目的，学者们研究的群集运动的模型越来越符合 实际情况。本文研究的是等级制度下的群集运动，等级制度可以模拟军队的命令执行，狭窄道 路上车队的行驶等等。基于前面学者的研究，本文考虑了等级制度下群集运动存在通信 时滞和噪声的情形。其中离散和连续模型中不对称时滞的研究类似，因此本文第三章给 出了离散模型的详细证明，连续模型并未叙述。第四章分析了等级制度下连续模型中带 有对

57、称时滞的情形，第五章分析了等级制度下连续模型带有白噪声的情形。本文研究的几个定理条件，都是达到群集运动的充分条件，而非必要条件，因此更 加准确的研究群集运动的充分必要条件是今后的工作目标。此外不论是通信时滞还是白 噪声的研究，都是要求系统中的全局领导者以恒定的速度运动。在实际中，领导者的速 度会随着实际情况发生改变。因此领导者变速运动的研究是接下来要研究的一个重点。群集运动是目前研究的一个热点，将生物学行为用数学语言来描述，并希望数学理 论再应用到实际生活中。基于这样一个目的，学者们研究的群集运动的模型越来越符合 实际情况。致谢在三年的研究生生活中，我得到了江南大学理学院的许多老师和学长学姐的

58、帮助， 以及父母朋友的理解和支持。在此，我要向他们表示最真挚的感谢。正是有他们，我才 能收获这段充实又快乐的时光。首先，感谢我的导师金英花老师的热情关怀和悉心指导。金老师在学习和生活中都 给了我很大的蒂助。从毕业论文的选题、资料的收集、论文的构思，到论文的攥写，金 老师都灌注了大量的精力和心血。在读研的每个阶段，金老师都会给予我无私的帮助， 提出许多建设性的意见，引导我的研究方向。感谢老师悉心的指导，和无微不至的关怀。 祝愿老师以后的工作和生活都能一切顺利。其次，感谢理学院动力讨论班所有老师和同学。感谢各位老师在我发表论文时提出 的指导建议。感谢各位同学的讨论，我从中学到了很多研究方法和思路。

59、我还要感谢15级应用数学同学们的关心、支持、帮助。一直很喜欢这个班集体， 这段记忆我也会永远珍藏在心底。最后，我还要感谢我的父母对我的支持和理解，你们一直是我最坚强的后盾。参考文献Minsky M, The society of mind M. New York: Simon and Schuster. Inc, 1986.H Tanner, A Jadbabaie, G Pappas. Stable flocking of mobile agents, part i:Fixed topology, IEEE Conference.Decision Control, 2003: 2010-20

60、15.H Tanner, A Jadbabaie, G Pappas. Stable flocking of mobile agents, part ii: Dynamic topology. IEEE Conference. Decision Control,Maui,Hawaii,2003:2016-2021.VD Blondel,JM Hendrickx,A Olshevsky,JN Tsitsiklis.Convergence in Multiagent Coordination, Consensus, and FlockingJ.European Control Conference